高考中特殊四面体的研究
第二十三章特殊四面体的性质及应用
第二十三章 特殊四面体的性质及应用【基础知识】特殊四面体包括垂心四面体（四条高线交于一点的四面体），直角四面体（有一个三面焦是直三面角的四面体，或过同一顶点的三条棱互相垂直的四面体），拟腰四面体（两对对棱相等的四面体），等面四面体（三对对棱相等的四面体），正四面体（六条棱长相等的四面体）等．特殊四面体除了具有一般四面体的性质外，还具有各自独特的性质． 1．垂心四面体性质1垂心四面体的对棱互相垂直．反之亦然．事实上，若四面体ABCD 为垂心四面体，垂心为H ，则AH ，BH 均与CD 垂直，从而AB CD ⊥． 同理，AC BD ⊥，AD BC ⊥．反之，由AB CD ⊥，过AB 作CD 的垂面交CD 于E ，设H 为ABE △的垂心，则AH BE ⊥，AH CD ⊥，所以AH 是面BCD 的垂线．同样，BH 是面ACD 的垂线，四面体ABCD 的每两条高交于一点，每三条高不共面，所以四条高必交于同一点．于是H 为四面体的垂心，即四面体为垂心四面体． 性质2垂心四面体的高过底面的垂心，反之亦然． 事实上，由性质1，设顶点A 在底面BCD 上的射影为F ，由于AB CD ⊥，所以AB 的射影BF CD ⊥．同样CF BD ⊥，即F 为BCD △的垂心．性质3垂心四面体对棱的平方和相等．反之亦然．事实上，由性质2，知A 在面BCD 上的射影F 为BCD △的垂心．设BF 交CD 于E ，则 22222222AC AD CF DF CE DE BC BD --==-=-，即有2222AC BD AD BC +=+． 同理，2222AC BD AB CD +=+．性质4垂心四面体连接对棱中点的线段相等．反之亦然． 事实上，由性质3，设E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则()22222222222114222EF AF BF AB AC AD CD BC BD CD AB =+-=+-++--()222222AC BD BC AD AB CD =+=+=+．即证．反之，考察过对棱的相互平行的六个平面构成的平行六面体，六面体的棱长恰好等于连结四面体对棱中点的线段，因此，六面体的棱均相等，各面为菱形，菱形对角线（即四面体的对棱）互相垂直． 由于从性质1⇒性质2⇒性质3⇒性质4⇒性质1，从而性质2，3，4的反之亦然． 上述性质中的反之亦然，其实也是垂心四面体的四条判定定理．由性质4的证明中可知有 性质5垂心四面体的外接平行六面体（四面体的棱为平行六面体的侧面对角线）各面是菱形． 性质6平行于四面体任一组对棱的平面截其余四条棱的截口面为矩形． 性质7垂心四面体对棱之公垂线共点于垂心．性质8垂心四面体的外心、重心、垂心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离． 2．直角四面体直角四面体有如下判定定理和性质：判定定理对棱都垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．事实上，在四面体ABCD 中，若90DAC ∠=︒，则由AD BC ⊥，知AC ⊥面ABC ，从而AD AB ⊥，即90DAB ∠=︒．又由AB CD ⊥，知AB ⊥面ACD ，有90BAC ∠=︒．即证． 推论1两组对棱垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．推论2四面体一顶点到对面的射影是该面的垂心，且该顶点的三面角的面角中有一个为直角，那么这个四面体是直角四面体．显然，上述判定定理及推论的逆命题也是直角四面体的性质．为了方便讨论直角四面体的一系列性质引进一些记号：设直角四面体PABC 的直三面角是三面角P ABC -，其体积为V ，棱PA a =，PB b =，PC c =．顶点x 所时的面的面积记为x S ；以棱y 为二面角棱的二面角大小记为y θ；四面体PABC 的内切球、外接球的半径分别记为x r ．由于直角四面体是垂心四面体，因此，可得 性质1直角四面体具有垂心四面体的所有性质．性质2三对对棱中点的连线共点（设为G ，且此点称为四面体的重心）且互相平分；三对对棱中点的性质3不含直角的侧面三角形是锐角三角形，且这每一个面角的正切值等于这个面的面积的2倍与该面角所对的棱长平方之比；这每一面角的余弦值等于与此面共顶点的另两个面角余弦值之积． 性质4（1）cos cos cos P A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅； （2）cos A P BC S S θ=⋅，cos B P AC S S θ=⋅，cos C P AB S S θ=⋅； （3）222cos cos cos 1BC AC AB θθθ++=；（4）34AB BC AC θθθπ<++<π． 下面只给出（4）式的证明思路： 由（3）式有222cos cos cos cos cos cos cos 0BC AC AB AB AC AB AC θθθθθθθ---⋅+>==（）（）． 又cos cos 0AB AC θθ->，则cos cos 0AB AC θθ+<，故2AB AC θθπ<+．同理还有两式，相加即证（4）式左端．又()()cos cos AB AC AB AC θθθθ⎡⎤π++=-+⎣⎦，在[]0,π内余弦函数递减，有cos[]cos[]cos AB AC AB AC AB AC θθθθθθπ-+π--<-（）=（）（），即有()22cos cos BC AB AC θθθ⎡⎤>π-+⎣⎦，由此 即证得（4）式右端．由性质4（3）及幂平均、算术一几何平均值不等式，我们有推论（1）cos cos cos AB BC AC θθθ++（2）cos cos cos AB BC AC θθθ⋅⋅ （3）cos cos cos cos cos cos 1AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤；（4）sin sin sin AB BC AC θθθ++；（5）sin sin sin AB BC AC θθθ⋅⋅； （6）sin sin sin sin sin sin 2AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤．性质5含直角的侧面面积是它在不含直角的侧面上的射影面积与这不含直角的侧面面积的比例中项．性质62222P A B C S S S B =++．性质7二面角大小为θ（90θ≠︒）的两侧面中，含直角的侧面面积S 与不含直角的侧面面积P S 之比为cos θ．特别地，60θ=︒时，12P S S =∶∶；45θ=︒时，2P S S ∶；30θ=︒时，2P S S =∶；θ=P S S =∶ 性质P ABBCACS ==．性质916V abc ==性质10设S 为直角四面体的全面积，L 为6条棱长的乘积，则SL ≥． 性质11直角四面体的四顶点与其所对侧面重心的四条连线共点，共点于三对对棱中点连线的交点．亦即七线共点于直角四面体重心．性质12直角四面体的四顶点与其所对的侧面垂心的四条连线共点，共点于其直三面角顶点P ，此点为直角四面体的垂心．由此也可知直角四面体是垂心四面体．性质13非直三面角体的三顶点与其所对的侧面外心的三条连线共点，共点于不含直角的侧面三角形的重心．性质14过含直角的侧面三角形的外心，且与该侧面垂直的三直线共点，共点于直角四面体的外心． 性质15设A m 、B m 、C m 、P m 分别为直角四面体四顶点与所对面的重心的连线长（或称四面体的4条中线长），则()222222243A B C P m m m m a b c +++=++． 分析如图23-1，设1G 为侧面ABC △的重心，设1PG E α∠=．由三角线中线长公式，有()22214PE b c =+，()2222144AE a b c =++．又 图23-1ABEPG 1()2222222211222222cos 2cos 333333P P P P P PE PA AE m AE m AE m AE m m AE αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由此即有()222219P m a b c =++．类似可求()2222199A m a b c =++，()2222199B m a b c =++，()2222199C m a b c =++，由此即获结论． 性质16R =，且与对棱中点的连线长相等；外接球的球心是分别过直三面角的三条棱与其所对棱中点的三个平面的公共点．性质17()2AB C P A B C P S S S S abcr S S S S a b c ++-==+++++；内切球的球心是其棱不共顶点的三个二面角平分面的公共点． 性质18()2AB C P P A B C P S S S S abcr S S S S a b c+++==++-++； ()2AP B C A B C P A S S S S abcr S S S S b c a +--==++-+-； ()2BP A C B A C P B S S S S abcr S S S S a c b+--==++-+-； ()2CP A B C A B P C S S S S abcr S S S S a b c+--==++-+-． 旁切球的球心是其相切侧面与另三个延展切面所成二面角平分面（其中只须其棱不共顶点的三个二面角的平分面即可）的公共点． 证明思路只推证A r ，其余类似推证．作外切于侧面PBC 的旁切球的外切三棱台B C P BCP '''-，得新四面体AB C P '''，如图23-2．图23-2A'由()22C A B P AB C P A S S S S aS S S S a r ====''''+及()()()3313123A B C P ABCD AB C P A A A B C P r S S S S V a V a r r S S S S '''''''+++=='++++． 并注意到性质6、性质17，即可推证A r 的关系式． 推论1r 最小，P r 最大，且11112A B C P r r r r r+++=或 2A B C PA B C A B P A C P B C P r r r r r r r r r r r r r r r r r⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=推论2()32P V abc r r a b c a b c ⋅==++++或1111P A B C r r S S S =++⋅．推论3记()1122A B C P S S S S S S '==+++，则()()()()2222233333A AB BC C P P V S r S S r S S r S S r S S r '''''==-⋅=-⋅=-⋅=-⋅．推论4记四顶点到所对面的距离为A h 、B h 、C h 、P h ，则11111A B C P h h h h r +++=；11111A B C P Ph h h h r ++-=． （*）还有类似（*）式的三式．此略． 推论5令l 为四面体六条棱长之和，()12A B C P S S S S S '=+++，则)2l ≤；2S '；(39V r +≥；32V ． 性质19设am S 、bm S 、cm S 是分别过棱PA 及BC 的中点，过棱PB 及AC 的中点，过棱PC 及AB 的中点的截面面积，则am Sbm Scm S ，且222212am bm cm PS S S S ++=． 性质20设maS '、mb S '，mc S '是分别过棱BC 及PA 的中点，过棱AC 及PB 的中点，过棱AB 及PC 的中点的截面面积，则maS '=mb S '=mc S '222232ma mb mc P S S S S '''++=． 性质21设ad S 、bd S 、cd S 分别为过棱PA 与BC 垂直、过棱PB 与AC 垂直、过棱PC 与AB 垂直的截面面积，则/ad B C S S S =⋅bd A C S S S =⋅，cd A B S S S =⋅ 2222221111112ad bd cd AB C S S S S S S ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 性质22设at S 、bt S 、ct S 分别为过棱PA 及BPC ∠的平分线，过棱PB 及APC ∠的平分线，过棱PC 与APB ∠的平分线的截面面积，则B C at B C S S S S ⋅=+，A C bt A C S S S S ⋅=+，A Bct A BS S S S ⋅=+，且111111a t b t c t AB CS S S SSS⎫++=++⎪⎭． 性质23在直角四面体中，（1）斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （2）斜面上任一点与直角顶点的连线和三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （3）斜面上每一条棱与三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （4）斜面上每一条棱与三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （5）三条直角棱与斜面所成角的余弦的平方和等于2；（6）三条直角棱的平方的倒数和等于直角顶点到斜面的距离的平方的倒数． 性质24直角四面体的外接平行六面体，（1）当四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是菱形六面体； （2）当四面体的直三面角的三条棱成为平行六面体的棱，其余三条棱成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是长方体． 3．直棱四面体三条相连棱形成三边直角折线（即空间直角四边形）的四面体，称为直棱四面体． 显然，直棱四面体每个面都是直角三角形，若令1ADC β∠=，2ADB β∠=，3BDC β∠=， 则（1）123cos cos cos βββ⋅=； （2）321sin sin sin sin sin CD AD βββθθ==； （3）3sin cos sin ADCDθβθ=； （4）1tan tan sec AD CD θθβ⋅=．直角四面体和直棱四面体，都可以看作从长方体上截下的一部分，在部分多面体过程中，在棱、锥、台的计算中，它们经常出现．由于它有多方面的垂直关系和比较多的等量关系，有人称之为基本四面体．它们可以看作直角三角形在空间的自然推广，是工具性的四面体． 4．等腰四面体从某一顶点出发的三条棱（称为腰）相等的四面体称为等腰四面体，这一顶点称为腰顶点． 性质1等腰四面体的腰顶点在所对的面的射影为该面的外心．反之亦然． 性质2等腰四面体的腰顶点出发的三条棱与该点所对的面成等角．反之亦然． 性质3等腰四面体的底面为正三角形时，则该四面体为垂心四面体．性质4等腰四面体的底面为正三角形，且其边长为腰的压时，则该四面体是等腰直角四面体． 5．拟腰四面体两组对棱分别相等的四面体称为拟腰四面体．性质1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是它的棱均成为侧面对角线的外接平行六面体为直平行六面体．证明设四面体ABCD 的外接平行六面体为1111ACB D AC BD -，AD BC =，AC BD =⇔侧面11A DD A 与侧面11CB BC 为全等矩形，侧面11A CC A 与侧面11DB BD 为全等矩形1111ACB D AC BD -为直平行六面体． 推论1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱中点的连接线段垂直于此二棱．推论2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是这两对对棱中点的连接线段均与第三对对棱中点的连接线段垂直．推论3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是四面体在平行于这两对对棱中的每一对对棱的每一个平面上的射影为矩形．性质2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是两侧面面积相等，且另两侧面面积也相等，或四侧面分成等面积的两组．证明此定理即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，ACD BCD AC BD S S =⇔=△△，ABC ABD S S =△△． 必要性（⇒）：显然．充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．此时A 、B 到底面11A CB D 的距离1AH 、2BH 相等，作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，连1H E ，2H F ．图23-321则由ACD BCD S S =△△，有A E B F=，从而12AEH BFH ∠∠=，即二面角1A CD A --等于二面角1B CD B --，此时二面角A CD B --的平分面α垂直于底面11A CB D ，也就垂直于面11AC BD ，且面α交AB 于其中点1O ．又可证A 、B 两点到此平分面α的距离相等． 设此平分面α交AB 于1O ，则1O 为上底面中心．同理，由ABC ABD S S =△△，有二面角C AB D --的平分面β也垂直于两底面，也交CD 于其中点2O ．此时12O O αβ=∩且垂直于两底面，故平行六面体1111ACB D AC BD -为直平面六面体．由性质1即证得了充分性．性质3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱每条棱所张的二个面角分别相等．证明此性质即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD CAD CBD =⇔∠=∠，ACB ADB ∠=∠． 必要性（⇒）：显然． 充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．由题设CAD CBD ∠=∠，又A 、B 、C 、D 四点共球O ，则ACD △和BCD △所在的平面截球O 的截面圆是等圆．而A 、B 两点到面11A CB D 的距离相等，则过CD 及AB 中点1O 的截面圆必是球O 的大圆．从而1O 、O 及CD 的中点2O 在过CD 的球O 的大圆面内．同理，1O 、O 、2O 也在过棱AB 的球O 的大圆面内．故1O 、O 、2O 三点共线于这两个大圆面的交线上．又1OO AB ⊥，2OO CD ⊥，则111OO A B ⊥，211OO C D ⊥，从而12O O 垂直于平行六面体的两底面11A CB D 、11AC BD ，故知此平行六面体为直平行六面体，由性质1，充分性获证．此性质的充分性也可以这样证：设CAD CBD α∠=∠=，ACB ADB β∠=∠=，令AC a =，AD b =，BC c =，BD d =，CD x =，AB y =．对ADC △和BDC △应用余弦定理可得()()()22222222cos a b x c d y ab cd x bc ad ac bd ab cd α+-+-==⇒-=--．① 同理，得()()()2ad bc y cd ab ac bd ---=．②由①、②可知，若0ab cd -=，则0ad bc a c -=⇒=，b d =．因此论断获证．若0ab cd -≠，则0ad bc -≠，0ac bd -≠，于是由①、②推得()222x y ac bd =-⇒或xy bd ac +=，或0xy ac by +-=．③由托勒密定理及③式，可知A 、B 、C 、D 四点共圆，与题设矛盾．因此充分性获证． 性质4两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其外心（外接球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =，作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3．由性质1，即知此平行六面体为直平行六面体，从而上、下底面中心1O 、2O 的连线既是AB 、CD 中点的连线，又是AB 、CD 的公垂线，亦即既是AB 的中垂线，又是CD 的中垂线，因而四面体ABCD 的外心在12O O 上．充分性（⇐）：由题设，四面体的外心在一对对棱AB 、CD 的中点1O '、2O '的连线上，则12O O ''是AB 、CD 的中垂线，从而12O O ''：垂直于四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -的两底面，故此外接平行六面体是直平行六面体．由性质1，充分性获证． 性质5两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其内心（内切球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 证明必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，则此平行六面体为直平行六面体，故11A DC B CD S S =△△．又AD C BD C S S =△△，则二面角1A DC A --等于二面角1B DC B --．而上、下底面中心1O 、2O 所在直线与DC 两相交线所在对角面垂直于两底面，即知此对角面平分二面角A DC B --．同理，12O O 与AB 所在对角面也平分二面角C ABD --．故四面体内心I 在12O O 上．充分性（⇐）：设四面体ABCD 的内心I 在12O O 上，则1O 到面ACD 、BCD 的距离相等，从而A 到面BCD 的距离与B 到面ACD 的距离相等（都等于点1O 到这两个面的距离的两倍）．由13V Sh =得BCD ACD S S =△△．同理ABD ABC S S =△△．由性质2即证．性质6四面体有两对对棱相等的充要条件是，以这两对对棱为棱的二面角，分别相等．证明在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =的充要条件是二面角B AD C --等于二面角D BC A --，二面角B AC D --等于二面角A BD C --．必要性（⇒）：设AD θ、BC θ分别表示二面角B AD C --、二面角D BC A --的平面角的大小，由AD BC =、AC BD =，有DAC DBC △≌△，ABC BAD △≌△，如图23-4．图23-4H GI DABCEFMN于是DAC DBC ∠=∠，BAC ABD ∠=∠，BAD ABC ∠∠=．由三面角余弦公式（如cos cos cos cos sin sin AD BAC BAD DACBAD DACθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠）或三面角全等定理，有AD BC θθ=，即二面角B AD C --等于二面角D BC A --．同理，可证二面角B AC D --等于二面角A BD C --． 充分性（⇐）：记I 为四面体ABCD 的内心，从I 向各侧面引垂线，垂足为E 、F 、G 、H ，如图23-4，设过IE 、IF 的平面交AC 于M ，过IG 、IH 的平面交BD 于N ，则EMF ∠，GNH ∠分别为二面角B AC D --、二面角A BD C --的平面角，由题设有EMF GNH ∠=∠． 在Rt IMF △和Rt ING △中，IF IG =，1122IMF EMF GNH ING ∠=∠=∠=∠，从而IM IN =．故I 在对棱AC 、BD 的公垂线段的中垂面α内．同理，I 又在对棱AD 、BC 的公垂线段的中垂面β内，故I 在α与β的交线上．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，知α与β的交线就是平行六面体上、下底面中心1O 、2O 的连线．由性质5即证得充分性．性质7两对对棱分别相等，则四面体的内切球切侧面于第三对对棱的中垂线上． 证明此性质即为：在四面体ABCD 中，若AD BC =，AC BD =，则四面体ABCD 的内切球I 切ACD △、BCD △于CD 的中垂线上，切ACB △、ADB △于AB 的中垂线上．如图23-5，由性质6的充分性证明中可推知12O M O N =，①其中1O 、2O 为球I 切侧面ACD △、BCD △的切点，M 、N 为I 在棱AC 、BD 上的射影．图23-5O 1O 2DABCEFMNI设过1IO 、2IO 的平面交CD 于E ，连1O E 、2O E ，则由球的切线长定理，知12O E O E =．②又由ACD BDC △≌△有MCE NDE ∠∠=，而1O E CD ⊥，2O E CD ⊥，则M 、C 、E 、1O 共圆，E 、D 、N 、2O 共圆．故12MOE EO N ∠=∠．③由①、②、③知ME EN =，从而12sin sin ME ENO C O D MCE EDN===∠∠，∴12Rt Rt CO E DO E CE ED ⇒=△≌△． 故1O E ，2O E 均是CD 的中垂线段．同理，球I 切侧面ACB △，ADB △于AB 的中垂线上． 6．等面四面体我们称三组对棱分别相等的四面体为等面四面体．为了讨论问题的方便，先引进一些记号：等腰四面体ABCD 中，设BC AD a ==，AC BD b -=，AB CD c ==；设()12p a b c =++，()222212k a b c =++；以BC 、BD 、CD 为棱的两侧面所成二面角的大小依次为α、β、γ；四面体的体积记为V ，其内切、外接球半径分别记为r 、R ；顶点x 所对的面的面积记为x S ；外切于顶点x 所对的面，且与其余侧面的延展面相切的旁切球的半径记为x r ． 性质1等面四面体对棱所成角的余弦值可表示为()222cos ,b c a a a -=，()222,cos b c a b b -=，()222cos ,a b c c c -=．性质2等面四面体中，对棱中点的连线共点（此点为四面体的重心），且互相平分；连结对棱中点的每一线段均垂直于此二棱，或者说，当四面体绕这样的线段旋转180︒则与本身重合；连结对棱中点的三线段彼此互相垂直．且后两个结论的逆命题也是成立的．推论四面体为等面四面体的充要条件是三对对棱的公垂线两两相互垂直．性质3设a d 、b d 、c d 分别为等面四面体对棱中点连线的长，则a d =，b d =，c d =性质4四面体为等面四面体的充要条件是四面体各面为全等的三角形． 性质5等面四面体所有的面角均为锐角，或者说各侧面是锐角三角形．（见本章练习题A 第7题） 性质6四面体为等面四面体的充要条件是过四面体的每一顶点的三条棱长的m （m ∈R 且0m ≠）次方之和相等．分析只证充分性：令BC a =，AC b =，AB c =，AD x =，BD y =，CD z =，由m m m m m m m m m m m m b c x c a y a b z x y z ++=++=++=++，即推得a x =，b y =，c z =．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体的每一顶点的三条棱长之和相等．性质7四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形边长的m （m 为非零实数）次方之和相等．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的周长相等．性质8四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的三条中线长的平方和相等． 性质9四面体为等面四面体的充要条件是四面体每一顶点处的三个面角之和为180︒．性质10四面体为等面四面体的充要条件是过每对对棱的二面角相等（即三对二面角分别相等）．性质11cos cos cos 1αβγ++=．性质1222sin sin sin 3x S a b cVαβγ===（其中x 可表示A 、B 、C 、D ，后面亦同）． 性质13()()()22222222222224cos cos cos 222xa k ab k bc k c S αβγ---===． 性质14在等面四面体ABCD 中，A B C D S S S S ==== 性质15四面体为等面四面体的充分必要条件是各面的面积相等．分析四面体的各二面角的大小分别用α、β、γ、α'、β'、γ'表示，如图23-6．图23-6β'γ'α'γβαDOAB由cos cos cos D C B A S S S S αβγ⋅+⋅+⋅=及D C B A S S S S ===有cos cos cos 1αβγ++=．同理，有cos cos cos 1γβα''++=，cos cos cos 1αβγ''++=，cos cos cos 1βαγ''++=． 由上推出，cos cos αα'=，cos cos ββ'=，cos cos γγ'=，而0α<，β，γ，α'，β'，γ'<π，所以αα'=，ββ'=，γγ'=，由此即证． 性质16等面四面体的体积V =()222212k a b c =++． 分析作四面体ABCD 的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线，如图23-7．由四面体对棱相等，可证得平行六面体侧面均为矩形，即为长方体，于是列方程组求得长方体共顶点的图23-7DABC性质17记等面四面体共顶点的三个面角分别为1θ、2θ、3θ，则V =分析如图23-8，设1B D Cθ∠=，2ADC θ∠=，3ADB θ∠=．又设A 点在面BCD 内的射影为E ，作A H C D⊥于H ，连EH ，则AHE γ∠=．由12B S CD AH =⋅，有2B AH S c =⋅，则2sin sin B AE AH S cγγ=⋅=⋅⋅．图23-8γabc D ABCEH注意到31212cos cos cos cos sin sin θθθγθθ-⋅=⋅，有1233A A B V S AE S S c=⋅=⋅123θθθ++=π及()222123123121cos cos cos 2cos cos cos cos θθθθθθθθ---+⋅⋅=-+()()()212312123cos cos cos cos cos θθθθθθθθ⋅--+++-⋅=⎡⎤⎣⎦1234cos cos cos θθθ⋅⋅，11sin 2A S bc θ=⋅，21sin 2B S ac θ=⋅，由此即证．性质18等面四面体的体积为 222222sin sin sin 333x x x V S S S c b a γβα=⋅=⋅=⋅；或43x V S r =⋅． 性质1912R k ==． 性质20r =性质21四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心（外接球球心）与重心重合（见本章例13证明部分）．或者，四面体各顶点和外心的连线与对面的交点为该面的重心．性质22四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心与内心（内切球球心）重合．（见本章例12） 性质23四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内心与重心重合．或者，各顶点和内心的连线与对面的交点为该面的重心．推论若四面体的外心、内心、重心中任意两个相重合，则第三个也必和它们重合． 性质24在等面四面体中，2A B C D r r r r r =====．（提示：设顶点x 到所对面的距离为x h ，则可证2x x x h rr h r⋅=-，由此即推得）性质25四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高长之和等于内切球半径的16倍（即16A B C D h h h h r +++=）．分析充分性：由以3x x Vh S =及16A B C D h h h h r +++=有1111316A B C D V r S S S S ⎛⎫⋅+++= ⎪⎝⎭．注意到()13A B C D V S S S S r =+++⋅， 则()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭． 而()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥，取等号是当且仅当A B C D S S S S ===．由此即证． 推论42x x h r r ==．注对外接球半径也有一条性质见本章例13．性质26四面体为等面四面体的充要条件是它的切点四面体（内切球切侧面的切点）为等腰四面体． 分析充分性：设O 为四面体ABCD 的内心，亦即它是切点四面体A B C D ''''的外心．当A B C D ''''为等腰四面体时，由性质2的推论推之．性质27四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内切球与各侧面的切点为该面的外接圆圆心． 性质28四面体为等面四面体的充要条件是四面体的重心（或外心）在各侧面内的射影为该面的外接圆圆心．性质29四面体为等面四面体的充要条件是各侧面都具有相等外接圆半径的锐角三角形． 性质30四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面外接圆半径与内切圆半径之积相等． 分析充分性：在四面体ABCD 中，设BC a =，AC b =，AB c =，1DA a =，1DB b =，1DC c =，R '，r '分别为侧面三角形外接、内切圆半径，则2abcR r a b c''=++．同理，1111111111112ab c a bc a b cR r a b c a b c a b c''===++++++．由此得()()()()11110c a c b b b b a c c +-++-=， ()()()()11110c c b a a a b a c c +-++-=， ()()()()11110b b c a a a a c b b +-++-=．将上述三式看作1a a -，1b b -，1c c -为未知数的三元一次方程组，它只有唯一的一个零解．即证． 性质31四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长相等（中线长即为四面体的每一顶点和对面重心的连结线段长）．分析充分性：注意到中线长相等及四面体重心性质，推得重心与外心重合． 性质32性质33四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长的平方和等于2649R ． 分析由性质31及25推导．性质34四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长相等（即A B C D h h h h ===）．性质35等面四面体的过某棱及所对棱中点的截面，就是过此棱及与所对棱垂直的截面，也就是过此棱且平分此棱所在二面角的截面．性质36在等面四面体ABCD 中，设分别过棱BC 、BD 、CD 且平分α、β、γ的截面面积为a S 、S β、S γ，则cos2x S S αα=⋅，cos2x S S ββ=⋅，cos 2x S S γγ=⋅，且22222x S S S S αβγ++=．性质37四面体为等面四面体的充要条件是其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为长方体．性质38四面体为等面四面体的充要条件是四面体在平行于两对棱的每一个平画上的射影为矩形． 性质39四面体为等面四面体的充要条件是四面体的展开图是一个引出了三条中位线的锐角三角形． 性质40四面体为等面四面体的充要条件是四面体内任意一点到各侧面的距离之和为定值．分析充分性：设定值为l ，取点为内心时有4l r =，再取点为重心时有4A B C D h h h h l +++=，再由性质25即证． 7．正四面体称六条棱相等的四面体为正四面体．性质1正四面体的每个面是正三角形．反之亦然． 性质2正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体． 推论正四面体是两组对棱垂直的等面四面体．性质3倍，反之亦真． 性质4正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点． 性质5正四面体的每个三面角均是面角为60︒的三面角，因而都是全等的三面角，且每个三面角的特征，即()2S x ==．性质6正四面体的六个二面角都相等．若记其大小为θ，则1arccos 3θ=或．其逆命题亦成立．性质712倍，即2S 全=，3V =． 推论设S △为侧面三角形面积，则4228cos 2a S θ=⋅⋅△；22sin 3S a V θ=⋅⋅△；V S ⋅全．性质8正四面体的内切球与其外接球是同心球，内切球半径r =（等于高线的14）；外接球半径R =；两球面面积之比为1∶9． 性质9在各类四面体的比值R r ∶中，以正四面体的比值3R r =∶为最小． 性质10正四面体的体积与其内切球的内接正四面体的体积之比为27．且若内切球半径为r ，则其体积为3．性质11正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，即x r =，或等于正四面体高线的一半．性质12正四面体的内切球与各侧面的切点是侧面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心．除外心外，其逆命题均成立．性质13正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和．分析利用正四面体的外接球球心O 是过四面体的一棱AB 与对棱CD 中点N 的平面（共有六个这样的平面）的交点的特性，我们将指出，如果点P （空间中任一点）不在这些平面之一上即如果它不是O ，则和S PA PB PC PD =+++不是最小．由此得出结论：使S 最小的点位于所有这些平面上，因此最小值只可能在点O 达到．假定P 不在平面ABN 上，设l 为过P 平行于CD 的直线，因此垂直于平面ABN ，且设P '为l 和ABN 的交点，则PC PD P C P D ''+>+．①事实上，CPD △和CP D '△有相同的底和高，但后者是等腰三角形，它有较小的周长．又PA P A '>，PB P B '>．② 因为PA 是Rt APP '△的斜边，PB 是Rt BPP '△的斜边，把①和②中三个不等式加起来，得PA PB PC PD P A P B P C P D ''''+++>+++，这就是我们要证的．性质14四面体为正四面体的充要条件是，存在五个球与四面体的六条棱或其延长线相切． 此性质的充分性证明见本章例14．性质15正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高．性质16对于四个相异的平行平面，总存在一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上．性质17以正四面体的每条棱为直径作球，设S 是所作六个球的交集，则S 中含有两点，它们的距离为性质18 性质19四面体为正四面体的充要条件是，其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为正方体．性质20四面体为正四面体的充要条件是，其共顶点三棱作为外接平行六面体的棱时，平行六面体为一个三面角面角均为60︒的菱形六面体．性质21囚面体为正四面体的充要条件是，四面体在平行于两棱的每一个平面上的射影是正方形． 性质22四面体为正四面体的充要条件是，四面体的展开图是一个引出了三条中位线的正三角形． 性质23正四面体每条高的中点与底面三角形三顶点均构成直角四面体的四顶点，且高的中点为直三面角顶点．性质24正四面体是垂心四面体（四条高共点的四面体），且四面体的垂心、重心、内心、外心这四心合一．性质25设P 为正四面体1234A A A A 的外接球面上任一点，R 为该球的半径． （I ）42218i i PA R ==∑；（Ⅱ）若1B ，2B ，…，6B 分别为23A A ，34A A ，24A A ，12A A ，13A A ，14A A 的中点，则42218i i PB R ==∑；（Ⅲ）若i O 为i A 所对面的中心（1,2,3,4i =），则22409i PO R =∑． 证明（I ）设i O 为正四面体1234A A A A 的中心，则。
几何体的正四面体
几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。
一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。
它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。
在正四面体中，任意两条边的长度和相等。
这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。
二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。
它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。
这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。
2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。
这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。
而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。
3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。
其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。
4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。
这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。
三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。
2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。
例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。
3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。
通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。
总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。
它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。
四面体的特殊性原理
四面体的特殊性原理四面体是一个具有四个面的多面体，每个面都是一个三角形。
它是空间中最简单的多面体之一，具有许多特殊性质和原理。
1.形状特性：四面体的最基本特性是其形状。
正四面体是最常见的四面体类型，其四个面都是等边三角形，并且所有的内角也相等。
正四面体具有对称性，每个面都等效地相对于其他三个面。
这种形状特性使得正四面体具有优秀的稳定性和抗力特性。
2.内外共点性：四面体的一个重要特性是其四个顶点共面且共点。
换句话说，四面体的顶点均位于同一平面上，这被称为“共点性”。
这个特性很容易证明，只需考虑四面体的两个对角线，它们必定会相交于一个点。
3.顶点对称性：四面体的另一个重要特性是其顶点的对称性。
四面体的顶点分别对称于其他三个顶点，具有相同的距离和角度关系。
这种对称性使四面体在空间中具有优雅和美学上的特殊性。
4.重心性质：四面体的重心是四个顶点的平均值，即四个顶点的坐标均值。
重心在许多应用中起着重要的作用，例如在计算力学性质时，求解质心是简化计算和分析的关键步骤。
每个面的重心位于该面的中心，而整个四面体的重心位于整个四面体内部的一个点上。
5.体积与高度的关系：四面体的体积可以根据其底面积和高度计算得出。
四面体的高度是从底面到对面顶点上垂线的距离。
根据勾股定理，四面体的高度可以通过底边长和平行于对面底边的高边的长度计算得出。
四面体的体积是其底面积和高度的乘积的1/3倍。
6.四面体剖分：四面体可以通过不同的剖分方式展示其特殊性质。
例如，当将四面体通过从顶点到对面底边作垂线分成两个小的四面体时，这两个小的四面体与原始四面体具有相似性质。
该剖分方式可以应用于几何中的许多问题，例如计算体积和表面积。
7.点与平面的关系：一个点可以描述为一个四面体的顶点，而四面体的三个面可以描述为三个相交的平面。
这种关系在几何学和图形学中得到广泛应用，例如在计算射线与平面的交点时。
8.斜四面体的稳定性：斜四面体是指四个面都是三角形，但不满足等边性质的四面体。
正四面体相关结论
正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。
在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。
1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。
这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。
2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。
这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。
3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。
这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。
4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。
5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。
正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。
正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。
它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。
这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。
在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。
下面将介绍两种求法。
第一种方法是通过几何计算直接求解。
首先，我们需要找到正四面体的中心点。
这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。
一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。
外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。
内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。
第十讲 特殊四面体及其性质2
[接上] 第十讲:特殊四面体及其性质[直角四面体的应用]例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。
证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高DH=3，而ＡＨ＝3a ，DO=OH＝6a ，在Rt AHO ∆中⇒212OA =a 2,同理OB=OC=OA=2a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。
证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中，则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点[3]，由定比分点公式得：O(2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）⇒AO OB ⋅=（22,,333a a a -）⋅（22,,333a a a ）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。
例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α⋅tan β⋅tan γ∈ ( )A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1，简析：由2．2 (1) I 有cos2a+cos 2β+cos 2γ=l ⇒sin 2α=1–cos 2α =cos 2β+cos 2γ≥2cos β⋅cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘有tan 2αtan 2βtan2γ≥8 ∴选(A) 或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ⇒tan α⋅tan β⋅tan γ≥ abc=例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ）(A). 2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 26 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =SS '⇒ S 侧 = S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）= 2123++ ∴选 ( A )解后反思：由2．2(1)Ⅲ 知cos 230+cos 245+cos 260=321≠，故此题是一道流行很广的错题! 例4． 已知直线四面体O —ABC 中，三直角面与斜面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ，则（ ）Ａ．cos αcos βcos γ=13B ．cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l Ｃ．sin αsin βsin γ=13 D ．sin 2α +sin 2β+sin 2γ=1 解法一：由2．2 (1) Ⅲ 知cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ⇔ sin 2α +sin 2β+sin 2γ=2 ． ∴选(B)解法二：由2．4有S 42＝21S ＋22S ＋23S ，两边同时除以S 42，由cos θ =SS ' 得： cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ．解法三：补成长方体，则α、β、γ⇔长方体对角线OH 与OA 、OB 、OC 所成的角，特殊值法，令OA ＝OB==O Ｃ=１，则方向角α＝β＝γ，且方向余弦cos α=cos β=cos γ(B)对。
正四棱锥的二级结论-概述说明以及解释
正四棱锥的二级结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容:正四棱锥是一种特殊的四面体，其底面为四边形，侧面为四个三角形，顶点处有一个顶点。
正四棱锥具有许多独特的数学性质和几何特征，因此在数学和工程领域具有重要的应用价值。
本文将探讨正四棱锥的定义、性质和应用，并对其优势与局限性进行探讨，最后展望正四棱锥未来的发展方向。
通过对正四棱锥的深入研究，我们可以更好地理解其在实际应用中的作用和意义。
1.2 文章结构：本文将分为三个主要部分来讨论正四棱锥的二级结论。
首先，我们将在引言部分概述本文的目的和重要性，以及对文章结构进行简要介绍。
接着，在正文部分，我们将先介绍正四棱锥的定义，然后讨论其性质和应用。
最后，在结论部分，我们将总结正四棱锥的特点，探讨其优势与局限性，并展望其未来发展方向。
通过这三个部分的讨论，读者将能够全面了解正四棱锥的二级结论，以及它在数学和实际应用中的重要性和潜力。
1.3 目的：本文旨在深入探讨正四棱锥的二级结论，通过对正四棱锥的定义、性质和应用进行详细介绍，帮助读者全面了解这一几何学概念。
同时，通过总结正四棱锥的特点、探讨其优势与局限性以及展望未来发展，旨在引发对正四棱锥的更深入思考和探讨，为相关领域的研究和应用提供理论支持和启示。
通过本文的阐述，希望能够为读者提供一份系统化的正四棱锥知识，促进正四棱锥在实际应用中的进一步发展和应用。
2.正文2.1 正四棱锥的定义正四棱锥是一种具有四个侧面和一个底面的几何体，它的底面是一个四边形，四个侧面是连接底面的四条棱，且顶点在一个共同的顶点上。
在正四棱锥中，底面的四条边相等，且底面的边与顶点的距离也相等。
正四棱锥可以看作是一个特殊的四面体，其中有一对平行的侧面。
正四棱锥的顶点是整个几何体的中心，是连接底面和侧面的重要交汇点。
其四个侧面可以是三角形、梯形或其他多边形，但必须满足顶点到底面各顶点的距离相等，且底面四个边相等。
正四棱锥的形状和结构简单，但具有独特的几何特性，因此在数学和工程学中具有重要的应用价值。
一类特殊四面体的探究
案例分析新课程NEW CURRICULUM我们知道直角三角形在三角形当中是一类特殊的三角形，具有很大的研究价值，得到了很多有用的结论。
那么在推广到三维空间，在所有的四面体中也有一类比较特殊的四面体叫做直四面体，经常在各类高考模拟考试中出现，本文对其进行探讨，得到一些重要的结论.直四面体的定义：如图1所示，在四面体P -ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，我们称这样的四面体为直四面体，以下是基于直四面体的研究得到的结论.PCB A图1一、海伦公式的变形引理：在△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，s=a+b+c 2S 表示△ABC 的面积，则有S =s （s-a ）（s-b ）（s-c ）√；我们称为海伦公式，对其进行等价变形后会得到一些等价的形式。
S =s（s-a ）（s-b ）（s-c ）√=（a+b+c 2）（b+c-a 2）（a+c-b 2）（a+b-c 2）√=14［（b+c ）2-a 2］［a 2-（b-c ）2］√=14（2bc+b 2+c 2-a 2）［2bc-（b 2+c 2-a 2）］√=142（b 2c 2+c 2a 2+a 2b 2）-（a 4+b 4+c 4）√=14（a 2+b 2+c 2）2-2（a 4+b 4+c 4）√二、结论为了研究方便，如图2假设直四面体P -ABC 的侧棱PA ，PB ，PC 的长度分别为m ，n ，t ，容易证明PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PAC ，PC ⊥面PAB ；三角形PBC ，PAC ，PAB 都是直角三角形.P CB Atn m 图2结论1：S 2P AB +S 2P BC +S 2P AC =S 2ABC证明：∵侧棱PA ，PB ，PC 的长度分别为m ，n ，t ，且三角形PBC ，PAB ，PAB 都是直角三角形.∴S PAB =12mn ；S P BC =12nt ；S P AC =12mt ；且AB =m 2+n 2√，BC =n 2+t 2√，AC=m 2+t 2√；根据海伦公式的变形可得：S =14（a 2+b 2+c 2）2-2（a 4+b 4+c 4）√可得：S △ABC =14（AB 2+BC 2+AC 2）2-2（AB 4+BC 4+AC 4）√=144（m 2+n 2+t 2）2-2［（m 2+n 2）2+（n 2+t 2）2+（m 2+t 2）2］√=144（m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2）√=12（m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2）√∴S 2P AB +S 2PBC +S 2P AC =S 2ABC结论2：假如在棱AB ，BC ，AC 边上分别取中点D ，E ，F ，如图3则有：S 2P DC +S 2PAE +S 2P BF =2S 2ABCPCBAE D F图3证明：∵D 是AB 的中点，且△PAB 是直角三角形；∴PD =12AB =12m 2+n 2√又∵PC ⊥面PAB ；∴PC ⊥PD ；∴△PDC 是直角三角形；∴S PDC =12PD ·PC =12m 2+n 2√·t ；同理可得：S P AE =12t 2+n 2√·m ；S P BF =12m 2+t 2√·n由前面可知：S ABC =12m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2√即S 2P DC +S 2P AE +S 2PBF =m 2n 2+n 2t 2+m 2t 22=2S 2ABC结论3：假如在结论2中的棱AB ，BC ，AC 边上的中点D ，E ，F 分别改为棱AB ，BC ，AC 的垂足，则有：1S 2P DC +1S 2PAE +1S 2P BF =8（m 2+n 2+t 2）m 2n 2t 2证明：∵△PAB 是直角三角形，对△PAB 的面积算两次即，12mn =12AB ·PD =12m 2+n 2√·PD ，得PD=mn m 2+n 2√；又∵PC ⊥面PAB ；∴PC ⊥PD ；∴△PDC 是直角三角形；∴S P DC =12PD ·PC =12mnt m 2+n 2√；同理可得：S P AE =12mnt t 2+n 2√；S P BF =12mnt t 2+m 2√；∴1S 2P DC +1S 2P AE +1S 2P BF =8（m 2+n 2+t 2）m 2n 2t 2结论4：假设如图4侧面PAB ，PBC ，PAC 与底面ABC 的二面角分别为α，β，γ，则有sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.一类特殊四面体的探究林龙英（广东省佛山市顺德区中等专业学校）53--All Rights Reserved.案例分析新课程NEW CURRICULUMF -等不大量共存；I -与I 2；Ag +、Cu 2+与NH 3等。
研究四面体的对称性和面积计算方法
研究四面体的对称性和面积计算方法四面体是几何学中的一个重要概念，它是一个由四个三角形面构成的立体。
在研究四面体时，我们常常关注其对称性以及如何计算其面积。
本文将探讨四面体的对称性表现形式以及几种常见的面积计算方法。
一、对称性的表现形式1. 空间对称性四面体可以通过旋转或反射进行变换，使得其形状保持不变。
具体来说，四面体的空间对称性可以分为以下几种：（1）旋转对称性：四面体可以绕着某个轴旋转一定角度后仍然保持不变。
常见的旋转对称性包括4、3、2和1次旋转对称性，分别表示围绕某个轴旋转360°、120°、180°和一周后保持不变。
（2）反射对称性：四面体可以通过镜面反射得到自身的重合。
反射对称性可以有无数种，取决于反射面的选择。
2. 面对称性四面体的对称性也可以通过其面的属性进行表现。
面对称性可以分为以下几种：（1）相等面对称性：四面体的各个面的属性相等，在形状和大小上完全一致。
（2）相似面对称性：四面体的各个面在形状上相似，但大小不一定相同。
（3）对偶面对称性：四面体的各个面都存在对偶面，即存在一个面与其对偶面互为一对，满足一定的对偶关系。
二、面积计算方法计算四面体的面积是几何学中的一个重要问题，下面将介绍几种常用的计算方法：1. 海伦公式海伦公式是计算四面体面积的一种常用方法。
设四面体的四个顶点为A、B、C、D，分别连接形成的三个面的面积分别为SABC、SACD、SBCD。
四面体的面积S可以通过海伦公式计算得到：S = √[s(s-AB)(s-AC)(s-BC)] + √[s(s-AC)(s-AD)(s-CD)] + √[s(s-AB)(s-BD)(s-CD)] + √[s(s-BC)(s-BD)(s-CD)]其中，s为四面体的半周长，s = (AB + AC + BC) / 2。
2. 向量法通过向量法，可以将四面体的面积表示为向量的模长。
设四面体的三个边分别为u、v、w，四面体的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/2 * |u × v + v × w + w × u|3. 莫尔公式莫尔公式是用于计算等边四面体的面积的一种特殊方法。
什么是非正四面体？
什么是非正四面体？非正四面体，又称为开普勒-波洛产物，是一种四面体几何体，与正四面体相比，其四个面不全为等边三角形。
非正四面体是拥有四个不全等等边三角形的多面体，在几何学中具有较为特殊的地位。
下面将从三个方面详细介绍非正四面体的特点。
一、非正四面体的定义与特点1. 定义非正四面体是一种多面体，其四个面不全为等边三角形。
正四面体的四个面为等边三角形，而非正四面体则至少有一个面不为等边三角形。
2. 特点（1）面的特征：非正四面体的四个面形状各异，可以是等腰三角形、直角三角形或一般的三角形，具体形状取决于其构成的三角形的边长比例。
（2）边的特征：非正四面体的各边长度也不相等，其边的长度取决于构成它的三角形的边长比例。
（3）角的特征：非正四面体的各个角也不相等，角的大小和形状取决于三个构成其顶点的三角形的夹角。
二、非正四面体的种类与分类1. 形状种类（1）等边非正四面体：其中一个面为等边三角形，其余三个面为等腰直角三角形。
（2）等腰非正四面体：四个面均为等腰直角三角形。
（3）一般非正四面体：四个面分别为一般的三角形，不满足前两种情况。
2. 三角形比例分类（1）正四面体：四个面均为等边三角形。
（2）非正四面体：至少一个面不为等边三角形。
三、非正四面体的应用与意义1. 数学意义非正四面体作为一种特殊的多面体，对于几何学的研究具有重要意义。
通过研究非正四面体的性质和特征，可以深入理解几何学中的多面体相关概念和定理，对于几何学的研究从而更加丰富和完善。
2. 工程应用非正四面体在工程应用中也起到了重要的作用。
例如在建筑设计中，一些具有非对称外观的建筑物可以使用非正四面体作为基本形状单元，给建筑物带来独特的外观效果。
此外，在计算机图形学中，非正四面体也被广泛应用于三维表面重建、图像处理等领域。
3. 艺术表现非正四面体作为一种独特的几何形状，也在艺术领域有着广泛的使用。
艺术家通过运用非正四面体的形状和特点，营造出具有现代感的抽象作品，给人以美的享受。
四元正四面体摆法要点
四元正四面体摆法要点四元正四面体摆法要点正四面体是一种具有四个相等边长和六个相等面积的多面体。
它的几何形状独特且美丽，因此常被用于艺术、科学和数学领域。
在四元正四面体摆法中，它被用作一种特殊的布局工具，以提供各种创意和解决问题的可能性。
在本文中，我们将探讨四元正四面体摆法的要点，并深入剖析其使用方式以及对创意思维的影响。
1. 基本了解让我们来了解一下什么是四元正四面体摆法。
在数学中，四元正四面体是一个四维几何体，由四个面相等的正四面体组成。
它具有多个维度的特性，因此可以用于揭示事物的复杂关系和多变性。
在摆法中，我们将四元正四面体所代表的思维方式应用于创意过程中，以获得不同的角度和解决方案。
2. 四元思维模式四元正四面体摆法鼓励我们采用更全面、深入和灵活的思维方式。
它基于四个基本维度：事实、概念、价值和未来。
这些维度代表了不同角度和观点，使我们能够从多个维度去思考和理解一个问题或主题。
通过将这些维度交叉应用，我们可以从全新的角度发现新的可能性和解决方案。
3. 事实维度事实维度是关于现实和客观信息的。
它要求我们收集和分析相关的数据、观察现象并进行实证研究。
在应用四元正四面体摆法时，我们需要根据事实维度收集相关背景知识、案例研究和实证数据，以便更好地理解问题的本质和现状。
4. 概念维度概念维度是关于观念和抽象概念的。
它要求我们思考问题的本质、原理和可能的因果关系。
通过概念维度，我们可以应用概念模型、分类和归纳法，以深入理解问题的内在逻辑和潜在规律。
5. 价值维度价值维度是关于主观观点和实践经验的。
它要求我们考虑道德、伦理、情感和文化因素对问题的影响。
通过价值维度，我们可以从个人和群体的角度去思考问题，并将其与我们的核心价值观进行比较和权衡。
6. 未来维度未来维度是关于预测和前瞻性思考的。
它要求我们考虑问题的演变趋势、可能的结果和长远影响。
通过未来维度，我们可以应用场景分析、趋势预测和创造性想象，以预测和规划未来的发展方向。
钴 四面体 八面体 析氢
钴四面体八面体析氢1.引言1.1 概述钴是一种重要的过渡金属元素，具有丰富的化学性质和广泛的应用价值。
它被广泛运用于电池、催化剂和合金等领域。
在钴的结构中，四面体和八面体是两种常见的晶体结构形式。
这两种结构具有不同的几何形状和化学性质，对于析氢反应有着重要的影响。
四面体是一种具有四个等长等角的三维几何形状，它是由四个面以及四个顶点组成。
钴的四面体结构在化学反应和催化过程中起着重要的作用。
四面体结构的钴离子具有较高的催化活性，可以有效地催化氢气的产生反应。
由于其特殊的结构和性质，钴四面体在电池和能源领域具有重要的应用潜力。
八面体是一种具有八个等长等角的三维几何形状，它由六个面以及八个顶点组成。
钴的八面体结构在催化反应和合金制备中具有广泛的应用。
八面体结构的钴原子可以形成稳定的晶格结构，提供了良好的催化活性和化学稳定性。
八面体结构的钴合金在航空航天和汽车工业中被广泛用作高温合金和催化材料。
析氢是指通过化学反应将氢气从化合物中分离出来的过程。
钴四面体和八面体结构对析氢反应具有不同的影响。
四面体结构的钴离子具有较高的活性，可以促进氢气的产生。
而八面体结构的钴原子由于其稳定性和较低的反应活性，更适合于催化反应的稳定性和长期应用。
总之，钴四面体和八面体是两种常见的钴晶体结构形式，它们在钴的性质和应用中起着重要的作用。
对于析氢反应来说，钴四面体结构的活性高，适合于催化氢气的产生；而钴八面体结构的稳定性使其更适用于催化反应的稳定性和长期应用。
随着科学技术的不断发展，钴四面体和八面体的应用前景将会进一步拓展，并为相关领域的发展带来新的机遇和挑战。
1.2文章结构文章结构的设计是为了帮助读者更好地理解和掌握所讨论的主题。
在本篇文章中，我们将按照以下结构展开讨论：1. 引言1.1 概述在引言部分，我们将简要介绍钴、四面体、八面体和析氢的基本概念，并指出它们在化学领域中的重要性和应用。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序展开对钴、四面体、八面体和析氢的讨论：- 钴的性质和应用：首先，我们将深入探讨钴的化学性质、物理性质以及其在工业和科学研究中的广泛应用。
掌握立体几何中的平行四面体
掌握立体几何中的平行四面体立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和体积。
平行四面体是其中的一个常见的几何体，本文将介绍平行四面体的定义、性质、表达方式以及一些解题方法。
一、平行四面体的定义平行四面体是由四个平行四边形组成的四面体，其中任意两个相邻的面平行。
那么什么是四边形呢？四边形是一个具有四条边的几何图形，将这四条边两两相连，形成四个角。
如果这四个角的和等于360°，那么该四边形为平行四边形。
综上所述，平行四面体是由四个平行四边形构成的，且任意两个相邻的平行四边形平行的四面体。
二、平行四面体的性质1. 所有的边都是相等的。
2. 所有的面都是相似的。
3. 两个相邻的面之间的夹角相等且其和为180°，即相邻面互补。
4. 对角线互相平分。
5. 底面的中线与侧面的高线重合并相等。
三、平行四面体的表达方式平行四面体可以通过描述其顶点的坐标来表达。
假设平行四面体的四个顶点分别为A、B、C、D，则可以用如下的坐标表示：A(x1, y1, z1)B(x2, y2, z2)C(x3, y3, z3)D(x4, y4, z4)四、平行四面体的解题方法求解平行四面体问题的方法有很多，下面我们介绍其中两种常用的方法。
1. 向量法使用向量的概念可以简化平行四面体的求解过程。
对于平行四面体ABCD中的任意一点P，可以得到以下关系式：AP = AB + BPAP = AC + CPAP = AD + DP利用这些关系式，可以通过已知条件求解未知量。
2. 几何法几何法是通过建立几何模型来求解平行四面体问题的一种方法。
根据平行四面体的性质和条件，可以应用平行四面体的各种定理和定律进行推导和计算。
五、总结立体几何中的平行四面体是由四个平行四边形组成的四面体，具有一些特殊的性质。
我们可以通过多种方法来解决平行四面体的问题，如向量法和几何法。
掌握这些知识和方法，可以帮助我们更好地理解和解决立体几何中的问题。
四面体面心立方晶体_解释说明以及概述
四面体面心立方晶体解释说明以及概述1. 引言1.1 概述四面体面心立方晶体是一种特殊的晶体结构，其具有独特的定义和特征。
本文将对四面体面心立方晶体进行解释说明，并探讨其在物理性质和应用领域方面的重要性。
通过深入研究该晶体的结构和排列方式，我们可以更好地理解其在材料科学、固态物理等领域中的应用前景和潜力。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、四面体面心立方晶体解释说明、正文部分一、正文部分二以及结论及总结。
其中，引言部分对文章整体内容进行概述，并介绍文章各个部分的主要内容和目标。
接下来，将详细阐述四面体面心立方晶体的定义、特征、结构和排列方式；同时也将探讨该晶体在物理性质和应用领域上的重要意义。
正文部分一和正文部分二将进一步展开关于该晶体的相关要点讨论。
最后，在结论及总结中总结归纳文章所涉及的主要发现，并指出该领域未来可能的研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是对四面体面心立方晶体进行全面解释说明，并概述其在物理性质和应用领域方面的重要性。
通过深入研究该晶体的结构和排列方式，我们可以更好地认识到其在材料科学、固态物理等领域中的潜力和前景。
此外，本文还将探讨该晶体在相关研究中可能遇到的问题，并指出未来进一步研究该领域的方向和方法。
通过本文，读者将能够了解四面体面心立方晶体的基本概念，并对其应用前景有更为清晰全面的认识。
2. 四面体面心立方晶体解释说明：2.1 定义和特征：四面体面心立方晶体是一种晶体结构，其晶胞的基本单元是一个由八个原子组成的正八面体。
这些原子分别位于立方体的六个顶点和中心（即“面心”）。
四面体面心立方晶体可以看作是立方紧密堆积（fcc）结构中每个原子都被等边四面体包围并位于其六个顶点上。
2.2 结构和排列方式：在四面体面心立方晶体中，每个原子与周围的12个邻近原子相接触，并形成一个三重约束网络。
这种强大的连结方式赋予了该结构优良的力学性能和高度的稳定性。
此外，四面体面心立方晶体具有高度对称性，在空间中呈现出各向同性。
正四面体场分裂能
正四面体场分裂能全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正四面体场分裂能是物理学中一个重要的概念，指的是正四面体晶体在外加电场下会出现的分裂现象。
正四面体结构是一种特殊的晶体结构，其具有四个等边三角形构成的三维结构，具有对称性，因此在外加电场下会出现场分裂能效应。
本文将详细介绍正四面体场分裂能的相关知识，并探讨其在物理学中的应用和意义。
正四面体场分裂能的概念最早由物理学家克里斯托弗·继光在20世纪初提出。
正四面体场分裂能是指在一个正四面体结构的晶体中，由于外加电场的作用，晶体内部的电子云发生位移，导致晶体的能级结构产生分裂。
这种分裂现象是由于电场在晶体中的作用力所造成的，可以通过量子力学的方法来描述。
正四面体场分裂能在物理学中有广泛的应用和意义。
在材料科学领域，正四面体场分裂能可以用来解释晶体的电学性质和光学性质。
在材料的设计和合成过程中，了解正四面体场分裂能可以帮助科学家们选择合适的晶体结构，从而调控材料的性能。
在固态物理学中，正四面体场分裂能可以用来研究电子的行为和能级结构，帮助我们理解物质的性质和行为规律。
在光电子学和半导体领域，正四面体场分裂能可以用来设计新型的光电子器件和半导体器件，提高器件的性能和效率。
正四面体场分裂能是物理学中一个重要的概念，它可以帮助我们理解晶体的能级结构和光学性质，对材料科学、固态物理学和光电子学等领域具有重要的应用意义。
我们相信随着科学技术的不断发展，正四面体场分裂能将会有更广泛的应用和深入的研究，为人类的科学进步和技术发展做出更大的贡献。
【文章结束】。
第二篇示例：正四面体是一种几何体，具有四个等边等角的三角形面，四个相同的顶点和六条相等的棱，是几何学中的重要概念之一。
正四面体在自然界和人造物体中都有广泛的应用，可以看到它在晶体学、分子结构、建筑设计等领域中的身影。
在研究正四面体时，我们经常会涉及到一个概念，那就是正四面体的场分裂能。
场分裂能是描述正四面体结构中电荷分布和成键性质的物理参数，它直接影响着正四面体的稳定性和化学性质。
几类特殊四面体外接球半径求解的策略
几类特殊四面体外接球半径求解的策略摘要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。
关键词：四面体；外接球；半径球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。
三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题。
本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。
1.易补形为长方体模型下的四面体（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。
该三棱锥的特点为一顶点处引发的的三条棱两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。
则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .例1（2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为，则外接球的表面积为_______.解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。
由于三个侧棱长都等于，则外接球半径所以此三棱锥外接球的表面积 .点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进（ 2）等腰四面体的外接球半径三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。
该三棱锥的特点为三组相对的棱与、与、与分别相等。
可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分别位于长方体的六个面的对角线上。
不妨长方体的长、宽、高分别为，则由勾股定理可知，故可得所以此三棱锥外接球的半径.例2（2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为_______.解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。
四面体中若干问题的探论
四面体中若干问题的探论【摘要】四面体的相关问题经常作为高考和竞赛的考题背景，自然也就成为中学数学研究的重点之一.本文首先用代数和几何两种不同的方法讨论了:六正数构成四面体六条棱长的充要条件，然后又从平面几何和立体几何两个角度对充要条件的应用展开了较深入的思考,然后再根据这个充要条件推导出了四面体的六棱求积公式等一系列重要的结论，最后本文把三角形的两个优美的结论，在四面体中作了类比推广，同时也是对《中学数学研究》提出的:数学疑难系列之六，做了完整的回答。
【关键词】四面体；充要条件；余弦定理1.引言我们知道三角形和四面体分别是平面几何和立体几何中最简单的封闭图形,在过去的学习过程中,我们对三角形的相关性质研究得比较多,也得出了很多优美的结论.但是对于四面体的相关问题的研究就显得较少,可以说四面体是一片很有开发空间的“土地”,可以成为中学数学探究性学习的很好的课题,同时也可以作为中学数学教师加强数学基本功练习的不错的素材.本文就不同角度对四面体的一些基本性质做了比较深入的思考,也得出了很多重要的结论.2. 六正数构成四面体六棱长的充要条件(其中: 和，和，和各为四面体的一组对棱).2.1 定理1的代数证明2.2 定理1的几何证明2.3 关于定理1的说明及推论2.4 定理1及其推论的应用3.三角形的两个性质在四面体中的类比推广类比是根据两类不同对象之间在某些方面有相同或相似之处，猜测它们在其他方面也可能相同或相似，并做出某些判断的方法.在中学数学教学过程中，类比思想是一种重要的具有创造性的思想，有助于发现、解决问题，是数学知识拓展的原动力之一.由于三角形和四面体分别是平面几何和立体几何中最简单的封闭图形，下面就三角形的两个性质在四面体中做类比推广.3.1 五心俱全且有两心重合的四面体为正四面体大家都知道一个三角形有外心，内心，重心，垂心，界心(4)并且有两心重合的三角形为正三角形.文[3]提出了数学疑难之6:四心俱全且有两心重合的四面体是否正四面体?.是一个十分有趣的问题,经过笔者的研究发现，对于四面体而言我们有如下定理：定理4 五心(即四面体的外心,内心,重心,垂心, )俱全且有两心重合的四面体为正四面体.为了得到定理4,我们先给出以下三个引理:证明:如图12, 点P为四面体ABCD的垂心和内心,连结PA,PB,PC,PD,并延长DP,AP分别交面ABC,BCD于点O,Q,连结AO,DQ,Q,P为四面体垂心,∴PO=PQ又∠APO=DPQ,∴ΔAPO≌ΔDPQ,所以:AP=DP.同理可得AP=BP=CP=D=,∴点P为四面体ABCD的外心,所以:四面体ABCD的垂心和外心重合.由结论2可知,四面体ABCD为正四面体.命题4 垂心存在且内心和外心重合的四面体为正四面体.当四面体ABCD的垂心和重心重合或外心和重心重合时,由引理3可知,垂心和重心重合,再由命题2可得如下结论:命题7 垂心和重心重合的四面体为正四面体.命题8 垂心存在且重心和外心重合的四面体为正四面体.当四面体ABCD的垂心存在, 且外心和界心重合时,由引理3可知,垂心和内心重合,再由命题3可得如下结论:命题9 垂心存在且外心和界心重合的四面体为正四面体.当四面体ABCD的垂心和界心重合时,由引理3可知,内心和外心重合,再由命题4可得如下结论:命题10 垂心和界心重合的四面体为正四面体.综上命题1到命题10可知:五心俱全且有两心重合的四面体为正四面体，从而定理4得证.但如果四面体的垂心不存在,则命题1, 命题4, 命题5, 命题6的结论应为等腰四面体(三组对棱分别相等的四面体),证明略.3.2 四面体余弦定理普通高级中学课本在高一(下)向量部分给出了解斜三角形的一个有力工具——余弦定理，下面我们就把余弦定理类比推广到四面体中，不妨称之为“四面体余弦定理”.以上即为“四面体余弦定理”的内容，证明及表达式.如果在四面体ABCD中从一点出发的三条棱，两两垂直即共点的三个面两两垂直，不妨设D 为此顶点，此时有：，.由四面体余弦定理可得，这就是勾股定理在四面体中的推广，可以称为“四面体勾股定理”.参考文献[1]付增德.数学疑难之9:6正数如何构成四面体的6棱长?[J].中学数学研究(广州),2007(3) .[2]曾中君. 6正数构成四面体3组对棱长的充要条件[J].中学数学研究(广州).本文已收到用稿通知,文章登记编号:07-1611.[3]许鲔潮.数学疑难之6:四心俱全且有两心重合的四面体是否正四面体?[J].中学数学研究,2006(12).[4]邓胜.四面体界点,界心及其坐标公式[J].中学数学,2002(11).[5]段惠民.也谈重心向量形式的应用[J].数学通讯,2004(13).[6]虞关寿.四面体与平行六面体的关系探析[J].数学通讯,2005(9).[7]黄华松.垂心存在的四面体若干心的一个性质[J].数学通讯,2006(3).[8]朱德祥.初等数学复习及研究(立体几何)[M].北京:人民教育出版社,1960.[9]曾中君.直线y=kx(k=a/b)上的点到椭圆最短距离的讨论[J].数学教学通讯,2007(1)。
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高考中特殊四面体的研究
四面体是立体几何中最基本,也是最重要的几何体,它的地位相当于平面几何中的三角形所处的地位。
因此对四面体的研究一方面可以作为平面三角形在空间的直接类比,可得出类似的性质(如勾股定理)或结论。
另一方面又可以观察它的外接平行六面体来证明它的大批性质,很有实用价值。
在这里,将高考复习中,较为常见的几种特殊四面体的性质进行梳理并配简单应用。
一、直角四面体
⒈定义:某顶点的三个面角都是直角的四面体称为直角四面体,或称对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体。
⒉性质:直角四面体相当于三角形中的直角三角形,它可由三条两两互相垂直的棱作为长方体的长、宽、高,补成长方体.。
或可看作一个长方体切去一个角而形成的四面体。
设四面体abcd中,∠bac=∠cad=∠dab=90°,ao⊥面bcd,那么直角四面体有如下性质:
⑴直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形,即△bcd是锐角三角形(可以用三垂线定理或余弦定理进行推证)。
⑵直角四面体的外接球的半径为r=1/2(可以补成长方体后进行证明)。
⑶直角四面体的对棱中点连线长相等,且等于外接球的半径。
⑷勾股定理的推广:s2△bcd=s2 △abc+s2△acd+s2△adb
注:此结论,可看作直角三角形中勾股定理在空间直角四面体中的推广。
这一结论,在2003年的高考试题中,出现在填空题里,考查了学生类比能力。
现证明如下:
如图:由已知条件有ac⊥面abd,ao⊥面bcd,得ac⊥bd,ao⊥bd。
从而.bd.⊥面aoc。
连co交bd于e,连ae,则ce⊥bd,ae⊥bd,ac⊥ae。
在rt△ace中:
ae2=eo×ec
从而(1/2ae×bd)2=(1/2eo×bd)(1/2ec×bd)
即s2△abd=s△bod×s△bcd
同理s2△abc=s△boc×s△bcd
s2△acd=s△cod×s△bcd
三式相加s2△abd+s2△abc+s2 △acd=s2△bcd
例1.(2006年高考题)如图,、是互相垂直的异面直线,mn是它们的公垂线段。
点a、b在上,c在上,am=mb=mn。
(ⅰ)证明ab⊥nb;
(ⅱ)若∠acb=60°,求nb与平面abc所成角的余弦值。
解:(ⅰ)由已知l2⊥mn,l2⊥l1,mn∩l1=m,可得l2⊥平面abn。
由已知mn⊥l1,am=mb=mn,可知an=nb且an⊥nb.又an为ac在平面abn内的射影。
∴ac⊥nb
(ⅱ)∵rt△can≌rt△cnb,∴ac=bc,又已知∠acb=60°,因此△abc为正三角形。
∵rt△anb≌rt△cnb,∴nc=na=nb,因此n在平面abc内的射影h 是正三角形abc的中心,连结bh,∠nbh为nb与平面abc所成的角。
在rt△nhb中,cos∠nbh=
二、正四面体:
⒈定义:四个面都是全等的正三角形的四面体叫做正四面体。
⒉性质:正四面体是四面体最为特殊的四面体,它相当于三角形中的等边三角形,正四面体内接于一个正方体,每一个正方体有两
个内接正四面体。
设正四面体的棱长为a,则它有如下性质:
⑴正四面体的全面积是棱长平方的倍。
体积是棱长立方的/12倍。
⑵正四面体的两侧面间的二面角为arcsin(2/3)。
⑶正四面体的内切球、外接球球心相同,半径分别为r=/12·a
r=/4·a
⑷正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点。
⑸正四面体各棱中点的连线是对棱的公垂线,它的距离是
d=/2·a
⑹正四面体abcd中,过顶点d的高de的中点o,那么四面体oabc 是直角四面体。
以上一系列性质均可在正方体模型下证明.
例2.正三棱椎s---abc的侧棱于底面边长相等,如果e、f分别为sc、ab的中点则异面直线ef与sa所成的角等于()。
a90°b60°c45°d30°
分析:此正三棱椎即为正四面体,故可作正四面体的外接正方体,
则正方体的面对角线是正三棱椎的棱,e、f是上、下底面中心的连线,平移e、f到棱上,可知其与sa的夹角为45°,故选c。
注:本例利用正四面体的外接正方体很快捷的判断出结论。
三、等腰四面体
1定义:对棱都相等的四面体叫做等腰四面体。
⒉性质:等腰四面体相当于三角形中的等腰三角形,它内接于一个长方体,或可以把它补成一个长方体,使等腰四面体对棱分别为长方体的面的对角线。
则它有如下性质:
⑴等腰四面体各面的面积相等,且为全等的锐角三角形。
⑵等腰四面体对棱中点的连线共点,互相垂直平分,且为对棱的公垂线。
(以上一系列性质均可在长方体模型下证明)
例3.四面体s---abc中,三组对棱分别相等,依次为2、、5,求四面体的体积。
分析:本题若通过计算底与高,再求体积会碰到很多计算。
由题
目的条件知,此四面体即为等腰四面体,若把它补成一个长方体,使四面体的对棱分别为长方体的面对角线,那么计算就简单多了。
解:设补成的长方体的三度分别为a、b、c,体积为v,那么有
∴a=4
解得b=2
c=3
v长=24而vs—abg=vs--bce=vs--caf=va--bch=1/6abc=4
所以vs--abc=24-4×4=8
注:本例利用等腰四面体的外接长方体较为简便的解决。
例4.在正四面体内任取一点p,记p点到四个面的距离为,作集合m={d│d= ｝。
对一切p,集合m的元素有()个。
解:设正四面体a---bcd的体积为v,各侧面面积为s,连pa、pb、pc、pd.
则v=vp-abc+vp-acd+vp-abd=1/3()s
得d1+d2+d3+d4=3v/s(定值)
故集合m只有一个元素.
注:在平面上,正三角形内一点到三边距离之和为定值2s/a,而
在正四面体中,一点到三个面的面积之和为定值3v/a。
而此即为平面向空间的推广
以上对三种特殊四面体的性质进行了梳理,由以上几例可知,凡涉及以上三种特殊四面体的有关问题,均可利用它的外接平行六面
体(长方体或正方体)进行证明。
同时,在例3中处理问题的方法——割补法也充分体现了立体几何的重要数学思想。