2019-2020高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算分层演练文

——教学资料参考参考范本——
2019-
2020高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲变化率与导
数、导数的运算分层演练文
______年______月______日
____________________部门
一、选择题
1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝( )
A．－B．－1
π2
C．－D．－1
π
解析：选C.因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C.由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex －ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x
－y＋1＝0.
3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( )
A．－6 B．－8
C．6 D．8
解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.所以f′(－x)＝
4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsin x＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2 018)＝6，所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.
4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－
2距离的最小值为( )
A．1 B.2
C. D.3
解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d ＝＝.
6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数
f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：选D.因为f′(x)＝，所以直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.
g ′(x)＝x ＋m ，设直线l 与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m ＝1，y0＝x0－1，y0＝x ＋mx0＋，m ＜0，于是解得m ＝－2.
二、填空题
7．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________． 解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y′＝，所以曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.
答案：x －y －1＝0
8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(2 018)＝________．
解析：令ex ＝t ，则x ＝ln t ，所以f(t)＝ln t ＋t ，故f(x)＝ln x ＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 018)＝＋1＝.
答案：
2 019
2 018
9．(20xx ·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f(x)＝ax －ln x 的图象在点(1，f(1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a －，所以f′(1)＝a －1，又f(1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.
答案：1
10．(20xx ·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axln x ＋b(a ，b ∈R)，若f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．
解析：由题意，得f′(x)＝aln x ＋a ，所以f′(1)＝a ，因为函数f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f(1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.
答案：4 三、解答题
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a ＋2)x ＋b(a ，b ∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；
(2)若曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x －a(a ＋2)．
(1)由题意得⎩⎨⎧f（0）＝b＝0，
f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.
(2)因为曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，
所以关于x 的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x －a(a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a ＋2)>0， 即4a2＋4a ＋1>0，所以a≠－. 所以a 的取值范围为
⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－12∪.
12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
所以直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又因为直线l过点(0，0)，
所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，所以x0＝－2，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x ＋1＝4，所以x0＝±1.
所以或⎩⎨⎧x0＝－1，
y0＝－18，
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.。