江苏省奔牛高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

江苏省奔牛高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学
试题
一、单选题
1．若集合{32}P x x =∈-<≤N
∣，{}29Q x x =∈≤Z ∣，则P Q =I （ ） A ．{}3,0,1,2- B ．{|02}x x ≤≤ C ．{}0,1,2 D ．{|12}x x -≤≤ 2．已知复数z 满足()1i 2i z -=，且()i z a a +∈R 为实数，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．−2
3．已知函数()e e 2x x
a f x x
-+=为偶函数，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-
4．设向量11(1,0),,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
r r ，则下列结论中正确的是（ ） A ．||||a b =r r B ．1a b ⋅=r r
C ．//a b r r
D ．a b -r r 与b r 垂直
5．已知函数()25,1,,1x ax x f x a x x
⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是是（ ） A ．30a -≤≤ B ．32a --≤≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤
6．若1sin cos 3
x x +=，(0,)x π∈，则sin cos x x -的值为（ ） A
．B
C ．13 D
7．已知函数()f x 的导函数()()()22f x x x x m '=+++，若函数()f x 有一极大值点为2-，则
实数m 的取值范围为（ ）
A ．()2,0-
B ．(]4,2--
C ．(),4-∞-
D ．(),2-∞- 8．2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY 手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O
，半径为，该纸片上的正六边形ABCDEF 的中心为O ，1A ，1B ，1C ，1D ，1E ，1F 为圆O 上的点，如图（2）所示．1A AB △，1B BC V ，1C CD V ，1D DE △，1E EF △，1F FA △分别是以
AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A 为折痕折起1A AB △，1B BC V ，1C CD V ，1D DE △，1E EF △，1F FA △，使1A ，1B ，1C ，1D ，1E ，1F 重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF 的边长为（ ）
A ．12cm 5
B ．25cm 4
C ．24cm 5
D ．5cm
二、多选题
9．下列函数中最小值为4的是（ ）
A ．4ln ln y x x =+
B ．222x x y -=+
C ．14|sin |
|sin |y x x =+ D ．225
x y +=
10．已知函数2()2cos 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．直线5π6
x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．ππ87f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭
是()f x 图象的一个对称中心
11．已知四面体,A BCD AB AB -=⊥平面,BCD BE AC ⊥，垂足为,E BF AD ⊥，垂足为F ，则下列结论正确的是（ ）
A ．若BC CD ⊥，则AC EF ⊥
B ．若B
C C
D ⊥，则AD ⊥平面BEF
C ．若BC B
D =，则EF ∥CD
D ．若2BC BD ==，则四面体A BEF -
体积的最大值为27
三、填空题
12．若正数x ，y 满足221+-=x y xy ，则2x y +的最大值是.
13．已知函数()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x
⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()()()222g x f x a f x a =-++，若函数()g x 恰有三个零点，则a 的取值范围是.
14．已知在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为；若P 为AB 的中点，过点P 的平面截该四面体ABCD 的外接球所得截面面积为S ，则S 的最小值为．
四、解答题
15．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠.
(1)若()f x 在区间1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，求实数a 的值； (2)若函数22()2x x a g x -+=的值域为[2,)+∞，求不等式log (1)1a t -≤的实数t 的取值范围. 16．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD
的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====
(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．
17．如图，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，点M ，Q 分
别在侧棱PB ，PD 上，31,,44
PM PB PQ PD N ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 为底面ABCD 内一点，且MN ⊥平面QEF .
(1)证明：直线//PB 平面QEF ；
(2)求直线MN 与底面ABCD 所成角的大小.
18．已知函数2()e ,()ln x f x a x g x x x x =-=-.
(1)判断()f x 和()g x 的单调性；
(2)若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.
19．如图，点(),Z a b ，复数()i ,R z a b a b =+∈可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系
来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，
任何一个复数i z a b =+都可以表示成()cos isin r θθ+的形式，即cos ,sin ,
a r
b r θθ=⎧⎨=⎩其中r 为复数z 的模，θ叫做复数z 的辐角（以x 非负半轴为始边，OZ u u u r 所在射线为终边的角），我们规定
02πθ≤<范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作()arg .cos isin z r θθ+叫做复数i z a b =+的
三角形式．复数三角形式的乘法公式：
()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r rr θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦．棣莫佛提出了公式：
()()[cos isin ]cos isin n n r r n n θθθθ+=+，其中*0,r n >∈N .
(1)已知12z w ==，求3zw zw +的三角形式； (2)已知0θ为定值，00πθ≤≤，将复数001cos isin θθ++化为三角形式；
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为1220,,,z z z L ，求复数
2024202420241220,,,z z z L 所对应不同点的个数．。