人教新课标版数学高二人教A版必修5试题 正、余弦定理在实际中的应用

课时跟踪检测(三) 正、余弦定理在实际中的应用
一、选择题 1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A ．α＞β
B ．α＝β
C ．α＋β＝90°
D ．α＋β＝180°
2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )
A.2a km
B.3a km
C ．a km
D ．2a km
3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A ．5
B ．10
C ．10 2
D ．10 3
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )
A.1762
海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时
5. 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行( )
A ．102海里
B ．202海里
C ．30海里
D ．302海里
二、填空题
6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.
7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.
8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
三、解答题
9．海岛O上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？
10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．
答案
课时跟踪检测(三)
1.解析：选
B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故
应选B.
2．选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.
3.选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，
由正弦定理，得
BB′＝
AB sin 45°
sin 30°
＝
10×
2
2
1
2
＝102(m)．
∴坡底延伸10 2 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
4．选A如图所示，在△PMN中，
PM
sin 45°
＝MN
sin 120°
，
∴MN＝68×3
2
＝346，
∴v＝MN
4
＝17
26(海里/小时)．
5．选D如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×
1
3
＝102＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，
∴A1B2＝10 2.
在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°，
∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×22
＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．
6．解析：如右图所示，由题意可知AB ＝33，
BC ＝2，
∠ABC ＝150°.
由余弦定理，得
AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.
答案：7
7．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，
∠ABO ＝45°，
则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：
x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB
＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)． 答案：1063
cm 8.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，
则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，
∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，
DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ，
AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ，
则在Rt △ADB 中，
DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ，
则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile.
答案：10 3
9.解：如图所示，设观察站A 在水平面上的射影为O ，依题意OB ＝OA ·tan 30°＝
33
(千米)， OC ＝OA ·tan 60°＝ 3(千米)，
则BC ＝
OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos 120°＝
133(千米)． ∴船速v ＝133÷1060
＝239(千米/小时)． 10．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点，
则A 、B 、C 构成一个△ABC ，
如图，设乙船速度为v ，
则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t .
由题意BC ＝v t ，AC ＝3v t ，∠ABC ＝120°.
在△ABC 中，
由余弦定理
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，
∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t .
∴2v 2t 2－a v t －a 2＝0，
解得v t ＝－a 2
(舍)或v t ＝a . ∴BC ＝a ，
在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，
∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.
答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a 海里．。