高中数学讲义取球问题

⾼中数学讲义取球问题
微专题90 取球问题
⼀、基础知识：
在很多随机变量的题⽬中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理⽅式如下：
1、独⽴重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下⼀次的取球试验与上⼀次的相同。

2、超⼏何分布模型：关键词“不放回的抽取”
3、与条件概率相关：此类问题通常包含⼀个抽球的规则，并⼀次次的抽取，要注意前⼀次的结果对后⼀步抽球的影响
4、古典概型：要注意虽然题⽬中会说明“相同的”⼩球，但是为了能使⽤古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要
将“相同的”⼩球视为“不同的”元素，在利⽤排列组合知识进⾏分⼦分母的计数。

5、数字问题：在⼩球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最⼤，最⼩等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从⽽转化为前⼏个类型进⾏求解。

⼆、典型例题：
例1：⼀袋中有6个⿊球，4个⽩球
（1）不放回地依次取出3个球，已知第⼀次取出的是⽩球，求第三次取到⿊球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第⼀次取出的是⽩球，求第三次取到⿊球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到⽩球个数X 的分布列，期望和⽅差
（1）思路：因为是不放回的取球，所以后⾯取球的情况受到前⾯的影响，要使⽤条件概率相关公式进⾏计算。

第⼀次已经取到⽩球，所以剩下6个⿊球，3个⽩球；若第⼆次取到⿊球，则第三次取到⿊球的概率为
6598?，若第⼆次取到⽩球，则第三次取到⿊球的概率为36
98
，从⽽能够得到第三次取到⿊球的概率
解：设事件A 为“不放回取球，第⼀次取出⽩球时，第三次取到⿊球”
()6536482
9898723
P A ∴=
+== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独⽴重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个⿊球，3个⽩球，取得⿊球的概率为
69
解：设事件B 为“有放回取球，第⼀次取出⽩球时，第三次取到⿊球”
()23
P B ∴=
（3）思路：本问依然属于独⽴重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合⼆项分布，即
23,5X B ??
:，所以可通过⼆项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列
解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X B ?? ???
:
()30332705125P X C ??∴=== ()2
133254155125P X C === ? ? ()1
223
3236255125P X C ??
=== ?
()3
332835125
P X C ??=== ?
23,5X B ??
Q :
26355EX ∴=?
= 2318
35525
DX =??=
例2：已知甲盒内有⼤⼩相同的1个红球和3个⿊球，⼄盒内有⼤⼩相同的3个红球和3个⿊球，现从甲，⼄两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球中没有红球的概率（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望
思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来⾃于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进⾏分配，从⽽得到每个盒中出红球的情况，进⽽计算出概率
（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“⼄盒中取出j 个红球”
则()()22133322
46
,i i j j
i j C C C C P A P B C C --== 设事件A 为“4个球中没有红球”
则()()()0202
13330022
46331
61510
C C C C P A P A P B C C =?=?=?=
（2）设事件B 为“4个球中恰有1个红球”
()()()02111102
1333133301102222
464639332
6156155
C C C C C C C C P B P A B P A B C C C C ∴=+=?+?=?+?= （3）ξ可取的值为0,1,2,3
()()1010P P A ξ∴===
()()2
15
P P B ξ=== ()()()02201111
1333133302112222
46462
25C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ξ==+=?+?= ()()1102
1333122246331
361510
C C C C P P A B C C ξ===?=?=
ξ∴的分布列为：
01231055102
E ξ∴=?+?+?+?=
例3：甲、⼄两袋中各装有⼤⼩相同的⼩球9个，其中甲袋中红⾊、⿊⾊、⽩⾊⼩球的个数分别为2、3、4，⼄袋中红⾊、⿊⾊、⽩⾊⼩球的个数均为3，某⼈⽤左右⼿分别从甲、⼄两袋中取球．
（1）若左右⼿各取⼀球，求两只⼿中所取的球颜⾊不同的概率；
（2）若左右⼿依次各取两球，称同⼀⼿中两球颜⾊相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A 为“两只⼿中所取的球颜⾊不同”，则A 为“两只⼿中所取的球颜⾊相同”
()()
2333432
119999993
P A P A ??=-=-?+?+?=
（2）X 可取的值为0,1,2
左⼿取球成功的概率22223412
95
18
C C C P C ++== 右⼿取球成功的概率2223332291
4
C C C P C ++=
=
()511301118424
P X ?
∴==-?-= ? ?????
()5151711118418418
P X ==-?+?-= ? ? ()515
218472
P X ==
=
X ∴的分布列为
01224187236
EX ∴=?
+?+?= 例4：袋中装有若⼲个质地均匀⼤⼩相同的红球和⽩球，⽩球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出⼀个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停⽌摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束
（1）求摸球四次就停⽌的事件发⽣的概率
（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望
（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独⽴重复试验，如果摸球四次就停⽌，说明在这四次中⼀共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次⼜摸到红球。

通过红⽩球数量关系可知⼀次摸球中摸到红球的概率为
1
3
，然后可按照分析列式并求出概率。

解：设事件A 为“摸球四次即停⽌摸球“
解：依题意可得：在⼀次摸球中，摸到红球的概率为
13
()2
23
214
339
P A C ∴== ? ?????
（2）思路：可知ξ可取的值为0,1,2,3，当0,1,2ξ=时，摸球是通过完成5次后停⽌，所以可利⽤独⽴重复试验模型计算概率；当3ξ=时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总解：ξ可取的值为0,1,2,3 ()523203243P ξ??∴=== ()4
151280133243P C ξ=== ???
()2
3
251280233243
P C ξ
===
()3
2
2234112112151173333333324381
P C C ξ==++== ? ? ??? ? ? ?
ξ∴的分布列为：
01232432432438181
E ξ∴=?+?+?+?=
例5：某商场在店庆⽇进⾏抽奖促销活动，当⽇在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有⼤⼩完全相同的4个⼩球，分别标有字“⽣”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上⾯的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停⽌取球．获奖规则如下：依次取到标有“⽣”“意”“兴”“隆”字的球为⼀等奖；不分顺序取到标
有“⽣”“意”“兴”“隆”字的球，为⼆等奖；取到的4个球中有标有“⽣”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（1）求分别获得⼀、⼆、三等奖的概率；（2）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）设i A 为“获得i 等奖”
()111111
4444256P A =
=
()()3
231111514444256
P A A =-=
()1233411119444464P A C A == （2）摸球次数ξ可取的值为1,2,3,4
()114P ξ∴==
()31324416P ξ==?= ()3319344464P ξ==??= ()33327
444464
P ξ==??=
ξ∴的分布列为：
123441664644
E ξ∴=?+?+?+?=
例6：学校游园活动有这样⼀个游戏项⽬：甲箱⼦⾥装有3个⽩球，2个⿊球；⼄箱⼦⾥⾯装有1个⽩球，2个⿊球；这些球除了颜⾊外完全相同，每次游戏从这两个箱⼦⾥各随机摸出2个球，若摸出的⽩球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）（1）求在⼀次游戏中①摸出3个⽩球的概率②获奖的概率
（2）求在三次游戏中获奖次数X 的分布列与期望
（1）思路：本题的结果实质上是⼀个“拼球”的过程，即两个箱⼦各⾃拿球，然后统计⽩球的个数。

则①：若摸出3个⽩球，则情况为甲2⼄1。

②：若获奖，则⽩球个数不少于2个，可分成⽩球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可解：设i A 为“甲箱⼦⾥取出i 个⽩球”，j B 为“⼄箱⼦⾥取出j 个⽩球” ①设事件A 为“摸出3个⽩球”
()()211
3122121
C C C P A P A B C C ?∴==?= ②设事件B 为“获奖”（即⽩球不少于2个）
()()()()111122
3212321120212222
535317
510
C C C C C C P B P A B P A B P A B C C C C ?∴=++=?+?+= （2）思路：三次游戏可视为独⽴重复试验，所以获奖次数X 服从⼆项分布，由（1）可得
73,10X B ??
: ，从⽽可利⽤公式计算概率，列出分布列
解：X 可取的值为0,1,2,3，依题意可得：73,
10X B ??
: ()3
03
3270101000P X C ??∴=== ()2
1373189110101000
P X C === ???
()22373441210101000P X C === ? ? ()3
3373433101000
P X C ??=== ?
X ∴的分布列为：
73,10X B ??
Q :
72131010
EX ∴=?
= 例7：⼀个袋⼦中装有6个红球和4个⽩球，假设袋⼦中的每⼀个球被摸到可能性是相等的。

（1）从袋⼦中任意摸出3个球，求摸出的球均为⽩球的概率；
（2）⼀次从袋⼦中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于⽩球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某⼈连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

（1）思路：此问可⽤古典概型解决，事件Ω为“10个球中任意摸出3个球”，则()310n C Ω=，
所求事件A 为“均是⽩球”，则()3
4n A C =，从⽽()()()
1
30
n A P A n =
=
Ω解：设事件A 为“3个球均为⽩球“
()3431041
12030
C P A C ===
（2）思路：按题⽬叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独⽴重复试验，结合ξ的含义可知ξ服从⼆项分布。

但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要求利⽤古典概型计算出⼀次成功的概率，再通过⼆项分布的公式计算ξ的分布列即可解：设事件B 为“⼀次摸球成功”
()213064643
10802
1203
C C C C P B C ?+?∴=== ξ的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,3B ξ??
:
()303110327P C ξ??∴=== ()2
1321613327P C ξ=== ???
()2
1
23211223327P C ξ=== ? ? ()3
33283327P C ξ??===
ξ∴的分布列为：
101232279927
E ξ∴=?+?+?+?=
例8：袋中装着标有数字1,2,3,4的⼩球各3个，从袋中任取3个⼩球，每个⼩球被取出的可
能性都相等.
（1）求取出的3个⼩球上的数字互不相同的概率；
（2）⽤X 表⽰取出的3个⼩球上所标的最⼤数字，求随机变量X 的分布列和数学期望. （1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利⽤古典概型进⾏计算，设Ω为“12个球中任取3个”，则()3
12n C Ω=，事件A 为“三个球数字各
不相同”，则计数时第⼀步要先选出不同的三个编号，即3
4C ，然后每个编号中都有3个⼩球可
供选择，即111333C C C ??，所以()()
2
31
43n A C C =?。

进⽽可计算出()P A
解：设事件A 为“三个球数字各不相同”
()()()
()3
31433
12
2755
C C n A P A n C ?∴=
=
=
Ω（2）思路：依题意可知X 的取值为1,2,3,4，依然⽤古典概型解决，但要明确X 取每个值时所代表的情况：当1X =时，只能3个球均为1号球；当2X =时，说明⾄少有⼀个2号球，
其余的⽤1号球组成，即32112
33333C C C C C ++，或者使⽤间接法：从1,2号共6个球中先随意
取三个，再减去不含2号球的情况，即(
)
33
63C C -个，同理可得：3X =时，⾄少有⼀个3号球，其余的球为1,2号球，所以由(
)
36
93C C -个，4X =时，⾄少有⼀个4号球，其余的球为1,2,3号球，所以由(
)
33
129C C -个，进⽽求得概率得到分布列
()3331211220C P X C ∴=== ()33633
1219
2220C C P X C -=== ()3396312643220C C P X C -=== ()331293
12136
4220
C C P X C -=== X ∴的分布列为：
1234220220555522044
EX ∴=?+?+?+?==
例9：⼀个盒⼦中装有⼤⼩相同的⼩球n 个，在⼩球上分别标有1,2,3,,n L 的号码，已知从盒⼦中随机的取出两个球，两球的号
码最⼤值为n 的概率为1
4
，（1）盒⼦中装有⼏个⼩球？
（2）现从盒⼦中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续⾃然数的个数的最⼤值为随机变量ξ（如取2468时，1ξ=；取1246时，2ξ=，取1235时，3ξ=）
（1）思路：以两球号码最⼤值为n 的概率为⼊⼿点，则该叙述等价于“取出⼀个n 号球和⼀个其它号码球的概率为
1
4
，从⽽利⽤古典概型列出关于n 的⽅程并解出n 解：设事件A 为“两球号码最⼤值为n ”
()1
1
2
114n n C P A C -?∴==即()1114
2
n n n -=- 解得：8n = （2）思路：由（1）可得⼩球的编号为18-，结合所给的例⼦可知ξ的取值为1,2,3,4，其概率可⽤古典概型计算。

1ξ=代表所取得数两两不相邻，可能的情况有{}1,3,5,7，
{}{}{}{}1,3,5,8,1,3,6,8,1,4,6,8,2,4,6,8共5种；2ξ=表⽰只有⼀对相邻的数或两对相邻的
数（两队相邻的数之间不再相邻）；3ξ=表⽰有三个相邻的数，与另⼀个数不相邻；4ξ=表⽰四个数均相邻，共5个。

由于2ξ=包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再⽤1减即可。

()4851114P C ξ==
= ()4842342023707P C ξ?+?==== ()4
8551
47014
P C ξ==
== ()()()()4211347
P P P P ξξξξ∴==-=-=-==
ξ∴的分布列为：
123414771414
E ξ∴=?
+?+?+?=
例10
：袋中装有35个球，每个球上分别标有135-的⼀个号码，设号码为n 的球重
2
5152
n n -+克，这些球等可能的从袋中被取出（1）如果任取1球，试求其重量⼤于号码数的概率（2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率
（3）如果取出⼀球，当它的重量⼤于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量⼩于号码数时，则停⽌取球，按照以上规则，最多取球3次，设停⽌之前取球次数为ξ，求ξ的分布列和期望
思路：（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量⼤于号码数的概率，先要判断出在
35个球中，那些球的重量⼤于号码数，即解不等式2
5152n n n -+>，可解出6n >+6n <-n 的解集为{}1,2,3,9,10,11,35L 共30个数，所以取出球重量⼤于号码数
的概率为
306357
= 解：设事件A 为“取1球其重量⼤于号码数”
若球重量⼤于号码数，则2
5152
n n n -+>
212300n n ∴-+>
，解得：6n >+
6n <-135,n n N *≤≤∈Q
n ∴的取值集合为{}1,2,3,9,10,11,35L ，共30个元素
()306357
P A ∴=
= （2）思路：不妨设取出的球的编号为,m n ，从⽽22
51551522
n m n m -+=-+，可推得：10m n +=，从⽽取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6共4组，所以概率为
235
4
C 解：设所取球的编号为,m n ，依题意可得：
22
51551522
n m n m -+=-+ ()()()2210100n m n m n m n m ∴-=-?-+-=
m n ≠Q 10m n ∴+=
取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6 设事件B 为“取出2球重量相等”
()2
3544
595
P B C ∴=
= （3）思路：依题意可知：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知球重量⼤于号码的概率为
6
7
，因为是可放回的抽取，所以每次抽取为独⽴重复试验。

当1ξ=时，可知取出的球重量⼩于号码数；当2ξ=时，则第⼀次取出的球⽐号码数⼤，第⼆次取出的球⽐号码数⼩；当3ξ=时，则前两次取出的球⽐号码数⼤（⽆论第三次如何都终⽌取球），从⽽求出概率得到分布列解：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知取出球重量⼤于号码的概率()6
7
P A =
()()
611177
P P A ξ∴===-= ()61627749P ξ==
= ()663637749
P ξ==?= ξ∴的分布列为：
1237494949
E ξ∴=?+?+?=
三、历年好题精选
1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的⽅式对1000位顾客进⾏奖励，规定：每位顾客从⼀个装有4个标有⾯值的球的袋中⼀次性随机摸出2个球，球上所标的⾯值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的⾯值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
（2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有⾯值10元和50元的两种球组成，或标有⾯值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的⾯值给出⼀个合适的设计，并说明理由．
2、（2014，重庆）⼀盒中装有9张各写有⼀个数字的卡⽚，其中4张卡⽚上的数字是1，3张卡⽚上的数字是2，2张卡⽚上的数字是3.从盒中任取3张卡⽚． (1)求所取3张卡⽚上的数字完全相同的概率；
(2)X 表⽰所取3张卡⽚上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数,,a b c 满⾜a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数)
3、袋中共有10个⼤⼩相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有3个，3号球有6个
（1）从袋中任意摸出2个球，求恰好是⼀个2号球和⼀个3号球的概率
（2）从袋中任意摸出2个球，记得到⼩球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望
4、袋中装有标有数字1,2,3,4,5的⼩球各2个，现从袋中任意取出3个⼩球，假设每个⼩球被取出的可能性都相等
（1）求取出的3个⼩球上的数字分别是1,2,3的概率（2）求取出的3个⼩球上的数字恰有2个相同的概率
（3）⽤X 表⽰取出的3个⼩球上的最⼤数字，求X 的分布列
习题答案：
1、解析：（1）①设顾客所获的奖励额为X
()11
C C P X C ∴===
（2）X 可取的值为20,60
()1113241602C C P X C === ()23241
202
C P X C ===
X ∴的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为40EX =．
（2）每个顾客平均奖励额为
60000
601000
=元，可知期望有可能达到60的只有⽅案()10,10,50,50或()20,20,40,40，分别分析以下两种⽅案：
⽅案⼀：()10,10,50,50，则1X 的取值为20,60,100
()12411206P X C === ()11
2212
42
603
C C P X C ?=== ()124111006P X C === 1121
206010060636
EX ∴=?+?+?=
()()()2221121
160020606060100606363DX =-?+-?+-?=
⽅案⼆：()20,20,40,40，则2X 的取值为40,60,80
()22411406P X C === ()112222
42
603
C C P X C ?=== ()22411806P X C === 2121
40608060636
EX ∴=?+?+?=
()()()2221121
4004060606080606363
DX =-?+-?+-?=
由于两种⽅案的奖励额的期望都符合要求，但⽅案2奖励额的⽅差⽐⽅案1的⼩，所以应该选择⽅案2.
2、解析：（1）设事件A 为“3张卡⽚数字完全相同”
95
84
C C P A C +∴== （2）X 可取的值为1,2,3
()3214453
93417
18442C C C P X C +==== ()1122133443633
943
284C C C C C C P X C ++=== ()21
273
971
38412
C C P X C ==== X ∴的分布列为：
174312342841228
EX ∴=?
+?+?= 3、解析：（1）设事件A 为“⼀个2号球，⼀个3号球”
()11
362
102
5
C C P A C ?∴== （2）ξ可取的值为3,4,5,6
()1321011315C P C ξ?=== ()21362
1011
45C C P C ξ+?=== ()1136210255C C P C ξ=== ()262101
63
C P C ξ===
ξ的分布列为：
134********
E ξ∴=?
+?+?+?= 4、解析：（1）设事件A 为“3个⼩球上的数字分别是1,2,3”()1112223
C C C P A C ??== （2）设事件B 为“3个⼩球上的数字恰有2个相同”()11583101
3
C C P B C ==
（3）X 可取的值为2,3,4,5
()121
2223
104
2120C C C P X C +=== ()211224243
1016
3120
C C C C P X C +===
()211226263
1036
4120C C C C P X C +=== ()2112
28283
1064
5120
C C C C P X C +=== X 的分布列为：
12345301510153
E ξ∴=?
+?+?+?=。