2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(一)理科数学

2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭
，{}
2
320N x x x =-+≤，则M
N =（ ）
A. ∅
B. {}2
C. {}1
D. {}1,2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据集合中元素的意义判断即可.
【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅.
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 2.设复数12z i =+，则
1z
i
=+（ ） A.
3122i + B.
3122
i - C. 1322
i -
- D. 1322
i -
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
代入共轭复数z 再根据复数的除法求解即可.
【详解】由题
()()()()
212112132131111222i i z i i i i i i i i ----+====--+++-. 故选：C
【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念与复数除法的运算,属于基础题. 3.设a ，b 为非零向量，则“a b =”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量相等与模长相等的意义判定即可.
【详解】由题,若a b =则必有a b =,但当a b =时因为向量有方向,故a b =不一定成立. 故“a b =”是“a b =”的充分而不必要条件. 故选：A
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量的辨析,属于基础题. 4.如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是OAB ，其中4OB AB ==，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）
A. 162
B. 82
C. 16
D. 8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据斜二测的
画法计算原平面图形的边角关系再计算即可.
【详解】根据斜二测画法可知,该图的直观图为'Rt A OB ,且
22'224482A O AO ==⨯+=.
故面积为
1
4821622
⨯⨯=.
故选：A
【点睛】本题主要考查了斜二测画法所得的直观图与原图形之间的关系,属于基础题. 5.下列命题中正确的是（ ）
①已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ
，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=；
②相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越大，相关性越弱； ③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高. A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
【答案】B 【解析】 【分析】
对①,根据正态分布的性质求解即可.对②③④根据相关系数与残差的性质判定即可. 【
详
解
】
对
①,
()()()()()02244240.50.3P P P P P ξξξξξ<-<<=<<==<<-=①对.
对②, 相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,[]11r ,∈-且r 越大,相关性越强.②错.
对③, 相关指数2R 用来刻画回归的效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越差.③错. 对④, 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄,其模型拟合的精度就越高.④对. 故①④正确. 故选：B
【点睛】本题主要考查了正态分布的性质与线性回归方程中相关系数、相关指数与残差的基础知识,属于基础题.
6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ B. 若m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβ C. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ D. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】 分析】
根据线面垂直的性质与判定逐个选项证明或举反例即可.
【详解】对A,当m β⊥时也满足m α⊥,n β⊂,且m n ⊥,但此时//αβ,故A 错误. 对B,当l αβ=,且//,//m l n l 时也满足m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α,但此时l α
β=,
故B 错误.
对C, 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥成立.故C 正确. 对D, 当m n ⋂时也可以满足//m α,//n β,且//αβ.故D 错误. 故选：C
【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.
7.现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（ ） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 108种
【答案】B 【解析】 【分析】
根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.
【详解】由题,当去一中的只有甲教师时共有122
34236236C C A ⋅⋅=⨯⨯=种.
当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有13
434624C A ⋅=⨯=种.
故共有36+2460=种分配方法. 故选：B
【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.
8.已知()()cos 0,,2f x x x R π
ωϕωϕ⎛⎫
=+><
∈ ⎪⎝
⎭
两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π
，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）
A. 3
π- B. 3π C. 6π
D. 6
π-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2
π
,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的
值即可.
【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2
π
可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23
x π
=
时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯
+=+⇒=-∈,又2
πϕ<,故3π
ϕ=-. 故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的
性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.
9.已知点()3,0M -，()3,0N ，动点A 满足4AM AN -=，则AM 的最小值是（ ） A. 7 B. 5
C. 3
D. 1，
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义可知动点A 的轨迹为双曲线的右支,再根据双曲线的性质判断AM 的最小值即可.
【详解】由题, 动点A 的轨迹为以()3,0M -,()3,0N 为焦点, 42a AM AN =-=的双曲
线的右支,此时双曲线方程为()22
1245
x y x -=≥.故当A 在顶点()2,0时AM 取最小值
325+=.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求焦点到双曲线上距离的最值问题,属于基础题.
10.若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.2
23c -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A. a c b <<
B. a b c <<
C. c a b <<
D. c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
分析a ,b ,c 与1的大小关系,再根据幂函数的单调性判定即可. 【详解】由题, 113321log log 153a =<=,0.2
0.2
1313b -⎛⎫
==> ⎪
⎝⎭
,0.2
0.2
2331322c -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
==>= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
.故a 最
小.
又0.2
0.2332⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,故b c >.所以a c b <<.
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,一般做法是确定函数值的大致范围或根据函数单调性进行比较,属于基础题.
11.函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()2
f x x =，又函数
()sin g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C 【解析】 【分析】
数形结合分别根据对称性与周期性画出()f x 的图像与()sin g x x π=的图像,再观察图像即可.
【详解】因为()()f x f x -=,故()f x 为偶函数,关于y 轴对称.又()()2f x f x =+,故()f x 周期为2.
故画出当[]0,1x ∈时,()2
f x x =在根据对称性与周期性补全()f x 在[]1,3-上的图像.
又()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数即为()()f x g x =在[]1,3-上的零点个数即
()()f x g x =在[]1,3-上的交点个数.观察图像可得共有6个交点.
故选：C
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的对称性与周期性画图分析,属于中档题.
12.在ABC 中，60ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D ，
若1CD =，则4BC AC +
的最小值是（ ） A. 3
3 B. 63
C. 6
D. 9
【答案】A 【解析】 【分析】
设AC b =,BC a =,利用ABC
ADC
BDC
S
S
S
=+代入面积公式可得
11
3a b
+=,再利用基本不等式中“1的妙用”构造()11443a b a b a b ⎛⎫+=
++ ⎪⎝⎭
利用基本不等式求最小值即可. 【详解】
如图所示,ABC 中,60ACB ∠=︒, ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D , 且1CD =,设AC b =,BC a =, 由ABC
ADC
BDC
S S
S
=+,
即
111
sin 60sin 30sin 30222ab b a ︒=︒+︒, 化为11
3a b
+=,
则)114444533b a BC AC a b a b a b a b ⎛⎫⎫+=+=
++=++ ⎪⎪⎝⎭
⎭ 452333b a a b ⎛≥+⋅=当且仅当23b a ==,取得等号, 则4BC AC +的最小值为33故选：A .
【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式的运用与构造基本不等式求最小值的方法.属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．
【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以
，所以它在
处的切线的斜率
.
考点：导数的应用.
14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则异面直线BE 与AC 所成的角为________. 【答案】90︒. 【解析】 【分析】
利用线面垂直的判定与性质证明直线BE 与AC 垂直即可.
【详解】连接DB ,因为正方体1111ABCD A B C D -故AC BD ⊥,1DD ⊥平面ABCD .故
1DD AC ⊥.
又1
DD BD D =,故AC ⊥平面11DBB D .故AC BE ⊥.所以异面直线BE 与AC 所成的角为
90︒.
故答案为：90︒
【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题. 15.已知0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,02πβ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭，且2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3
cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为________.
. 【解析】 【分析】
分析已知的余弦值与所求的余弦值角度的关系可知2442β
ππβαα⎛⎫⎛⎫
+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,再利用两角差的余弦函数求解即可.
【详解】因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,故sin 43
πα⎛⎫+==
⎪⎝⎭.
又因为,02πβ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭,所以sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭. cos cos cos cos sin sin 24
42442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
233339
⨯+=
=.
故答案为：
9
【点睛】本题主要考查了利用凑角求解三角函数值的问题,需要注意根据角度的范围求解正余弦函数的值,属于中档题..
16.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… …… …… …… …… 【答案】171. 【解析】
【分析】
根据杨辉三角每行的各个数等于二项式展开项的系数求解即可.
【详解】根据二项式()n
a b +展开项的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=可知, 第19行第18个数为当
17r =时的项的系数172
1919171C C ==.
故答案为：171
【点睛】本题主要考查了杨辉三角与二项展开式的关系,属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a n =；（2）2n
n b n =+，()
()12212
n n n n T +=
+-. 【解析】 【分析】
(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.
【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,
故()()2
22141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.
又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.
(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()
12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++
()()()()122121212
12
2
n n n n n n -+=
+
=
-++-.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.
18.哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]
90,100，其部分频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求成绩在[
)70,80的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数； （Ⅱ）从成绩在[)40,50和[]
90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； （Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 4 30 女 30 合计
60
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
()
20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
5.024
6.635 7879 10.828
【答案】（Ⅰ）直方图高度0.03，众数75，中位数220
3
；（Ⅱ）12；（Ⅲ）表格见解析，有99%
的把握认为成绩是否优秀与性别有关. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据频率和为1计算即可.
（Ⅱ）利用组合数的方法分别求解总的情况数与满足条件的情况数即可. （Ⅲ）根据频率直方图补全表格,再计算2K 对照表格分析即可. 【详解】(Ⅰ)根据频率和为1,计算[)70,80的频率为：
()1100.010.0150.0150.0250.0050.3-++++=,
所以[)70,80对应的频率直方图高度0.03,如图所示；
由频率分布直方图知众数为75；
由0.10.150.150.40.5++=<,0.40.30.70.5+=>可知 中位数在[)70,80内,计算中位数为0.1220
700.033
+
=； (Ⅱ)成绩在[)40,50内有600.16⨯=人,在[]90,100内有600.053⨯=人；
从这9人中选2人,基本事件为2
936C =(种),
其中在同一分数段的基本事件为22
6318C C += (种), 故所求的概率为181362
P ==
；
(Ⅲ)由题意填写列联表如下； 优秀 非优秀 合计 男 4 26 30 女 14 16 30 合计 18
42
60
计算()2
260416147.937 6.635303018242
6K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关。

【点睛】本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题,同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题.属于中档题.
19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 上的一点.
（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --329
求二面角1B C D C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2429
. 【解析】 【分析】
(1)分别证明1C D BC ⊥与1C D DC ⊥即可.
(2) 以C 为坐标原点,分别以射线CA ,CB ,1CC 为x 轴,y 轴,z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系.设()1,0,D a ,利用二面角1D BC C --的余弦值为329
求得a ,再利用空间向量求解二面角的方法求解二面角1B C D C --的余弦值即可. 【详解】（1）
1CC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC
1CC BC ∴⊥
又
BC CA ⊥,1CC ⊂平面11A ACC ,AC ⊂平面11A ACC
1
CC AC C =
BC ∴⊥平面11A ACC
1C D BC ∴⊥
1145A DC ADC ∠=∠=︒ 190C DC ∴∠=︒,1C D DC ∴⊥
DC ⊂平面DCB ,DC ⊂平面DCB
1C D ∴⊥平面DCB
（2）
以C 为坐标原点,分别以射线CA ,CB ,1CC 为x 轴,y 轴,z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系.设()1,0,D a ,[]()
0,2a ∈,()10,0,2C ,()0,1,0B ,()0,0,0C
()11,0,2a DC =--,()10,1,2C B =-
设()1111,,n x y z 为平面1
DC B 的法向量,则()1111111120
0200x a z n DC y z n C B ⎧⎧-+-=⋅=⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩
, 设11z =则有12y =,12x a =-.此时()12,2,1n a =-
()21,0,0n =是平面1C BC 的法向量,则
(121212
1cos ,2n n n n a n n ⋅=
=
=⇒=
,13,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
因为()30,1,0n =是平面1C CD 的法向量,则
13131
2
cos ,1n n n n n n ⋅=
=
=
⋅
则二面角1B C D C
--的
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定,同时也考查了根据空间向量求解二面角问题的方法等.需要根据题意设未知量,再根据题意求解位置量.属于中档题.
20.椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>
过点2P ⎭
，左焦点为F ，PF 与y 轴交于点Q ，且满足6
03
PQ FQ +
=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆2
2
:1O x y +=，直线:l y kx m =+与圆O 相切且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当
OA OB λ=⋅且1,12λ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，求弦长AB 的范围，并求当弦长AB 最大时，直线l 的方程.
【答案】（1）2214x y +=；（2）(]0,2AB ∈，2y x =±±
【解析】 【分析】
(1) 设(),0F c -,根据603PQ FQ +
=与平面向量坐标运算求解c ,再代入2P ⎭
求解
即可.
(2)联立直线与椭圆的方程得出对应的二次方程与韦达定理,再根据直线:l y kx m =+与圆O 相切可得221m k =+,再利用OA OB λ=⋅代入韦达定理化简得2
141
k λ
λ-=
-,继而求得弦长AB 关于λ的表达式,利用1,12λ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
求解范围即可.
【详解】（1）设(),0F c -
6
03
PQ FQ +
=
)00c
+= c ∴=22222
1123
a b a b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩
2
4a ∴=,2
1b =,2
2:14
x C y += （2）22
440
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩,则()222
148440k x kmx m +++-= 设()11,A x y ,()22,B x y 则
1222
1228144414km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
,()()()2
228414440km k m ∆=-+->
2211d m k =
=⇒=+
()()22121212121x x y y k x x km x x m λ=+=++++
()2222
22224485441141414m km m k k km m k k k ---⎛⎫=++-+= ⎪+++⎝⎭
()2222
2
25144
11141441
k k k k k k λλ+--+-=
=⇒=++-,1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ①
12AB x =-=
②
将①代入②(]0,2AB AB ⇒=∈
当max 2AB =时,2
12k =
,2
32m =
,:22
l y x =±± 【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆方程,利用韦达定理表达所给条件,继而得出直线
:l y kx m =+中参数的表达式再进行求解所求弦长的方法.属于难题.
21.已知函数()2
ln 2f x x x ax ax a =--+-.
（1）当1
2
a =
时，判断()f x 在定义域上的单调性； （2）若对定义域上的任意的[)1,x ∈+∞，有()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
（3
）证明：11
1ln 21
n
i i =<+-∑()*n N ∈. 【答案】（1）因为()120f x x x ⎛
⎫'=-+≤ ⎪⎝
⎭
所以()f x 在()0,∞+上单调递减，（2）12
a ≥，
（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)求导后利用基本不等式证明导函数小于等于0即可. (2) ()()()121ax x f x x
--'=
,再分0a ≤、102
a <<和12
a ≥三种情况分别讨论函数()f x 的
最大值分析即可.
(3)根据(2)中的结论知,()()2
11ln 12x x x --<-对任意1x >都成立, 取2121
i x i +=
-再累加求证即可.
【详解】（1）当12a =时,()211ln 22f x x x x x =--+-,故()12f x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝
⎭
因为12x x +
≥=,当且仅当1x =时取等号.故()120f x x x ⎛⎫'=-+≤ ⎪⎝⎭
所以()f x 在()0,∞+上单调递减. （2）∵()()()121ax x f x x
--'=
,
当0a ≤时,则()0f x '>,∴()f x 在[
)1,+∞上单调递增, ()()11f x f ≥=, 当1
02a <<时,令()0f x '=,解得12x a
=, 当112x a
≤<
时, ()0f x '>,当1
2x a >时, ()0f x '<,
∴()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增,在12,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减,则11,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()()11f x f ≥=,
当1
2a ≥
时,()0f x '< ,()f x 在[)1,+∞上单调递减,则()()11f x f ≤=, ∴12
a ≥
（3）当1n =时
,11ln <+ 当2n ≥时,由（2）知,()()2
11ln 12
x x x --<
-对任意1x >都成立 取2121i x i +=-,*i N ∈,则2
21211211ln 12121221i i i i i i +++⎛⎫⎛⎫--<- ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭ 所以()2
2212
ln 212121i i i i +-<--- 当2i ≥时
()
()()()()
2
2
2
2
11
212121232321
21i i i i i i i =
<
=
-------- 所以222
2111ln 21
212321n
n i i i i i i i ==+⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭∑∑
所以
222111ln 213121n
i n i n =+⎛⎫-<- ⎪-+⎝
⎭∑ 所以
()()1212ln 21ln 312ln 212121n
i n n i n =⎛⎫
<++-+-<++ ⎪
-+⎝⎭
∑
所以12
1ln 21
n
i i =<+-∑ 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数单调性与分参数的不同范围判定函数的最值从而证明不等式的问题.同时也考查了根据前问的结论累加求证不等式的问题.属于难题.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为3cos 1sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=+⎩其中t 为参数，α为直线1
C 的倾斜角，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
5ρ=，曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点.
（1）当4
π
α
=
时，求1C 的普通方程； （2）当α变化时，求AB 的最小值.
【答案】（1）40x y -+=；（2
）min AB =【解析】 【分析】 (1)代入4
π
α
=
再消去参数t 即可. (2)联立直线的参数方程与2C 的直角坐标方程,再根据直线参数的几何意义求解即可.
【详解】(1) 当4πα=时,1C
的参数方程为31x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
,(t 为参数)上下式相减可得
4x y -=-即40x y -+=.
(2)曲线2C 的极坐标方程为5ρ=,转换为直角坐标方程为22
25x y +=.
把3cos 1sin x t y t αα
=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),代入圆的方程得到：()()223cos 1sin 25t t αα-+++=,整理得()2
2sin 6cos 150t t αα+--=,
则：126cos 2sin t t αα+=-,1215t t ⋅=- 所以
12AB t t =-==
=
其中cos θθ==故当()2cos 0αθ+=时
AB
=【点睛】本题主要考查了直线参数方程与直角坐标的互化与直线参数方程的几何意义,需要联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,继而得到关于参数的韦达定理,再求解弦长等.属于中档题. 23.设函数()11f x x x =-++，设()4f x <的解集为S .
（Ⅰ）求S ，
（Ⅱ）证明：当α，b S ∈时，24a b ab +<+.
【答案】（Ⅰ）()2,2S =-；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)分段讨论去绝对值再求解即可.
(Ⅱ)根据(1)可得240a -<,240b -<,再相乘化简,整理构造出,a b ab +的结构即可. 【详解】（Ⅰ）()2,1112,112,1x x f x x x x x x >⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪-<-⎩
.
因为()4f x <,故241x x <⎧⎨>⎩或11x -≤≤或241x x -<⎧⎨<-⎩
, 所以12x <<或11x -≤≤或21x -<<-,故22x -<<
所以()2,2S =-
（Ⅱ）证明：因为a ,b S ∈,所以240a -<,240b -<
所以()()22440a b -->.所以()()()22
2222416440a b a b ab a b -++=+-+>, 所以24a b ab +<+.原不等式得证.
【点睛】本题主要考查了分段去绝对值解不等式的问题,同时也考查了构造不等式的证明方法,属于中档题.。