2021高考北京版数学教师用书11.1 随机事件与古典概型(试题部分)

专题十一概率与统计
【真题探秘】
11.1随机事件与古典概型
探考情悟真题
【考情探究】
考点内容解读
5年考情预测热
度
考题示例考向关联考点
1.事件与①了解随机事件发生
的不确定性和频率的
2016北京,16
互斥事件
的概率加
抽样方法、平均
数
★★☆
概率稳定性,了解概率的意
义,了解频率与概率的
区别
②了解两个互斥事件
的概率加法公式
法公式
2.古典概
型①理解古典概型及其
概率计算公式
②会计算一些随机事
件所含的基本事件数
及事件发生的概率
2018北京,17
古典概型
概率的求
解
★★★
分析解读本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题的形式出现,属中低档题.随机事件,古典概型与随机变量的分布列,期望与方差等综合在一起考查时一般以解答题形式出现,属中档题.
破考点练考向
【考点集训】
考点一事件与概率
1.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人
都是女同学的概率为()
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
答案D
2.(2018北京海淀期末,6)从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()
A.1
5B.2
5
C.3
5
D.4
5
答案C
考点二古典概型
3.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥
德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
A.1
12B.1
14
C.1
15
D.1
18
答案C
4.(2019北京海淀零模,6)某地举行一次民歌大赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出4名优胜者,则选出的4名选手中恰有两个人是同一省份的歌手的概率为()
A.16
33B.33
128
C.32
33
D.4
11
答案A
5.(2019北京海淀新高考调研卷,10)将甲、乙等4个人平均分为两组,其中甲、乙两人不在同一组的概率为.
答案2
3
炼技法提能力
【方法集训】
方法1随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略
1.(2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数01234≥5
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数01234≥5
概率0.300.150.200.200.100.05
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析(1)设A表示事件:“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)
(2)设B表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)
P(A)=P(B)
P(A)
=0.15
0.55
=3
11
.
因此所求概率为3
11
.(7分)
(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为
X0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
P0.300.150.200.200.100.05 EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)
易错警示对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.
评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题. 2.(2019北京延庆一模文,16)2020年我国将全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城
镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2016年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.(单位:平方米)
2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6
农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.445.8
(1)现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率;
(2)现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率;
(3)将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记2012年—2016年中城镇人均住房面积的方差为s12,农村人均住房面积的方差为s22,判断s12与s22的大小.(只需写出结论)
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2],其中x为x1,x2,…,x n的平均数.
注:方差s2=1
n
.
解析(1)记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准,则P(A)=2
5
.
所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为2
5
(2)随机抽取连续两年数据:共9种结果.两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的共5种结果.
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件B,
.
因此P(B)=5
9
(3)s12<s22.
3.(2019北京海淀新高考调研卷,16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数
主场12212客场1188
主场21512客场21312
主场3128客场3217
主场4238客场41815
主场52420客场52512
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;
(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中
的命中次数.比较EX 与x 的大小.(只需写出结论)
解析 (1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”. 则C=A B ∪A B,A,B 相互独立. 根据投篮统计数据知,P(A)=3
5,P(B)=2
5. P(C)=P(A B )+P(A B)=35×35+25×25=13
25.
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为13
25.
(3)EX=x .
思路分析 (1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,投篮命中率超过0.6的场次有5场,从而得出概率;(2)根据事件相互独立,利用相互独立事件的概率乘法公式求出结果;(3)根据平均数和均值的意义比较EX 和x 的大小.
方法2 古典概型的求解方法
4.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b 为整数的概率是 . 答案 1
6
5.(2019北京昌平二模,17)某学校为了解高一新生的体质健康状况,对学生进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人,把他们的测试数据,按照《国家学生体质健康标准》整理如表.规定:数据≥60,体质健康状况为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90,100] 5 91.3 2 91 良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1 及格 [60,79] 8 70 11 70.2 不及格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计
--
20
75.0
20
71.9
(1)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康合格的概率;
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一名学生,求恰有一名学生的体质健康等级是优秀的概率;
(3)表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近(二者之差的绝对值
不大于1),但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分.研究发现,若去掉四个等级中一个等级的数据,则男生、女生的总平均分也接近,请写出去掉的这个等级.(只需写出结论) 解析 (1)样本中体质健康合格的学生数为5+2+4+4+8+11=34,样本容量为20+20=40, 从样本中随机选取一名学生,这名学生体质健康合格的概率为3440=17
20.
(2)设事件A 为“从男生样本中随机选出的学生的体质健康等级是优秀”,P(A)=5
20=1
4. 事件B 为“从女生样本中随机选出的学生的体质健康等级是优秀”,P(B)=2
20=110. 因为A,B 为独立事件,
故所求概率为P(A B +A B)=P(A B )+P(A B) =P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)=1
4×9
10+3
4×1
10=3
10. (3)去掉的等级为优秀.
6.(2019北京房山一模,17)苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果,各产地的包装规格相同,它们的批发价格(元/箱)和市场份额如表:
产地 A B C D E 批发价格 150 160 140 155 170 市场份额 15% 10% 25% 20% 30% 市场份额亦称“市场占有率”,指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
(1)从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,估计该箱苹果价格低于160元的概率; (2)按市场份额进行分层抽样,随机抽取20箱富士苹果进行检验. ①从产地A,B 共抽取n 箱,求n 的值;
②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验,随机变量X 表示来自产地B 的箱数,求X 的分布列和数学期望;
(3)产地F 的富士苹果明年将进入该地市场,定价160元/箱,并占有一定市场份额,原有五个产地的苹果价格不变,所占市场份额之比不变(不考虑其他因素).设今年苹果的平均批发价为每箱M 1元,明年苹果的平均批发价为每箱M 2元,比较M 1,M 2的大小.(只需写出结论)
解析 (1)设事件A 为“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,该箱苹果价格低于160元”.由题意可得:P(A)=0.15+0.25+0.20=0.6. (2)①A 地抽取20×15%=3(箱);B 地抽取20×10%=2(箱), 所以n=3+2=5.
②X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 33
C 53=1
10
, P(X=1)=C 32C 21
C 5
3=3
5, P(X=2)=
C 31C 2
2C 5
3=3
10.
所以X 的分布列为
X012
P 1
10
3
5
3
10
EX=0×1
10+1×3
5
+2×3
10
=6
5
.
(3)M1<M2.
【五年高考】
A组自主命题·北京卷题组
1.(2018北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类
电影部数14050300200800510
好评率0.40.20.150.250.20.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.
解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率是50
2 000
=0.025.
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(A B+A B)=P(A B)+P(A B)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.
(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.
2.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽
样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班6 6.577.58
B班6789101112
C班3 4.567.5910.51213.5
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).
这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法,C 班的学生人数估计为100×8
20
=40. (2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”,i=1,2,…,5, 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”, j=1,2,…,8. 由题意可知,P(A i )=1
5,i=1,2,…,5;P(C j )=1
8, j=1,2,…,8. P(A i C j )=P(A i )P(C j )=15×1
8=1
40,i=1,2,...,5, j=1,2, (8)
设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4. 因此P(E)=P(A 1C 1)+P(A 1C 2)+P(A 2C 1)+P(A 2C 2)+P(A 2C 3)+P(A 3C 1)+P(A 3C 2)+P(A 3C 3)+P(A 4C 1)+P(A 4C 2)+P(A 4C 3)+P(A 5C 1)+P(A 5C 2)+P(A 5C 3)+P(A 5C 4)=15×1
40=3
8. (3)μ1<μ0.
思路分析 (1)利用分层抽样的特征求出C 班的学生人数;(2)先找出甲、乙所有可能的搭配方式,再找出符合条件的搭配方式,其实质是古典概型;(3)将从A,B,C 三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较,进而作判断.
3.(2012北京,17,13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c 的方差s 2最大时,写出a,b,c 的值(结论不要求证明),并求此时s 2的值.
注:s 2=1
n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为数据x 1,x 2,…,x n 的平均数 解析 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量
厨余垃圾总量
=400400+100+100=2
3.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.
事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A)约为400+240+60
1 000
=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.
(3)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值.
因为x=1
3
(a+b+c)=200,
所以s2=1
3
[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80000.
评析本题以现代生活、绿色环保为背景,考查古典概型的概率及应用,进一步考查了运用数学建模思想将实际问题转化为概率问题的能力.
B组统一命题、省(区、市)卷题组
考点一事件与概率
1.(2019课标全国Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()
A.2
3B.3
5
C.2
5
D.1
5
答案B
2.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来
米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为() A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
答案B
3.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利
时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.
答案0.18
考点二古典概型
1.(2019课标全国Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概
率是()
A.1
6B.1
4
C.1
3
D.1
2
答案D
2.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()
A.4
5B.3
5
C.2
5
D.1
5
答案C
3.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()
A.1
10B.1
5
C.3
10
D.2
5
答案D
4.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N
中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()
A.8
15B.1
8
C.1
15
D.1
30
答案C
5.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()
A.3
10B.1
5
C.1
10
D.1
20
答案C
6.(2019课标全国Ⅱ理,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,
每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心
素养是数据分析和逻辑推理.
(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况
为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
思路分析(1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可. (2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解.
解题关键某局打成10∶10平后,每球交换发球权,甲先发球,求出甲得分的概率分别为0.5,0.4,0.5,0.4是解决本题的关键.
7.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.
现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解析(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样
的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F}, {C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
.
所以,事件M发生的概率P(M)=5
21
易错警示解决古典概型问题时,需注意以下几点:
(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;
(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;
(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.
C组教师专用题组
1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()
A.5
18B.4
9
C.5
9
D.7
9
答案C
2.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,
恰有一件次品的概率为()
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
答案B
3.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不．
小于
．．该正方形边长的概率为()
A.1
5B.2
5
C.3
5
D.4
5
答案C
4.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
A.1
8B.3
8
C.5
8
D.7
8
答案D
5.(2014江西文,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()
A.1
18B.1
9
C.1
6
D.1
12
答案B
6.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.
答案1
2
7.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.
答案3
10
8.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等
于5的概率为1
14
,则n=.
答案8
9.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解析本题考查古典概型.
(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2}, {A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3}, {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,
则所求事件的概率为P=3
15=1 5 .
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率为P=2
9
.
10.(2015福建文,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.
组号分组频数
1[4,5)2
2[5,6)8
3[6,7)7
4[7,8]3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
解析(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},
{A3,B2},{B1,B2},共10个.
其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},
{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.
所以所求的概率P=9
10
.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4.5×2
20+5.5×8
20
+6.5×7
20
+7.5×3
20
=6.05.
评析本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等.
11.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记
的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解析(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),
(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1 ,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)=3
27=1 9 .
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为1
9
. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-3
27=8 9 .
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为8
9
.
12.(2013湖南,18,12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X1234
Y51484542
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
解析 (1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的
作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 31C 121=36种.
选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列.
因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),
P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4).
所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.
记n k 为其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株数,则n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3.
由P(X=k)=n k N 得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15. 故所求的分布列为
Y
51 48 45 42 P 215 415 25 15
所求的数学期望为
E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46.
13.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(1)写出数量积X 的所有可能取值;
(2)分别求小波去下棋的概率和不．
去唱歌的概率.
解析 (1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.
(2)数量积为-2的有OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共1种;
数量积为-1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共6种;
数量积为0的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种;
数量积为1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种.
故所有可能的情况有15种.
所以小波去下棋的概率为P1=7
15
;
因为去唱歌的概率为P2=4
15,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-4
15
=11
15
.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2020届北大附中周测三,6)袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地
从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232321230023123021132220001
231130133231031320122103233
由此可以估计事件A发生的概率为()
A.1
9B.2
9
C.5
18
D.7
18
答案C
2.(2020届北京十三中开学摸底,3)投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是
Ω={1,2,3,4,5,6},设事件A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是()
A.A,C为对立事件
B.A,B为对立事件
C.A,C为互斥事件,但不是对立事件
D.A,B为互斥事件,但不是对立事件
答案C
二、解答题(共50分)
3.(2019北京西城一模文,17)为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,
阅读经典名著”活动.活动后,为了解学生们的阅读情况,学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位:本),统计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a表示.
甲乙
8621 72210
10
1
2
1244
2366a
(1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中a的所有可能取值;
(2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设a=3,现从所有的“阅读达人”里。