江西省南城县第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题

江西省南城县第一中学2018届高三上学期期中考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合2
*{|70}A x x x x N =-<∈，，则*6
{|
}B y N y A y
=∈∈，中子集的个数为（ ） A ．4个 B ．8个 C ．15个
D ．16个
2．设x ，y ∈R ，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不
必要条件
3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为（ ） A ．12
B ．18
C ．22
D ．44
4．若A 为ABC △的内角，且3sin 25
A =-，则cos()4
A π
+等于（ ）
A ．
B
C ．-
D 5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A ．6斤
B ．9斤
C ．9.5斤
D ．12斤
6．如图所示，点P 从点A 出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，
O 为△ABC 的中心，设点P 走过的路程为x ，△OAP 的面积为()f x （当A 、O 、P
三点共线时，记面积为0），则函数()f x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当1x ，2(0)x ∈+∞，
时，都有
1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，设1
ln
a π
=，2
(ln )b π=，c = ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()
f b f a f c >> C ．()()()f c f a f b >>
D ．()()()f c f b f a >>
8．已知函数2
()|ln |1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
9．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan tan tan tan A B c b
A B c
--=+，
则这个三角形必含有（ ） A ．90︒的内角
B ．60︒的内角
C ．45︒的内角
D ．30的内角
10．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则{a n }的前100项的和为（ ） A ．﹣200
B ．﹣100
C ．0
D ．﹣50
11．已知点P 是圆224x y +=上的动点，点,,A B C 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的动点，且0AB BC ⋅=，则PA PB PC ++的最小值为 A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
12．函数()(4)ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为()s t ，
，且()s t ，中
只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ） A ．114(2]ln 2ln33--， B ．114(2)ln 2ln33--， C ．141
(
1]ln332ln 2
--， D ．141
(
1)ln332ln 2
--，
二、填空题
13．已知向量(sin 1)a θ=，，(sin 0)b θ=-，，(cos 1)c θ=-，
，且(2)a b c -，则tan θ等于__________．
14．数列{}n a 满足11n n n a a a +-=+（*n N ∈，2n ≥）
，n S 是{}n a 的前n 项和，若51a =，则6S =__________．
15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2
1cos sin 212B B +=，
若3BC AB +=，则
16b
ac
的最小值为__________． 16．已知函数1
()|2|2x x a f x +=+
在1[3]2
-，上单调递增，则实数a 的取值范围__________．
三、解答题
17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
18．已知2()cos (sin cos )sin ()f x x m x x x π=-++（0m >）的最小值为2-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，且cos 2cos cos b A c A a B =-，求()f C 的取值范围.
19．等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q （1q ≠），且1212a a q +=-，22·
S b q =. （1）求n a 与n b ； （2）求数列1
{
}n
S 的前n 项和n T . 20．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−4，S m =0，S m+2=14（m ≥2
且m ∈N ∗）. （1）求m 的值；
（2）若数列{b n }满足a
n 2=log 2b n (n ∈N ∗)，求数列{(a n +6)·b n }的前n 项和．
21．设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-.
（1）若2k =，求曲线()y f x =在(12)P -，
处的切线方程； （2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；
（3）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：2
12x x e >
22．已知函数2
1()ln 12
a f x a x x +=++. （1）当12a =-
时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()()1ln 2
a
f x a >+-恒成立，求a 的取值范围.
参考答案
1．D 【详解】
2*{|70}{1,2,3,4,5,6}A x x x x N =-<∈=，，*6
{|
}{1,2,3,6}B y N y A y
=∈∈=，，即子集的个数为4216=，选D. 2．B 【解析】
因为“1xy =” 是“11x y ==且”的必要而不充分条件，所以“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的必要而不充分条件，选B. 3．C 【解析】
试题分析：∵834567810S S a a a a a -=++++=，由等差数列的性质可得，6510a =，∴62a =，由等差数列的求和公式可得，11111611()
11222
a a s a +=
==，故选C.
考点：1、等差数列性质；2、等差数列求和公式. 4．A 【解析】
3sin25A =-
32sin cos 0,(0,)(,)52
A A A A πππ⇒=-<∈⇒∈
所以cos sin A A -===
cos()(cos sin )4
2525
A A A π
+
=
-=-⨯=-
,选A. 5．A
【解析】
由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤. 6．A 【详解】
当A B → 时,1()2f x AP =
，为一次递增函数,去掉B ；当B M →(BC 中点) 时
1()26
P OA P OA f x OA d ad --=
⨯=为一次递减函数，去掉C,D ；所以选A. 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转
化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小
关系 7．C 【解析】
由1x ，()20x ∈+∞，时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，得()y f x =在()0+∞，
上单调递减，
2ln 1ln (ln )()(ln )(ln )()()f b f f f a f c πππππ>∴<<∴<=-=<
选C. 8．C 【解析】
作函数2
ln 1||,2y x y x x =-=-图像，由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=，选C.
点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a ，b ]上是否有f (a )·f (b )<0，还需考虑函数的单调
性． 9．B 【解析】 由
tan tan tan tan A B c b
A B c --=+得
2tan 2sin cos sin 1cos tan tan sin cos sin cos sin 23
B b B A B A A A B c A B B A
C π
=⇒=⇒=⇒=++
选B. 10．B 【分析】
由函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1轴对称，平移可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由题意可得a 50+a 51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和． 【详解】
解：函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称， 可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，
由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51）， 可得a 50+a 51＝﹣2，又{a n }是等差数列， 所以a 1+a 100＝a 50+a 51＝﹣2， 则{a n }的前100项的和为()
11001002
a a +=-100
故选B ． 【点睛】
本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题． 11．B 【解析】
由题设0AB BC ⋅=推知 AC 是圆的直径，则OA 0,OC PA PB PC +=++=所以
33661PO OA PO OC PO OB PO OB PO OB +++++=+=+⋅+=故cos 1α=-时，min ||125PA PB PC ++==，应选答案B ．
点睛：解答本题的突破口是先由题设0AB BC ⋅=推知 AC 是圆的直径，进而得到
OA 0OC +=，从而借助向量的几何运算将PA PB PC 化简为++ 3PO OB +，然后运
用向量的数量积公式得到目标函数
336613712cos PA PB PC PO OB PO OB ++=+=+⋅+=+，最后求出其最小值．
12．A 【解析】
由()0f x >得4ln x
kx x
+>
,因为2ln 10ln (ln )x x y y x e x x -=='=⇒⇒=,作函数4,ln x
y kx y x
=+=
图像如图 由图得，(24)ln 220114
(1)10,(2)0,(3)02(34)ln330
ln 2ln33k f f f k k +->⎧=-≤⇒⇒-<≤-⎨
+-≤⎩ 选A.
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．2
3
-
【解析】
由题意得2(2sin sin ):2cos :(1)3sin 2cos ,tan 3
θθθθθθ+=-∴=-=- 14．4 【解析】
设4a k =，由11n n n a a a +-=+得：3541a a a k =-=-，()243121a a a k k k =-=--=-，
()()13212123a a a k k k =-=---=-，6541a a a k =+=+，故
612623211114S a a a k k k k k =++
+=-+-+-++++=，故答案为4.
15
【解析】 由2
1cos sin212B B +
=得2sin cos sin tan 1,4
B B B B B π=∴== 由3B
C AB +=，得3AC =
，所以
222222cos 92b a c ac B a c ac ac =+-⇒+=≥⇒≤
因此
16484816(2(293b ac ac =≥⨯=
，即16b ac
的最小值为(1623
16．[11]-，
【解析】
令22
x
t t =∴∈，
()2a f x t t =+ 当0a =时()22f x t t ==单调递增，满足题意；
当0a >时()2a f x t t =+
在)+∞
01a ≤⇒<≤； 当0a <时2a t t +
在[2
非负，所以20102a ⨯≥⇒-≤<； 综上实数a 的取值范围为[]
11，
- 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 17．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22
sin .3
B =
由正弦定理，得sin sin c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此
7
cos 9
C ==
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1
cos 3B =，所以ac=6.
由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，sin B ===
由正弦定理，得2sin sin 3c C B b =
==
a b c =>，所以C 为锐角，因
此7cos 9
C ===.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723
393927
⋅+=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
18．（1）[]63
k k π
π
ππ-+，（2）(12]-，
【解析】
试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得最小值，解出m ，最后根据正弦函数性质求单调区间（2）先根据正弦定理将条件化为角的关系式，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得3
A π
=
，可
得C 角范围，再根据正弦函数性质求取值范围 试题解析：解：（Ⅰ）∵
()()()222cos sin cos sin sin cos cos sin f x x m x x x m x x x x π=-++=-+
()1sin2cos222m x x x ϕ=-=-，其中2tan m ϕ=，
∴由其最小值为2-2=，解得：212m =，
∵0m >，可得：m =tan 3
ϕ=
，6πϕ=，
∴()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得：
6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈.
∴函数()f x 的单调递增区间为：6
3k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，，k Z ∈
（Ⅱ）∵cos 2cos cos b A c A a B =-，即cos cos 2cos b A a B c A +=，
∴由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，可得：sin 2sin cos C C A =， ∵C 为三角形内角，sin 0C ≠， ∴1cos 2A =
，可得3A π
=， ∴203
C π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
，
，可得72666C πππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，， ∴1
sin 2162C ，π⎛⎫⎛⎤
-
∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
， ∴()(]2sin 2126f C C ，
π⎛
⎫=-∈- ⎪⎝
⎭. 19．（1）3n a n =，1
3n n b -=（2）23(1)
n n
T n =
+
【解析】
试题分析：（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解得3d =，3q =，再代入等差与
等比数列通项公式即得结果（2）先根据等差数列求和公式得n S ，由于
121131n S n n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
， 再利用裂项相消法求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 试题解析：解：（1）等差数列{}n a 的公差为d ，
1212a a q +=-，22·S b q =，∴6d q =-，∴212?q b q -=.
整理得：2120q q +-=，解得：3q =或4q =-（舍去），
∴3d =，()3313n a n n =+-=，∴13n n b -=
（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，()()33312
2
n n n n n S ++=
=，
()1212113131n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭
， 数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T
()
2111111
12121132233413131n n
T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()231n n T n =+
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔
一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1
(2)
n n +.
20．(1)5;(2) T n =(n −1)2n−1+1
2(n ∈N ∗)
【解析】试题分析：（1）结合已知两个条件，采用方程思想，求解a m 与公差d ，从而利用等差数列的通项公式求解m ；（2）借助第一问结论，化简a
n 2=log 2b n 求得b n ，明确所求数列的通项公式{(a n +b)b n }，采用错位相减法求和.
（Ⅰ）由已知得a m =S m −S m−1=4， 且a m+1+a m+2=S m+2−S m =14，
设数列{a n }的公差为d ，则有2a m +3d =14， ∴d =2
由S m =0，得ma 1+
m(m−1)
2
×2=0，即a 1=1−m ，
∴a m =a 1+(m −1)×2=m −1=4 ∴m =5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 1=−4,d =2，∴a n =2n −6 ∴n −3=log 2b n ，得b n =2n−3． ∴(a n +b)b n =2n ×2n−3=n ×2n−2． 设数列{(a n +b)b n }的前n 项和为T n
∴ T n =1×2−1+2×20+⋯+(n −1)×2n−3+n ×2n−2 ① 2T n =1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1② －②，得−T n =2−1+20+⋯+2n−2−n ×2n−1
=2−1(1−2n )1−2
−n ×2n−1
=2n−1−1
2
−n ×2n−1
∴T n =(n −1)2n−1+1
2(n ∈N ∗)
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式、错位相减法求数列的和，以数列为
载体，通过利用错位相减法求和，考查逻辑思维能力、运算能力．形如{a n ·b n }的数列，其中
{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则可在求和等式两边同乘{b n }的公比，然后两等式错位
相减，即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的
前n 项和可利用．
21．（1）10x y ++=（2）1
()e +∞，（3）见解析 【解析】
试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为()1f '，再根据点斜式求切线方程（2）由于无零点，且函数恒有负值，所以函数最大值必小于零，根据导数可得函数最值，即得实数
k 的取值范围；也可先变量分离，根据两函数交点情况求实数k 的取值范围（3）利用分析
法证不等式，要证2
12x x e >，只要证12ln ln 2x x +>，根据零点条件可得
()()
12121212
ln ln ln ln x x x x x x x x +-+=
-，令12x t x =
，构造函数()()
21ln 1
t g t t t -=-+，01t <<，利用导数可得()g t 单调性，即得()()10g t g <=，逆推可得结论
试题解析：（1）函数的定义域为()0+∞，
，()11kx
f x k x x
'-=-=， 当2k =时，()1121f =-=-'，则切线方程为()()21y x --=--， 即10x y ++=.
（2）①若0k <时，则()0f x '>，()f x 是区间()0+∞，
上的增函数， ∵()10f k =->，()()
10k
a
k f e k ke
k e =-=-<，
∴()()10k
f f e
⋅<，函数()f x 在区间()0+∞，
有唯一零点； ②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令()0f x '=，得1
x k
=
， 在区间10k ⎛⎫
⎪⎝⎭，上，()0f x '>，函数()f x 是增函数；
在区间1k
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
上，()0f x '<，函数()f x 是减函数； 故在区间()0+∞，
上，()f x 的极大值为11
ln 1ln 1f k k k ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
， 由于()f x 无零点，须使1ln 10f k k ⎛⎫
=--<
⎪⎝⎭，解得1k e >， 故所求实数k 的取值范围是1e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
. （3）要证2
12x x e >，两边同时取自然对数得212ln ln ln 2x x e +>=.
由()0f x '=得112
20
0lnx ax lnx ax -=⎧⎨-=⎩，得12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==+-.
所以原命题等价于证明()()12121212
ln ln ln ln 2
x x x x x x x x +-+=
>-.
因为12x x <，故只需证()1212
122ln ln x x x x x x --<+，即12112
2
21ln 01x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭-<+. 令12x t x =
，则01t <<，设()()21ln 1
t g t t t -=-+（01t <<），只需证()0g t <. 而()()()()
2
22
114011t g t t t t t -=-=+'>+，故()g t 在()01，单调递增，所以()()10g t g <=. 综上得2
12x x e >.
22．（1）最小值为54，最大值为2
124
e +；
（2）见解析； （3）（﹣1，0） 【分析】
（1）求出函数在区间1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据a 的不同取值
进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当10a -<<时，求出函数
()f x 的最小值为(
)min
f x f =，故问题转化为当10a -<<
时
()1ln 2a
f a >+-恒成立，整理得到关于a 的不等式，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）当12a =-时，()21ln 1,(0)24
x f x x x =-++>，
∴()()()211112222x x x x f x x x x
+--='=-+=．
∴当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．
∴当1x =时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为()5
14
f =
． 又213124f e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2
124
e
f e =+
， ∴()2
max
124
e f x =+． 所以函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为54，最大值为2
124
e +．
（2）由题意得()
()21'a x a f x x
++=
，()0,x ∈+∞． ①当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x <恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ②当0a ≥时，()'0f x >恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增． ③当10a -<<时，011a <+<，
由()'0f x =得x =
x =，
∴()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增．
综上可得，当0a ≥，()f x 在()0,∞+上单调递增；
当10a -<<时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
单调递增； 当1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递减．
（3）由（2）可得，当10a -<<时，()min f x f =，
若不等式()()1ln 2
a
f x a >+-恒成立，则只需
()1ln 12a f a >+-，
即()111ln 212
a a a
a a a +-+>+-+， 整理得()ln 11a +>-， 解得1
1a e
+>， ∴1
1a e
>
-， 又10a -<<， ∴
1
10a e
-<<． ∴实数a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．
（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数．。