医学统计学 4二项分布于泊松分布

n (1 )
n
(1 )
n
π常未知，用p作为π的估计值
二项分布的图形
n=7, π=0.2
n=7, π=0.5
n=25, π=0.2
二项分布的性质二
当π=0.5时，二项分布呈对称状态 ; 当n足够大，且π不太靠近0或1时，二项分
布逼近正态分布； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而
医学中Poisson分布
研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布
放射性物质在单位时间内放射出质点 数的分布
在单位空间中某些野生动物或昆虫数 的分布
在一定人群中某种低患病率的非传染 性疾病患病数或死亡数分布
C5X 0.4 X 0.65 X
本例的实验有以下三个特点： 每次摸球是彼此独立的 每次摸球只有两种可能的结果 每次摸球出现某种结果的概率不变
满足上述三个条件的随机试验称为Bernoulli试验。 本例进行了5次Bernoulli试验。
在n次Bernoulli试验中，事件A出现的概率为π， 设x为事件A出现的次数，则x是一个离散型随机变 量，它服从二项分布，记为B(n, π ),其概率函数
概率函数P(X=k)= ke
k!
k=0, 1, 2, …
P(X=k)>0，且
P(x k) ke 1
k0
k0 k!
poisson分布的性质
数学期望E（X）=方差D（X）=λ； 当λ足够大（如λ≥20）时，Poisson分布逼近 于正态分布； 如果相互独立的m个随机变量都服从Poisson分 布，则它们之和仍服从Poisson分布，且其均数 为k个随机变量的均数之和，这一性质称为 Poisson分布的可加性。
有10人感染的概率为：
P( X
10)

C10 150
0.13100.8715010

150!
0.13100.8715010 0.005510!(150 10)!
至多有2人感染的概率为：
2
P(X 2)
CX 150
0.13
X
0.87
150
X
X 0
8.47 1010 1.90 108 2.11107 2.31102
至少有2人感染的概率为：
150
P(X 2)
CX 150
0.13X
0.87150
X
X 2
1[P( X 0) P( X 1)]
1[8.471010 1.90108 ] 1
Poisson分布（poisson distribution）
一 种 重 要 的 离 散 型 分 布 ， 由 法 国 数 学 家 S.D.Poisson 1837年提出，故称为Poisson分布。Poisson分布有如下 情形： （1）贝努利试验中稀有事件出现次数 （2）在长为t的时间段上出现的质点数 （3）在体积（或面积）为τ的区域内出现的质点数
为：
P(x) P(X x) Cnx x (1 )nx
Cnx

n! x!(n
x)!
x 0,1, 2,3, , n
恰好是牛顿展开式 ，故又称为二项分布
的项
n次Bernoulli试验中：
事件A至多出现k次的概率为 事件A至少出现k次的概率为
k
k
P(x) Cnx x (1 )nx
二项分布与泊松分布
二项分布的概念
例：一袋中装有2黄、3白共5个乒乓球。从中每次摸 出1个，然后放回再摸。先后摸5次，问摸到0、1、 2、3、4、5次黄球的概率各有多大？
解：设摸到黄球的次数为X，若5次摸球中前X次摸到 黄球，后5-X次摸到白球，则相应的概率为：
摸到黄球可能发生在5次摸球的任意1次中，故5次摸 球中有X次摸到黄球的概率为
x0
x0
n
k 1
P(x) 1 Cnx x (1 )nx
xk
x0
二项分布的性质一
若X~B( n , π)
X的均数 X的方差
x n

2 x

n
(1

)
X的标准差 x n (1 )
率的均数
p

x
n

n
n

率的标准差
p
x
n
π<0.1或π>0.9时，二项分布近似于泊松 分布。
正态近似 当n足够大，π与1-π均不太小， 如nπ≥ 5 且n(1-π ) ≥ 5
P~N（ , (1 )
）
n
则 u p (1 )
n
例
如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150 人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？至多 有2人感染钩虫的概率有多大？至少有2人感染 钩虫的概率有多大？