2018-2019贵州省凯里市高二下学期期中考试数学（理）试题

2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}=|03A x x ≤≤，(){}
,|1B x y y ==
，则A B ⋂=（ ）
A ．{}|13x x ≤≤
B ．{}|13x x <≤
C ．∅
D ．{}|0x x ≥
【答案】C
【解析】由题可得：集合A 是数集，集合B 是点集，再利用交集概念即可得解。

【详解】
因为集合A 是数集，集合B 是点集， 所以A B ⋂=∅ 故选：C 【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法及交集的概念，属于基础题。

2．已知i 是虚数单位，则复数241i
i
+-位于复平面内第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】整理241i i +-可得：
24131i
i i
+=-+-，该复数对应的点()1,3-在第二象限，问题得解。

【详解】
由241i
i
+-可得：
()()()()2412426131112i i i i i i i i +++-+===-+--+， 该复数对应的点()1,3-在第二象限. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及复数对应复平面内的点知识，属于基础题。

3．已知1
cos 3
=α，则cos2α=（ ） A ．
9
7
B ．79
-
C ．9
8-
D ．
89
【答案】B
【解析】直接利用余弦的二倍角公式得解。

【详解】
2cos 22cos 1αα=-
将1cos 3=α代入上式可得：2
17cos22139α⎛⎫
=⨯-=- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查了余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。

4．已知某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为（ ）
A ．
3 B ．
3 C ．
2 D ．
4
2 【答案】C
【解析】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，该四棱锥1D ABCD -中最长的棱为1BD ，即可得它与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，利用角的正切定义计算即可得解。

【详解】
由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥， 如下图中的四棱锥1D ABCD -
设正方体的边长为1，该四棱锥1D ABCD -中最长的棱为13BD =， 它与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，又2=BD , 所以12
tan 22
DBD ∠== 故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图还原几何体，还考查了线面角知识，考查空间思维能力及计算能力，属于较易题。

5．如图程序框图输出的4=y ，则输入x 的所有取值为（ ）
A ．-2或2
B ．4或2
C ．-2或4或2
D ．-2或4
【答案】D
【解析】对x 的范围分类，结合流程图即可列方程得解。

【详解】
由流程图可得：当1x <时，2
y x =，令4=y ，解得：2x =-或2x =（舍去）
当1x ≥时，y x =，令4=y ，解得：4x = 所以输入x 的所有取值为：2x =-或4x = 故选：D 【点睛】
本题主要考查了分类思想、方程思想及流程图知识，属于较易题。

6．已知等差数列{}n a ，且48,a a 是方程212200x x -+=的两根，n S 是数列{}n a 的前
n 项和，则11S 的值为（ ）
A ．110
B ．66
C ．44
D ．33
【答案】B
【解析】由韦达定理可得：4812a a +=，再由等差数列前n 项和公式及等差数列的性质即可计算得解。

【详解】
因为48,a a 是方程212200x x -+=的两根， 所以4812a a +=. 所以()()
111481*********
a a a a S ++=== 故选：B 【点睛】
本题主要考查了韦达定理的应用，还考查了等差数列前n 项和公式及等差数列的性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题。

7．已知圆22
:450C x y x +--=，过点(0,A 作圆C 的切线，其中一个切点为B ，
则AB 的长度为（ ）
A B ．5
C ．
D ．4
【答案】A
【解析】由已知可求得圆C 的标准方程为()2
229x y -+=，即可求得其半径为3，圆心为2,0，依据题意作出图象，由勾股定理列方程即可得解。

【详解】
由2
2
:450C x y x +--=得：()2
229x y -+=，
所以该圆的半径为3，圆心为2,0， 依据题意作出图象如下：
B 为直线与圆的切点
所以()
()
2
2
22
20223037AB AC BC =-=
-+--=
故选：A 【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质，还考查了两点距离公式及勾股定理的应用，考查转化能力及计算能力，属于较易题。

8．已知函数()2
x x
e e
f x x
--=，其图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】检验得：()()f x f x -=-，所以()2x x
e e
f x x --=为奇函数，排除C,D ，再利用
导数即可求得()21
202f e
'=>，即可判断()f x 在()0,∞+上存在递增区间，排除A ，问题得解。

【详解】
因为()()2
x x
e e
f x f x x
---==-， 所以()2
x x
e e
f x x --=为奇函数，排除C,D
当0x >时，()()()24
2x
x x x e e x e e x
f x x
--+⋅--⋅'=
所以()()()2
22224
2222
1
2022e e e e f e
--+⋅--⋅⨯'=
=
>， 所以()f x 在()0,∞+上存在递增区间，排除A. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的图像识别，考查了奇函数的图像特征及利用导数判断函数的单调区间，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

9．()6
111x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭
的展开式中2x 的系数为（ ） A ．-5 B ．5 C ．35 D ．-90
【答案】A
【解析】()6
1x -的展开式的通项公式为()16
r
r
r T C x +=-，即可得()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开
式为()16
1r
r
r T C x +⨯=-与()3
611
r
r C x T x x
+-⨯=这些项的和组成，对r 赋值即可求得含
2x 的项，问题得解。

【详解】
()
6
1x -的展开式的通项公式为()16r
r
r T C x +=-，
所以()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式是由()161r r
r T C x +⨯=-与()36
11r
r C x T x x
+-⨯=这些项的和组成， 当2r
时，()2
2236115T C x x ⨯=-=
当3r =时，()3
3
2641
20C x T x x x
-⨯=
=-
所以()6111x
x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中2x 的系数为20155-+=-. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了二项展开式的通项公式，还考查了赋值法、分类思想及计算能力、转化能力，属于中档题。

10．在区间[]
0,1上任意取两个实数y x 、，则x y ≥的概率为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
34
D ．
35
【答案】A
【解析】作出点(),x y 所在的平面区域是正方形OABC ，满足x y ≥的点(),x y 在线段
OB 左上方的阴影部分，利用几何概型概率公式计算即可得解。

【详解】
由题可得：01
01
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩ 作出点(),x y 所表示的平面区域如下图的正方形OABC ，
又满足x y ≥的点(),x y 在线段OB 左上方的阴影部分，
所以x y ≥的概率为1
1212
OBC OABC
S p S ∆=
==正方形. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了转化能力及数形结合思想，还考查了几何概型概率计算公式，属于中档题。

11．已知ABC ∆的三个顶点落在半径为R 的球O 的表面上，三角形有一个角为
3
π
且其对边长为3，球心O 到ABC ∆所在的平面的距离恰好等于半径R 的一半，点P 为球面上任意一点，则ABC P -三棱锥的体积的最大值为（ ）
A ．
3
3
8 B
．
3
3
7 C ．
93
4
D ．
73
4
【答案】C
【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，所以12
R
OO =，设ABC ∆外接圆的半径为r ，3AB c ==，利用正弦定理即可求得：3r =
，再利用截面圆的
性质可列方程：2
2
2
1R OO r =+，即可求得2=R ，即可求得点P 到平面ABC 的距离的最大值为3，利用余弦定理及基本不等式即可求得：()max 9ab =，再利用锥体体积公式计算即可得解。

【详解】
设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，所以12
R OO =
设ABC ∆外接圆的半径为r ，3AB c ==，3
C π
∠=
由正弦定理可得：
3
2sin
3
r
π
=，解得：3r =
由球的截面圆性质可得：2
2
22
1
32R R OO r ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，解得：2=R
所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为：13R OO +=. 在ABC ∆中，由余弦定理可得：
2222232cos 2a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=
当且仅当3==b a 时，等号成立，所以()max 9ab =.
所以193
sin 23ABC
S ab π∆，当且仅当3==b a 时，等号成立. 当三棱锥ABC P -的底面面积最大，高最大时，其体积最大. 所以三棱锥ABC P -的体积的最大值为19393
33P ABC V -=⨯⨯=
故选：C 【点睛】
本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。

12．已知椭圆22
22
:
1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上
存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A ．2,12⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
B ．20,2⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】D
【解析】由已知可得：当点P 在椭圆的上（下）顶点处时，21F PF ∠最大，要满足椭圆
C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，则()max 126090PF F ∠≥>，可
得()ma 1x 2ta tan n 60PF F ≥∠，整理得：3b c ≥，结合222a b c =+可得224a c ≥，
问题得解。

【详解】
依据题意作出如下图象：
由已知可得：当点P 在椭圆的上（下）顶点处时，21F PF ∠最大， 要满足椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，
则()max 126090PF F ∠≥>
所以()max 12tan tan603PF F ≥∠=
即：
b
c
≥b ≥ 又22222234a b c c c c =+≥+=，即：224a c ≥
所以12
c e a ==≤=
所以椭圆离心率的取值范围为102
e <≤ 故选：D 【点睛】
本题主要考查了转化能力及椭圆的简单性质，还考查了计算能力，属于难题。

二、填空题
13．已知不共线的非零向量,a b ，若2-与2a b λ+平行，则实数λ的值为__________． 【答案】-4.
【解析】由向量平行关系可得：()
22 a b k a b λ-=+，再由平面向量基本定理可列方
程21
2
k k λ=⎧⎨
=-⎩，解方程即可。

【详解】
因为2 a b -与2a b λ+平行，
所以()
22
a b k a b λ-=+ 所以212k k λ=⎧⎨=-⎩
，解得：4λ=-
【点睛】
本题主要考查了向量平共线的判定定理，还考查了方程思想及平面向量基本定理，属于较易题。

14．实数,x y满足约束条件：
1
1
30
x
y
x y
>
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则
1
y
z
x
=
-
的取值范围为__________．【答案】[1,)
+∞.
【解析】作出不等式组表示的平面区域，由
1
y
z
x
=
-
表示()
,x y与点()
1,0连线斜率及图象可得：当点()
,x y在点B处时，它与点()
1,0连线斜率最小为1
k=，问题得解。

【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图：
其中()
2,1
B
因为
1
y
z
x
=
-
表示()
,x y与点()
1,0连线斜率，由图可得：
当点()
,x y在点B处时，它与点()
1,0连线斜率最小为
10
1
21
k
-
==
-
.
所以
1
y
z
x
=
-
的取值范围为[)
1,+∞
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的最值，考查转化能力及数形结合思想，属于中档题。

15．函数()2sin26
f x x
π
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
在区间[]
0,1的单调增区间为__________．
【答案】
1
[0]
6
，，]1
3
2
[，（开闭都可以）.
【解析】由复合函数的单调性可得：222
262
k x k
πππ
πππ
-+≤+≤+，解得函数()
f x 的单调增区间为
11
,
36
k k
⎡⎤
-+
⎢⎥
⎣⎦
（k Z
∈），对k的取值分类，求得[]
0,1⋂
11
,
36
k k
⎡⎤
-+
⎢⎥
⎣⎦即可得解。

【详解】
令2222
6
2
k x k π
π
π
πππ-
+≤+
≤
+（k Z ∈）
解得：11
36
k x k -
≤≤+（k Z ∈） 所以函数()f x 的单调增区间为1
1,36k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）
当0k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣
⎦=1[0]6，
当1k =时，[]0,1⋂1
1,36k k ⎡⎤
-+=⎢⎥⎣
⎦]132
[，
当k 取其它整数时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤
-+=∅⎢⎥⎣
⎦
所以函数()2sin 26f x x ππ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭在区间[]0,1的单调增区间为1
[0]6，，]13
2[， 【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。

16．已知函数()f x 满足：()()4f x f x =--，且()()
11lim
4x f x f x
∆→-∆-=-∆，当
02x <<时，()ln f x ax x x =+，则函数()f x 在点()()3,3f 的切线方程为
__________． 【答案】413y x =-.
【解析】由导数定义可得：()()()
111lim
4x f x f f x
∆→-∆-'==-∆，可判断点()1,1在曲线
()y f x =上，由函数()f x 满足()()4f x f x =--可得：函数()y f x =的图象关于点
2,0对称，利用函数()y f x =图象的对称性可得：()3,1-也在函数()y f x =的图象上
及函数()y f x =的图象在点()1,1处的切线与在点()3,1-处的切线也关于点2,0对称，即可求得点()()3,3f 为点()3,1-及()34f '=，问题得解。

【详解】
由题可得：()()()
111lim
4x f x f f x
∆→-∆-'==-∆
因为()1ln111f a =+=，所以点()1,1在曲线()y f x =上， 又函数()f x 满足：()()4f x f x =--， 所以函数()y f x =的图象关于点2,0对称，
所以点()1,1关于点2,0对称的点()3,1-也在函数()y f x =的图象上 所以点()()3,3f 为点()3,1-，
又函数()y f x =的图象在点()1,1处的切线与在点()3,1-处的切线也关于点2,0对称，所以两切线平行. 即：()()314f f ''==
所以函数()f x 在点()()3,3f 的切线方程为：()143y x +=-，即：413y x =- 【点睛】
本题主要考查了函数在某点处的导数概念，还考查了函数的对称性应用及转化能力，考查了直线方程的点斜式及导数的几何意义，考查计算能力，属于难题。

三、解答题
17．已知()
23sin ,2cos a x x =，()cos ,cos b x x =，()()1f x a b x R =⋅-∈. （1）求函数()f x 的最大值，及此时x 的取值；
（2）在三角形ABC 中角的对边,,A B C 分别为,,a b c ，若()1f B =，25
12
，b =求三角形ABC 的面积.
【答案】(1)函数()f x 的最大值为2，此时Z k k x ∈+=
,6
ππ
.(2)
【解析】（1）化简()()1f x a b x R =⋅-∈可得：)6
2sin(2)(π
+=x x f ，利用正弦函数
的性质列方程226
2
x k π
π
π+=
+可得：Z k k x ∈+=
,6
ππ
时， ()f x 取得最大值为2，
问题得解。

（2）由()1f B =可得：3
B π
=，由余弦定理可求得：2a =，再利用三角形面积公式
计算得解。

【详解】
（1）由题可得：2()cos 2cos 1f x x x x =⋅+-， 化简得：)6
2sin(2)(π
+=x x f ，
当226
2
x k π
π
π+
=
+，即Z k k x ∈+=
,6
ππ
时，此时()f x 取得最大值为2.
（2）由()1f B =得：1sin(2)6
2
B π
+
=
，(0,)B π∈3B π∴=.
1,c b ==222
cos 32a c b ac
π
+-=
2a ∴= 112sin
2
3
ABC S π
∆∴=⨯⨯⨯=
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式、二倍角公式及数量积的坐标运算，还考查了三角函数的性质及余弦定理，考查了方程思想、计算能力及三角形面积公式，属于中档题。

18．已知数列{}n a 满足11n n a a +=+，且134a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
1
n n b a =
，记n b 的前项和为n S ，证明：2n S <. 【答案】(1) n a n =.(2)见解析.
【解析】（1）由题可得：{}n a 是等差数列，再利用134a a +=即可求得{}n a 的首项，问题得解。

（2）利用（1）可得：2
1
n b n =
，利用放缩法可得：211111(1)1n n n n n n n =<=-⨯-⨯-，即可证得1
1(1)n S n
<+-，问题得证。

【详解】 （1）
11n n a a +=+ {}n a ∴是等差数列，公差为1=d .
134a a +=
1124a a ∴++= 11a ∴=
()11n a a n d n ∴=+-=.
（2）2
1n b n =
22221111123n
S n =+++⋅⋅⋅+ 1111221212<=-⨯⨯,1111332323<=-⨯⨯,1111
443434
<=-⨯⨯,1111
(1)1n n n n n n <=-⨯-⨯-， 11111122334(1)n S n n
∴<+
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-⨯ 11111
1122113n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭⎝=⎭
11
1(1)22n n
=+-=-<
2n S ∴<.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及其通项公式，还考查了放缩法证明不等式及裂项求和方法，考查转化能力及计算能力，属于难题。

19．如图多面体111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，棱111,,AA BB CC 垂直平面ABC ，且
1112224CC BB BC AB AA ====.
（1）证明：111B C AC ⊥.
（2）求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析.(2).
1
4
【解析】（1）作1BB ,1CC 的中点分别为,E F ，连接111,,A E B F A C ，设14CC =，证明
2221111
AC A B B C =+，即可证得：111A B B C ⊥，同理可证得：111B C B C ⊥，即可证明
1B C ⊥面111A B C ，问题得证。

（2）建立空间直角坐标系,O 为AC 的中点，设14CC =，求得平面111A B C 的法向量为()
3,1,2m =-，结合(
)
13,1,2AB =
及向量夹角公式即可求得：
11
cos ,4
m AB =
，问题得解。

【详解】
（1）作1BB ,1CC 的中点分别为,E F ，连接111,,A E B F A C ，设14CC =
则112,1A E B E ==,115A B ∴=3AC =可算得11
13,22AC BC ==在三角形11A B C 中，11115,13,22
A B AC BC == 2221111A C A B B C ∴=+，即111A B B C ⊥
同理可得111B C B C ⊥ 又
11111A B B C B ⋂=
1B C ∴⊥面111A B C ,
又
11AC ⊂面111A B C
111B C AC ∴⊥.（用向量证明也可以）
（2）如图建立空间直角坐标系,O 为AC 的中点，设14CC =，则
111(3,0,0),(3,0,1),(0,1,2),(3,0,4)A A B C --
设平面111A B C 的法向量为(),,m a b c =， 因为(
)
113,1,1A B =
，()
11
23,0,3AC =，所以1111
0A B m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以30
2330
a b c a c ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2c =，则3,1a b =-=
所以()
3,1,2m =-，又(
)
13,1,2AB =
所以直线1AB 与平面111A B C 所成角α的正弦值为:111
3141sin cos ,4
88
m AB m AB m AB α⋅-++==
=
=
⨯ 所以直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值为1
4
. 【点睛】
本题主要考查了线线垂直的证明及转化能力，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值，考查计算能力，属于中档题。

20．为了了解学生考试时的紧张程度，现对100名同学进行评估，打分区间为[]50,100，得到频率分布直方图如下，其中,,a b c 成等差数列，且0.01a =.
（1）求,b c 的值；
（2）现采用分层抽样的方式从紧张度值在[60,70)，[)70,80中共抽取5名同学，再从这5名同学中随机抽取2人，求至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率.
【答案】(1) 0.02;0.03.b c == (2) CF BC ⊥.
【解析】(1)直接利用图中数据及,,a b c 成等差数列列方程组，解方程组即可。

（2）根据分层抽样[)60,70中抽2人记为11,b a ，[)70,80中抽3人记为,,A B C ，可列出基本事件总数为10种，“至少有一名在[)60,70的同学”事件包含7个基本事件，利用古典概型概率计算公式计算得解。

【详解】
（1）由题可得：0.110100.250.151
0.012b c c b ++++=⎧⎨
+=⎩
解得0.02,0.03b c ==.
（2）根据分层抽样[)60,70中抽2人记为11,b a ，[)70,80中抽3人记为,,A B C 共有10种本事件：11111111,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb a b ， 记M 事件为：至少有一名在[)60,70的同学，该事件包含7个基本事件， 所以至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率7
10
P = 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图知识，考查了等差数列的定义，还考查了古典概型概率计算公式，属于中档题。

21．已知椭圆2222
:
1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，
离心率2
1
=e ，
上顶点(P . （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆于,M N 两点，且24MN F N =满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 13
422=+y x .(2)见解析.
【解析】（1
）由题可得：2221
2c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2,1a b c ===，问题得解。

（2）设直线为:1l x ky =+，点1122(,),(,)M x y N x y ，联立直线与椭圆方程可得：
121222
69
,3434k y y y y k k -+=-
=++，利用24MN F N =可得：213y y =-，即可整理得：222399
343434k k k k k --⋅=+++，此方程无解，问题得解。

【详解】
（1
）由题可得：22212c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2,1a b c ===，
所以椭圆方程为：13
42
2=+y x
（2）设直线为:1l x ky =+，点1122(,),(,)M x y N x y
由221
143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得：22(34)690k y ky ++-=
121222
69
,3434
k y y y y k k -+=-
=++ 24MN F N =即223MF F N =223MF F N ∴= 211222(1,),(1,)MF x y F N x y =--=-
123y y ∴-=
122634k y y k +=-
+2122
39,3434k k
y y k k -∴==++ ∴12222399
343434k k y y k k k --=⋅=+++，化简得22334k k =+，此方程无解
所以不存在满足题意的直线l . 【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了方程思想及韦达定理，还考查了向量的坐标运算、向量的数乘运算及转化能力，考查计算能力，属于难题。

22．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；
（2）设()()4F x f x x =+
，证明：()F x 只有一个极值点0x ，且()023
26F x <<
. 【答案】(1) 增区间为1(,)e
+∞，减区间为1
(0,]e .(2)见解析.
【解析】（1）求得1ln )(+='x x f ，解不等式()0f x '>即可得解。

（2）记4()ln F x x x x =+
，求得24
()ln 1F x x x
'=+-，再求导数可得：318
()F x x x
=
+''，即可判断()y F x ='在(0,)+∞上单调递增，结合3
()0,(2)02
F F ''<>即可判断：在区间3(,2)2存在唯一一个0x ，使得0()0F x '=，即
可证得()F x 只有一个极值点0x ，由0()0F x '=可化简000
8
()F x x x =
-，结合03
(,2)2
x ∈即可证明0232()6F x <<，问题得解。

【详解】
（1）由题可得：1ln )(+='x x f ，(0,)x ∈+∞
'()0f x >即1ln ln x e ->，即1x e ->
所以()f x 的增区间为1(,)e
+∞，减区间为1
(0,]e
（2）4
()ln F x x x x
=+
，(0,)x ∈+∞ ∴2
4()ln 1F x x x '=+-
，318
()F x x x
=+''，显然()0F x ''> 即()y F x ='在(0,)+∞上单调递增
337
()ln 0,(2)ln 20229
F F =-='<'>
∴在区间3
(,2)2
存在唯一一个0x ，使得0()0F x '=
即在区间),0(0x 上，()0F x '<，)(x F y =为减函数 在区间0(,)x +∞上，()0F x '>，)(x F y =为增函数
()F x ∴只有一个极小值点
在区间3(,2)2
上存在唯一一个0x 使得0()0F x '= 即0204ln 10x x +-
=，020
4ln 1x x =- ∴0000020000
4448
()ln (1)F x x x x x x x x x =+
=-+=-
当03(,2)2x ∈时，00
82326x x <-< 0232()6
F x ∴<<
【点睛】 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数判断函数的零点个数，还考查了转化能力及计算能力，属于难题。