函数不等式三角向量数列算法等大综合问题40分钟限时练(六)带答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．(汇编全国1理)若直线
1x y
a b
+=通过点(cos
sin )M αα，，则（ ） A ．22
1a b +≤
B ．2
2
1a b
+≥
C ．
22
11
1a b +≤
D ．
2
211
1a b
+≥ D ．由题意知直线
1x y
a b
+=与圆221x y +=有交点，则2
222
111
111a b
a b ++≤1,
≥. 另
2．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6
y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=-
C ．sin(2)3
y x π
=+ D ．sin(2)3
y x π
=-
(汇编试题)
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
3． 设集合{211}A x x x =-<<->或,{},B x a x b =≤≤若{2},A B x x ⋃=>- {13}A B x x ⋂=<≤,则a = ,b = .
4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线
sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 ▲ ．
5．已知a =(cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(π,2
π
)，若a ·b =52，则
tan(α+
4
π
)的值为_______________ 6．已知集合{}
a x ax x x A -≤-=2
，集合(){}
21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，
则实数a 的取值范围是________________________. 评卷人
得分
三、解答题
7．设全集U =R ，集合{}2
23|=log 1,|2,3x
A x y
B y y x x x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+==+∈⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭
，
求：（1）,A B A B ；
（2）()()(),u
u
u
A B A B 痧
?．
8．在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h 的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为()V f h =。

（１） 求f(h)的表达式，并写出h 的取值范围是 ；
（２） 求三个圆柱体积之和V 的最大值；
9．已知向量()()()=1tan ,1,1sin2cos2,3,a x b x x f x a b -=++-=⋅ （1）求()f x 的值域与最小正周期；
（2）若存在03x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，使得()320m f x +-=⎡⎤⎣⎦成立，求实数m 的取值范围
10．对于正整数,a b ，存在唯一一对整数q r 和，使得,0a bq r r q =+≤<.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1,2,3,
,23}A =.
（1）存在q A ∈，使得201191(091)
q r r =+≤<，试求,q r 的值； （2）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若
12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；
（3）若,()12(()B A card B card B ⊆=指集合B 中元素的个数），且存在
,,,|a b B b a b a ∈<，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有
12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.
11．已知向量)s in 2c os ,(s in θθθ-=a ，b =（1，2）．
（１）若b a //，求tan θ的值； （２）若||||b a =，πθ<<0，求θ的值．
12．已知集合222{|1},{|650}2
x A x B x x x x +=<=++>-，函数22()lg((21))f x x a x a a =-+++的
定义域为集合C. （1）求()R C A
B ;
（2）若()R C C A B ⊇,求a 的范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知
cos sin 1a b
αα
+= 由⋅≤m n m n 可得22
cos sin 1
1a b a b αα=++≤1 2．C
解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6
y x π
ω=+，由图象知，73(
)1262
πππ
ω+=
，所以2ω=，因此选C 。

第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3． 4．垂直； 5． 6．[[]1，3] 解析：[1，3] 评卷人
得分
三、解答题
7．
(1)[1,0](3,3)(2)()(3,1)
()()(,3][3,)
U U U A B A B A C B C A C B =-=-=--=-∞-+∞
8．(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：
22212311(2)1(3)r h r h r h =-=-=-，，． ………………………………3分
它们的高均为h ，所以体积和
222123()V f h r h r h r h ==π+π+π222
(1)(14)(19)h h h h ⎡⎤=π-+-+-⎣⎦
3(314)h h =π- 6分 因为031h <<，所以h 的取值范围是1
(0)3
，； ………………………………………7分
⑵ 由()f h 3(314)h h =π-得()f h '2(342)h =π-23(114)h =π-， ………………9分 又1(0)3h ∈，，所以14(0)14h ∈，
时，()0f h '>；141()143
h ∈，时，()0f h '>．11分 所以()f h 在14(0)14，
上为增函数，在141
()143
，上为减函数， 所以1414h =
时，()f h 取最大值，()f h 的最大值为1414()147
f π=． ………13分 答：三个圆柱体积和V 的最大值为147
π
． …………………………………………14分 9．
10．（1）解：因为201191229=⨯+，所以22,9q r ==. ……………3分 （2）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若
12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠.
设(1),{1,2,3},(2),{1,2,3}f a a f b b =∈=∈，由已知a b ≠.
由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1),(3)(2)f f f f ≠≠. ……………6分 不妨令(3),{1,2,3}f c c =∈，这里,c a ≠且c b ≠， 同理，(4),(4)f b f c ≠≠且, 因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但|41|3-=，与已知
矛盾.
因此，假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数
12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠. (9)
分
（3）解：当8m =时，记{7|1,2,
,16},{2(7)|1,2,3,4}M i i N i i =+==+=，记
M P N =ð，则()12
c a r
d P =，显然对任意116i j ≤<≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立.故P 是非
“和谐集”，此时，
{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.
同理，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”.
因此7m ≤. ……………12分 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设1211{,,,,7}B a a a =.
若
1
，
14
，
21
都
不
属
于
集
合
B
，构造集合
123{
2,
4,8
,1
6},
{3,6
,12},{5,10
B B B ===， /45{9,18},{11,22},{13,15,17,19,23}B B B ===.
以上12345,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑/
B B ⊆的情况，也即
/B 中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从12345,,,,B B B B B 这5个
集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.
综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7.……16分 11． 12．（1）∵
22
1(4)(2)02
x x x x +<⇔+-<- ∴A={x|-4<x<2} ………………2分 又2
650(5)(1)0x x x x ++>⇔++>∴{|51}B x x x =<->-或………………4分 ∴{|12}A
B x x =-<<∴(){|12}R
C A B x x x =≤-≥或………………7分
（2）由2
2
(21)0()(1)0x a x a a x a x a -+++>⇔--->
∴C={x|x<a 或x>a+1} ………………10分
∵()R C C A
B ⊇ ∴1
12
a a >-⎧⎨+<⎩ ………………12分
∴|1a -<< ………………14分。