全国100所名校2013届高三上学期期初考试数学(理)试卷及答案

全国100所名校2013届高三学期初考试示范卷
数 学（理科）
考试时间：120分钟 满分： 150分
一、
选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）
1．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈．设集合},{10=A ，},{32=B ，则集合B A ⊕的所有元素之和为 （ ） A.0 B.6 C.12
D.18
2.若函数)(),(x g x f 的定义域都是R ，则)()()(R x x g x f ∈>成立的充要条件是（ ） A. 有一个 R x ∈，使)()(x g x f > B. 有无数多个R x ∈，使)()(x g x f > C. 对R 中任意的x ，使1+>)()(x g x f D. 在R 中不存在x ，使)()(x g x f ≤
3.设复数θθsin cos i z +=，],[πθ0∈，i +-=1ω，则||ω-z 的最大值是（ ） A.12+
B.5
C.2
D.12-
4.已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则a 与b 的夹角是（ ） A.
6
π
B.
3
π C.
3
2π D.
6
5π 5.右面程序框图表示的算法的运行结果是（ ）
A.5 B .6 C. 7 D .8
6.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A.1 B.
21
C.
3
1
D.6
1
7. 若函数R x x
x x f ∈+=,cos sin )(ωω3，又02=-=)(,)(βαf f ，且βα-的最小值为
43π
，则正数ω的值是（ ） A. 31 B. 32 C.34 D.2
3
8. 如图，已知抛物线)(022
>=p px
y 的焦点F 恰好是双曲线
122
22=-b
y a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F ，则该双曲线的离心率为（ ）
A.2
B.2
C.12+
D.
12-
11. 已知
数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足
)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有（ ）
A. 2个
B. 6个
C. 8个
D. 16个
12. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则（ ）
A. )0()2010(),
0()2(20102
f e f f e f ⋅>⋅>
B. )0()2010(),0()2(20102
f e f f e f ⋅>⋅< C. )0()2010(),0()2(20102
f e f f e f ⋅<⋅> D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n
n a 2λ为等差数列，则λ=
14.已知*)(1)1(23N n cx bx ax x x n n ∈+++++=+ ，其中13::=b a ，那么=n 15.已知关于x 的实系数方程022
=++b ax x 的一根在),(10内，另一根在),(21内，则点),(b a 所在区域的面积为
16.如图所示，是一个由三根细铁杆PA ,PB ,PC 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是︒60，一个半径为1的球放在支架上，则球心到P 的距离为____________
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知ABC ∆的面积S 满足2
3
23≤≤S ，且3=⋅，与的夹角为θ. （1）求θ的取值范围；
（2）求函数θθθθθ22323cos cos sin sin )(+⋅+=f 的最大值及最小值．
18.（本小题满分12分） 从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1:3:6:4:2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率； (4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比.
19.（本题满分为12分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥,CD AC ⊥,︒=∠60ABC , BC AB PA ==,E 是PC 的中点． （1） 证明：AE CD ⊥；
（2） 证明：⊥PD 平面ABE ；
（3） 求二面角D PC B --的余弦值．
分数 50.5数 60.5数 70.5数 80.5数
90.5数
100.5数
20.（本题满分为12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为3
2． （I ）求椭圆方程；
（II ）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，又点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．
21.（本题满分为12分）
已知函数⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥<+++-=1123x x a x c bx x x x f ,
ln ,)(的图像过坐标原点O ，且在点))1(,1(--f 处的切线
的斜率是5-． （1）求实数c b ,的值；
（2）求()x f 在区间[]2,1-上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为
直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．
（以下三道题任选其一,满分10分)
22. 圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的圆的切线与AB 的延长线交于点D ，72=CD ， AB=BC=3，求BD 以及AC 的长．
C
23. 已知曲线C 1的极坐标方程为θρcos 6=，曲线C 2的极坐标方程为4
π
θ=，曲线C 1，C 2相交于
A ，
B 两点
（I ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； （II ）求弦AB 的长度．
24. 已知c b a ,,都是正数，且c b a ,,成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++
参考答案
一、选择题：
1 D 2D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 C 9 D 10 A 11B 12A 二、填空题：
13、1- 14、11 15、2
1
16、3 三、解答题：
17、解：（1）因为3=⋅，与的夹角为θ3=θcos
θθπsin )sin(⋅=-⋅=
S （3分） 又
2323≤≤S ，所以232323≤≤θtan ，即13
3
≤≤θtan ，又],[πθ0∈， 所以],[
4
6π
π
θ∈ . （5分）
18、解：频率分布直方图中,长方形高之比=面积之比=频数之比=频率之比. （I ）样本的容量为(1+3+6+4+2)×2
6=48 （3分） （II ）频率分布表如下:
分组
频数 频率 55.5~60.5 3 1/16 60.5~70.5 9 3/16 70.5~80.5 18 3/8 80.5~90.5 12 1/4 90.5~100.5 6 1/8 合计
48
1
（6分）
（III ）成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多,频数为182
6
6=⨯
,频率为： 8
3
246316=++++
（9分） （IV ）估计成绩高于60分的学生占总人数的%75.93%1002
46312
463=⨯+++++++ （12分）
19、（I ）证明： ⊥PA 底面ABCD ，∴CD PA ⊥.又 CD AC ⊥∴⊥CD 面PAC ，
⊂AE 面PAC ，∴AE CD ⊥.
（3分）
（II ）证明： BC AB =,︒=∠60ABC ∴ABC ∆是等边三角形，∴AC PA =，又E 是PC 的
中点，∴AE PC ⊥，又由（1）可知AE CD ⊥，
∴⊥AE 面PDC ∴AE PD ⊥
又⊥PA 底面ABCD ，∴PA AB ⊥， 又 AD AB ⊥∴⊥AB 面PDA ∴AB PD ⊥
∴⊥PD 平面ABE .
（6分）
（III ）解：由题可知 AD AB PA ,,两两垂直,
设面PDC 的一个法向量为),,(z y x =
),,(231-= ),,
(23
40-=PD
⎪⎩⎪
⎨
⎧=⋅=⋅00n PD
即20
20x z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取3=y 则21==z x ,即),,(231=n
y
7
428
21633=
++=
>=
<|
|||,cos n m 由图可知二面角D PC B --的余弦值为7
42
-
． （12分）
20、解：（I ）2=c ，3
2
==
a c e ，3=a ，5=
b ． 所以，所求椭圆方程为19
52
2=+y x . （4分） （II ）设),(11y x A ，),(22y x B ，
过A ，B 的直线方程为 2+=kx y
由M 分有向线段所成的比为2，得212x x -=，（6
则由 ⎩⎨
⎧=++=45
592
2
2y x kx y 得 025205922=-++kx x k )(（8分）
故 1222
2122
2209525295k x x x k x x x k -⎧
+=-=⎪⎪+⎨-⎪⋅=-=⎪+⎩
， 消 x 2得 2
22592559202k k k +=+)( 解得312
=
k ，3
3
±=k （11分） 所以，23
3
+±=x y ． （12分）
21、解：
（I ）当1<x 时，,)(23c bx x x x f +++-=则b x x x f ++-='23)(2
． （1分）
依题意，得⎩⎨⎧-=-'=5)1(0)0(f f 即⎩⎨⎧-=+--=5
230
b c ，解得0==c b ． （3分）
（II ）由（1）知，⎩⎨⎧≥<+-=1
,ln 1
,)(23x x a x x x x f
①当11<≤-x 时),3
2(323)(2
--=+-='x x x x x f
令,0)(='x f 得,0=x 或3
2
=
x （4分） 当x 变化时)(),(x f x f '的变化情况如下表：
x
)0,1(-
0 )3
2,0( 3
2 （
1,3
2） )(x f ' - 0 + 0 - )(x f
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
又,0)0(,27
4
)32(,2)1(==
=-f f f 所以)(x f 在[
)1,1-上的最大值为2． （6分） ②当21≤≤x 时，x a x f ln )(=
不妨设
)0()),(,(>t t f t P ，则),(23t t t Q +-，显然1≠t
因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形， 所以0=⋅OQ OP ，即0))((2
3
2
=++-t t t f t ①
若方程①有解，则存在满足题意的两点Q P ,；若方程①无解，则不存在满足题意的两点Q P ,
若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入①式得0))((2
3232=++-+-t t t t t ，
即012
4=+-t t ，而此方程无实数解，因此1>t ． （10分）
此时()ln f t a t =，代入①式得,232(ln )()0t a t t t -++=即1
(1)ln t t a
=+ ② 令()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则'1
()ln 10h x x x
=++>，所以)(x h 在[)+∞,1上单调递增，
因为1>t ，所以0)1()(=>h t h ，当+∞→t 时，+∞→)(t h ，所以)(t h 的取值范围为()+∞,0．所以对于0>a ，方程②总有解，即方程①总有解．
因此对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上总存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上． （12分）
22、解：由切割线定理得 2
DC DA DB =⋅
2)(DC BA DB DB =+，故02832
=-+DB DB ， 解得 4=DB （6分） 因为BCD A ∠=∠，所以 DBC ∆∽DCA ∆ （8分） 所以 DC DB CA BC =，得 2
7
3=⋅=DB DC BC AC （10分）
因为c b a ,,成等比数列，所以 ac b =2
又因为c b a ,,都是正数，所以c a c
a ac
b +<+≤
=<2
0 ………… 4分 所以 b c a >+
0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab
所以，2222)(c b a c b a +->++ ………… 10分。