2016-2017学年高中数学人教B版选修2-3学业分层测评13 事件的独立性 含解析

学业分层测评
（建议用时：45分钟）
［学业达标]
一、选择题
1。

有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数"，事件N:“出现的点数为偶数"；
②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球";
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”。

这三个问题中，M，N是相互独立事件的有（）
A。

3个 B.2个
C.1个D。

0个
【解析】①中,M,N是互斥事件；②中，P（M）＝3
5
, P（N)＝错误!.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P（M）＝错误!，
P（N）＝错误!，P(M∩N)＝错误!，P（M∩N)＝P（M）P（N），因此M，N是相互独立事件。

【答案】C
2。

(2016·东莞调研）从甲袋中摸出一个红球的概率是错误!，从乙袋中摸出一个红球的概率是错误!，从两袋各摸出一个球，则错误!表示( ）
【导学号：62980046】
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P（A)＝错误!，P（B）＝错误!，由于A,B相互独立,所以1－P(错误!）P(错误!）＝1－错误!×错误!＝错误!。

根据互斥事件可知C正确.
【答案】C
3。

甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ）
A 。

34
B 。

错误!
C 。

错误!
D 。

错误!
【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢,其概率P 1＝错误!;第二类，需比赛2局,第一局甲负，第二局甲赢,其概率P 2＝错误!×错误!＝错误!。

故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝错误!。

【答案】 A
4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2.2。

2所示。

假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ )
图2。

2.2
A 。

错误!
B.错误!
C.错误! D 。

错误!
【解析】 青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：
第一条：按A →B →C →A ,
P 1＝错误!×错误!×错误!＝错误!；
第二条，按A →C →B →A ，
P2＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝错误!＋错误!＝错误!。

【答案】A
5。

如图2。

2.3所示，在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（)
图2。

2.3
A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
【解析】“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A）＝错误!＝错误!,“右边圆盘指针落在奇数区域"记为事件B,则P(B)＝错误!，事件A，B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为错误!×错误!＝错误!，故选A。

【答案】A
二、填空题
6.（2016·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型。

若从甲、乙两盒内各取
一个,则能配成A型螺栓的概率为________。

【解析】“从200个螺杆中,任取一个是A型"记为事件B。

“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P（B)＝错误!，P（C）＝错误!。

∴P（A）＝P（BC)＝P（B）·P（C）＝错误!·错误!＝错误!.
【答案】错误!
7.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1 5 ,
错误!,错误!，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________.
【导学号：62980047】【解析】用A，B,C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”,则P(A）＝错误!,P（B)＝错误!，P(C）＝错误!，
且P(错误!∩错误!∩ 错误!）＝P（错误!）P（错误!）P(错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!。

所以此密码被破译的概率为1－错误!＝错误!。

【答案】错误!
8.台风在危害人类的同时,也在保护人类。

台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均
衡。

甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0。

8，0。

7,0。

9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________。

【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，错误!，错误!，
则P（A）＝0。

8，P（B）＝0。

7，P（C)＝0。

9，P（错误!）＝0。

2，
P（错误!）＝0。

3，P(错误!）＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB错误!，A错误!C,错误!BC,ABC，这四个事件两两互斥且独立.
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P（AB错误!)＋P(A错误!C）＋P（错误!BC)＋P(ABC）
＝0。

8×0。

7×0.1＋0。

8×0。

3×0.9＋0。

2×0.7×0。

9＋0。

8×0。

7×0.9
＝0。

056＋0.216＋0。

126＋0。

504＝0。

902。

【答案】0.902
三、解答题
9.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0。

3。

设各车主购买保险相互独立。

（1）求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

【解】记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险;
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

（1）P(A)＝0。

5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P（C)＝P(A＋B）＝P(A）＋P（B)＝0。

8。

（2）D＝错误!，P（D)＝1－P（C）＝1－0.8＝0。

2，
P(E）＝0。

8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0。

2＋0。

2×0。

8×0。

8＝0.384。

10。

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0。

4,0。

5，0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点
数之差的绝对值，求ξ的分布列.
【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P（A1）＝0。

4，P（A2)＝0.5，P（A3)＝0。

6，游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2,1，0，所以ξ的可能取值为1，3。

则P(ξ＝3)＝P（A1∩A2∩A3）＋P（错误!1∩错误!2∩错误!3）
＝P（A1)·P(A2)·P（A3）＋P（错误!1)·P（错误!2)·P(错误!3）
＝2×0.4×0.5×0。

6＝0.24。

P（ξ＝1）＝1－0.24＝0.76。

所以分布列为：
1。

设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P（A）是( ）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
【解析】由P（A∩ 错误!）＝P(B∩ 错误!),得P（A)P(错误!）＝
P（B）·P（错误!）,即P（A）［1－P（B）]＝P(B）[1－P(A）］，∴P(A）＝P（B）。

又P(错误!∩错误!)＝错误!，
∴P(A）＝P(错误!)＝错误!，∴P（A）＝错误!.
【答案】D
2。

三个元件T1,T2，T3正常工作的概率分别为1
2
,错误!,错误!，且是互相独立的。

将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2。

2。

4的电路中，电路不发生故障的概率是（)
图2。

2.4
A.错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
【解析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作"分别为事件A1,A2，
A3，则P(A1）＝1
2
，P(A2）＝错误!,P(A3）＝错误!。

不发生故障的事件为（A2∪A3)∩A1,∴不发生故障的概率为
P＝P［(A2∪A3）∩A1]
＝[1－P（错误!2）·P(错误!3）］·P（A1）
＝错误!×错误!＝错误!.故选A。

【答案】A
3.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算）,有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为错误!，错误!，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是错误!，错误!，两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.
【导学号：62980048】【解析】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为错误!，错误!，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为错误!。

【答案】错误!
4.在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作。

假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0。

7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

学必求其心得，业必贵于专精
【解】如图所示，分别记这段时间内开关J A,J B，J C能够闭合为事件A，B,C.
由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P（错误!错误!错误!)＝P（错误!）P（错误!)P（错误!）
＝［1－P(A)][1－P（B）］[1－P（C)］
＝(1－0。

7）×(1－0。

7）×（1－0。

7)
＝0。

027。

于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(错误!错误!错误!）＝1－0。

027＝0。

973.
即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973。