八年级上学期1月月考期末复习学业水平调研数学卷(含答案)

八年级上学期1月月考期末复习学业水平调研数学卷（含答案）
一、选择题
1．下列四组线段a 、b 、c ，不能组成直角三角形的是( ) A ．4,5,3a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c ===
C ．5,
12,13a b c ===
D ．1,
,3a b c ===
2．变量x 、y 有如下的关系，其中y 是x 的函数的是（ ） A ．28y x =
B ．||y x =
C ．1y x
=
D ．412
x y =
3．人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到（ ） A ．0.001cm
B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
4．下列四组线段a ，b ，c ，能组成直角三角形的是（ ）
A ．1a =，2b =，3c =
B ．1a =，b =
c =
C ．2a =，3b =，4c =
D ．4a =，5b =，6c = 5．已知：△ABC ≌△DCB ，若BC=10cm ，AB=6cm ，AC=7cm ，则CD 为（ ） A ．10cm B ．7cm
C ．6cm
D ．6cm 或7cm
6．在同一平面直角坐标系中，函数y x =-与34y x =-的图像交于点P ，则点P 的坐标
为( ) A ．(1,1)- B ．(1,1)-
C ．(2,2)-
D ．(2,2)-
7．给出下列实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
8．已知A (a ，b )，B (c ，d )是一次函数y =kx ﹣3x +2图象上的不同两个点，m =(a ﹣c )(b ﹣d )，则当m ＜0时，k 的取值范围是( ) A ．k ＜3
B ．k ＞3
C ．k ＜2
D ．k ＞2
9．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下：
当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >-
D ．1x <-
10．如图：若△ABE≌△ACD，且AB＝6，AE＝2，则EC的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题
11．关于x的分式方程2
1
1
x a
x
+
=
+
的解为负数，则a的取值范围是_________.
12．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b ﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是_____（填序号）．
13．如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，AB=OB，点C在边AB上，且C(6，4)，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当∠APC=∠DPO时，点P的坐标为 ____.
14．计算1
1224
2
⨯+=__________．
15．式子
1
x-
在实数范围内有意义的条件是__________．
16．计算
2
22
m
m m
+
--
的结果是___________
17．如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A=______°．
18．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是_____．
19．分解因式：12a 2－3b 2＝____．
20．在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点坐标分别是A （-4，-1），B （1,1），将线段AB 平移后得到线段A B ''（点A 的对应点为A '），若点A '的坐标为（-2,2）则点
B '的坐标为________________ 三、解答题
21．先化简再求值：21111a a a ⎛⎫
-÷
⎪+-⎝⎭
，其中2a =. 22．已知一次函数5y kx =+的图象经过点(2,1)A -.
（1）求k 的值；
（2）在图中画出这个函数的图象；
（3）若该图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，试确定OBC ∆的面积.. 23．（模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .
求证：BEC CDA ∆∆≌； （模型应用） ①已知直线1l ：4
43
y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点()8,6B
，作BA y ⊥轴于点A ，作BC x ⊥轴于点
C ，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点
A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q
的坐标，若不能，请说明理由.
24．如图1，在直角坐标系xoy 中，点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，点A 的对应点为点C ．
（1）若A （6，0），B （0，4），求点C 的坐标；
（2）以B 为直角顶点，以AB 和OB 为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △OBE ，连DE 交y 轴于点M ，当点A 和点B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动时，判断并证明AO 与MB 的数量关系．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为
()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且
10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,
.
（1）点A的坐标为___________；
（2）当ABP
△是等腰三角形时，求P点的坐标；
⊥交线段AB于点E，连接OE，若点A关于直线OE的（3）如图2，过点P作PE AB
对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=_____________.（直接写出答案）四、压轴题
26．（1）在等边三角形ABC中，
①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；
②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；
（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若
∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3．
图1 图2
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；
（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；28．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？
29．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF
30．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．
（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；
（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段
DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可. 【详解】
解：A.22
22223491625,
525,a b c +=+==+=,
B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,
C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,
222222123,39,.1D a b c +=+==+≠.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，正确计算出每项的结果.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数的定义：对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应即可确定有几个函数． 【详解】
A. 28y x =，y 不是x 的函数，故错误；
B. ||y x =，y 不是x 的函数，故错误；
C. 1
y x
= ，y 是x 的函数，故正确； D. 4
12x y =
，y 不是x 的函数，故错误； 故选C. 【点睛】
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
把数还原后，再看首数8的最后一位数字8所在的位数是十万分位，即精确到十万分位． 【详解】
∵5810-⨯=0.00008，
∴近似数5810-⨯是精确到十万分位，即0.00001． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了科学记数法与有效数字，正确还原数据是解题关键．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
A ．12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误； B
．2221+，能组成直角三角形，故此选项正确； C ．32+22≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误； D ．42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
全等图形中的对应边相等. 【详解】
根据△ABC ≌△DCB ，所以AB=CD,所以CD=6，所以答案选择C 项. 【点睛】
本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
联立两直线解析式，解方程组即可． 【详解】 联立34
y x
y x -⎧⎨
-⎩＝＝，
解得11
x y ⎧⎨
-⎩＝
＝，
所以，点P 的坐标为（1，-1）． 故选B ． 【点睛】
本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：−5，
实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个02
π
、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
将点A ，点B 坐标代入解析式可求k−3＝b d
a c
--，即可求解． 【详解】
∵A (a ，b )，B (c ，d )是一次函数y =kx ﹣3x +2图象上的不同两个点， ∴b =ka ﹣3a +2，d =kc ﹣3c +2，且a ≠c ， ∴k ﹣3=
b d
a c
--． ∵m =(a ﹣c )(b ﹣d )＜0， ∴k ＜3． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−3＝b d a c
--是关键，是一道基础题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断． 【详解】
解：根据表格可得y 1=k 2x+b 1中y 随x 的增大而减小，y 2=k 2x+b 2中y 随x 的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-2，-3）． 则当x ＜-2时，y 1＞y 2． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】
解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝6，
∴EC＝AC﹣AE＝6-2=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1
解析：12
>≠
且
a a
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析
12．①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△A
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定理的运用.
13．（，）
【解析】
【分析】
根据题意，△ABO为等腰直角三角形，由点C坐标为（6，4），可知点B为（6，0），点A为（6，6），则直线OA为，作点D关于OA的对称点E，点E 恰好落在y轴上，连接CE，
解析：
（18
5
，
18
5
）
【解析】
【分析】
根据题意，△ABO为等腰直角三角形，由点C坐标为（6，4），可知点B为（6，0），点A为（6，6），则直线OA为y x
=，作点D关于OA的对称点E，点E恰好落在y轴上，连接CE，交OA于点P，则点E坐标为（0，3），然后求出直线CE的解析式，联合
y x
=，即可求出点P的坐标.
【详解】
解：在Rt△ABO中，∠OBA=90°，AB=OB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点C在边AB上，且C(6，4)，
∴点B为（6，0），
∴OB=6=AB，
∴点A坐标为：（6，6），
∴直线OA的解析式为：y x
=；
作点D关于OA的对称点E，点E恰好落在y轴上，连接CE，交OA于点P，
∴∠APC=∠OPE=∠DPO，OD=OE，
∵点D是OB的中点，
∴点D的坐标为（3，0），
∴点E的坐标为：（0，3）；
设直线CE的解析式为：y kx b
=+，
把点C、E代入，得：
64
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
6
3
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线CE的解析式为：
1
3
6
y x
=+；
∴
1
3
6
y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得：
18
5
18
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点P的坐标为：（18
5
，
18
5
）；
故答案为：（18
5
，
18
5
）.
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，以及线段动点问题，正确的找到P点的位置是解题的关键．
14．【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
解析：
【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
1
1224
26
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
15．【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：式子在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意
解析：1x >
【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0， 解得：x ＞1．
故答案为：1x >．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
16．-1.
【解析】
【分析】
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】
=
故答案为-1.
【点睛】
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分
解析：-1.
【解析】
【分析】
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】
222m m m +--=222 1.2222
m m m m m m m ---==-=----- 故答案为-1.
【点睛】
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母． 17．60
【解析】
∵E 在线段BC 的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE 平分∠AC B ，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=18
解析：60
【解析】
∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=60°，
故答案为：60.
18．8
【解析】
【分析】
作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥BC于点F，作
解析：8
【解析】
【分析】
作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝1
2
AB•PC＝
1
2
BC•AF＝
1
2
×5CP＝
1
2
×6×4
得：CP＝4.8
故答案为4.8．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用. 19．3(2a ＋b)(2a －b)
【解析】12a2－3b2＝3（4a2-b2）=3(2a+b)(2a-b);
故答案是：3(2a ＋b)(2a －b)。

解析：3(2a ＋b )(2a －b )
【解析】12a 2－3b 2＝3（4a 2-b 2）=3(2a+b)(2a-b);
故答案是：3(2a ＋b )(2a －b )。

20．（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向 解析：（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A ′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B ′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A ′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴点B ′的坐标为(3，4)．
点睛：本题主要考查的是线段的平移法则，属于基础题型．线段的平移法则就是点的平移法则，属于基础题型．
三、解答题
21．1a -+，-1.
【解析】
【分析】
先对括号里的减法运算进行通分，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式，再把a 的值代入求解．
【详解】 原式1(1)1(1)(1)
a a a a a --=÷++- (1)(1)1a a a a a
-+-=⋅+
1a =-+．
当a =2时，原式=-2+1=-1．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
22．（1）3k =-；（2）画图见解析；（3）256OBC S =
△ 【解析】
【分析】
（1）把点(2,1)A -代入解析式5y kx =+即可求出k 的值；
（2）用两点法画出函数图像即可；
（3）利用三角形面积公式进行计算．
【详解】
解：
（1）将2,1x y ==-代入5y kx =+得：251k +=-，解得3k =-；
（2）∵3k =-，
∴35y x =-+，
当x=0时，y=5；
当y=0时，-3x+5=0，53
x =
, 如图：
（3）由（2）知，53
OB =，OC=5， 则5
5•253226
OBC OC OB S ⨯
===. 【点睛】 本题主要考查了满足函数解析式的点一定在函数的图象上，一次函数与坐标轴的交点，以及图形与坐标的性质，求出一次函数解析式是解答本题的关键．
23．【模型建立】详见解析；【模型应用】①721y x =--；②Q 点坐标为（4，2）或
（
203
，223）. . 【解析】
【分析】
模型建立：根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定
△ACD ≌△CBE ；
模型应用：①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据
△CBD ≌△BAO ，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C （-3，5），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；
②分两种情况考虑：如图3，∠AQP=90°，AQ=PQ ，设Q 点坐标为（a ，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q 点坐标；如图4，同理求出Q 的坐标.
【详解】
模型建立：证明：∵AD CD ⊥，BE EC ⊥
∴90D E ∠=∠=︒.
∵CB CA =,∠ACB=90°.
∴1809090ACD BCE ︒︒∠+∠=-=︒.
又∵90EBC BCE ∠+∠=︒，
∴ACD EBC ∠=∠.
在ACD ∆与CBE ∆中，
D E ACD EBC CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BEC CDA ∆∆≌.
模型应用：
如图2，过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，
∵45BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等腰直角三角形.
由（1）可知：CBD BAO ∆∆≌，
∴BD AO =，CD OB =.
∵144,3
:l y x =+
∴令0y =，得3x =-，∴()30A -,
， 令0x =，得4y =，∴()0,4B .
∴3BD AO ==，4CD OB ==，
∴437OD =+=.
∴()4,7C -.
设2l 的解析式为y kx b =+
∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩
∴721k b =-⎧⎨
=-⎩ 2l 的解析式：721y x =--.
分以下两种情况：
如图3，当∠AQP=90°时，AQ=PQ ，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ．
在△AQE 和△QPF 中，由（1）可得，△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a ，解得a=4.
此时点Q 的坐标为（4，2）.
如图4：当∠AQP=90°时，AQ=PQ 时，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12，FQ=8-a ．
,
在△AQE 和△QPF 中，同理可得△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，即2a-12=8-a ，解得a=203
.
此时点Q
的坐标为（
20
3
，
22
3
）.
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为（4，
2）或（20
3
，
22
3
）.
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
24．（1）C(－4，－2)；（2）AO＝ 2MB．证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）过C点作y轴的垂线段，垂足为H点，证明△ABO≌△BCH，利用全等三角形的性质结合C在第三象限即可求得C点坐标；
（2）过D点作DN⊥y轴于点N，证明△DBN≌△BAO，根据全等三角形对应边相等BN＝AO，DN＝BO，再证明△DMN≌△EMB，可得MN＝MB，于是可得AO＝2MB.
【详解】
（1）解：过C点作y轴的垂线段，垂足为H点．
∴∠BHC＝∠AOB＝90°，
∵A（6，0），B（0，4）
∴OA=6，OB=4
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠OBC＝90°，又∠ABO＋∠OAB＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
∵在△ABO和△BCH中
BHC AOB
OBC OAB
AB BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABO≌△BCH，
∴AO ＝BH ＝6，CH ＝BO ＝4，
∴OH ＝2，
∴C (－4，－2)．
（2）AO ＝ 2MB ．
过D 点作DN ⊥y 轴于点N ，
∴∠BND ＝∠AOB ＝90°，
∵△ABD 、△OBE 为等腰直角三角形，
∴∠ABD ＝∠OBE ＝90°，AB ＝BD ，BO ＝BE ，
∴∠DBN ＋∠ABO ＝∠BAO ＋∠ABO ＝90°，
∴∠DBN ＝∠BAO ，
∴△DBN ≌△BAO ，
∴BN ＝AO ，DN ＝BO ，
在△DMN 和△EMB 中，
∵DN ＝BO=BE ，∠DNM ＝∠EBM ，∠DMN ＝∠EMB ，
∴△DMN ≌△EMB ，
∴MN ＝MB ＝12BN ＝12
AO ∴AO ＝2MB ．
【点睛】
本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质.能正确作出辅助线，并根据全等三角形的判定定理证明三角形全等是解决此题的关键.
25．（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）425 【解析】
【分析】 （1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标；
（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标；
（3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO
，可得'8OP OA ，82AP ，
设BE x =，则有6AE
x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE
解之即可．
【详解】 解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =， ∴
ABO 是直角三角形，根据勾股定理有： 22221068AO AB BO ，
∴点A 的坐标为()0,8；
（2）∵ABP △是等腰三角形，
当BP AB 时，如图一所示：
∴1064OP BP BO ，
∴P 点的坐标是()4,0；
当AP AB =时，如图二所示：
∴6OP BO
∴P 点的坐标是()6,0；
当AP BP =时，如图三所示：
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP +=
即：22286x x
解之得：73
x = ∴P 点的坐标是7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；
当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ，
∵
PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EA
EA ∴'FAO FAO
，'FAE FAE
∴'EAG EAO 则有：'OPG
EAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，
设BE x ，则有6AE
x ，
根据勾股定理，有： 22
222BP BE EP AP AE 即：222268
8210x x 解之得：425
BE
x 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
四、压轴题
26．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．
【解析】
【分析】
（1）①先证明△ACE ≌△CBD 得到∠ACE=∠CBD ，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF ；②先证明△ACE ≌△CBD 得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA ；
（2）证明△AEC ≌△CDB 得到∠E=∠D ，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD ，
∴△ACE ≌△CBD ，
∴∠ACE=∠CBD ，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．
故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴OC=OA，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB，
∴∠E=∠D，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
27．（1）
4
4
3
y x
=-+；（2）
612
(,)
55
M；（3）
23
(0,)
7
G或(0,-1)
G
【解析】
【分析】
（1）求出点B，C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（
2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标；
（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴A （-2，0），B （0，4），，
又∵OC=3，
∴C （3，0），
设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 的坐标代入得：
304k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：434
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为443
y x =-
+； （2）连接OM ，
∵S △AMB ＝S △AOB ，
∴直线OM 平行于直线AB ，故设直线OM 解析式为：2y x =,
将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组
2443y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
， 解得：65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故点612(,)55
M ； （3）∵FA=FB ，A （-2，0），B （0，4），
∴F （-1，2），设G （0，n ），
①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．
∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，
∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，
∴Q （n-2，n-1），
∵点Q 在直线443y x =-
+上， ∴41(2)43n n -=-
-+， ∴23=7
n , ∴23(0,)7
G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），
∵点Q 在直线443y x =-
+上， ∴4+1(2)43
n n =--+，
∴n=-1，
∴(0,-1)G ．
综上所述，满足条件的点G 坐标为23(0,
)7G 或(0,-1)G 【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）
154；（4）经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；
（2）利用SAS 可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；
（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm ，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中， PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
29．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；
（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°
在△ACD 与△CBE 中，
AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE
∴△ACD ≌△CBE （SAS ），
∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD ，
∵AB=AC ，
∴AE=BD ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC ，
在△BCD 和△ABE 中，
BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE
∴△BCD ≌△ABE （SAS ），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：
如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，
∴△ADG 为等边三角形，
∴AD=DG=CE ，
在△DGF 和△ECF 中，
∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC
∴△DGF ≌△EDF （AAS ），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
30．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．
【解析】
【分析】
（1）利用含30的直角三角形的性质得出12
BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；
（3）同（2）的方法得出结论．
【详解】
解：（1）
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
故答案为：BC BD =；
（2）BF BP BD +=，
理由：90
ACB
∠=︒，30
A
∠=︒，
60
CBA
∴∠=︒，
1
2
BC AB
=，
点D是AB的中点，
BC BD
∴=，
DBC
∴∆是等边三角形，
60
CDB
∴∠=︒，DC DB
=，
线段DP绕点D逆时针旋转60︒，得到线段DF，60
PDF
∴∠=︒，DP DF
=，
CDB PDB PDF PDB
∴∠-∠=∠-∠，
CDP BDF
∴∠=∠，
在DCP
∆和DBF
∆中，
DC DB
CDP BDF
DP DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
DCP DBF
∴∆≅∆，
CP BF
∴=，
CP BP BC
+=，
BF BP BC
∴+=，
BC BD
=，
BF BP BD
∴+=；
（3）如图③，BF BD BP
=+，
理由：90
ACB
∠=︒，30
A
∠=︒，
60
CBA
∴∠=︒，
1
2
BC AB
=，
点D是AB的中点，
BC BD
∴=，
DBC
∴∆是等边三角形，
60
CDB
∴∠=︒，DC DB
=，
线段DP绕点D逆时针旋转60︒，得到线段DF，60
PDF
∴∠=︒，DP DF
=，
CDB PDB PDF PDB
∴∠+∠=∠+∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BC BP =+，
BF BC BP ∴=+，
BC BD =，
BF BD BP ∴=+．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．。