高考数学复习要点梳理教学案 14.1 几何证明选讲精品(学生版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案14.1 几何证明选讲（新课标
人教版，学生版）
【考纲解读】
1．理解相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用
2．理解圆的切线定理和性质定理的应用．
3．理解相交弦定理，切割线定理的应用，圆内接四边形的判定与性质定理．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.几何证明选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1.平行截割定理
(1)平行线等分线段定理及其推论
①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．
(2)平行截割定理及其推论
①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
(3)三角形角平分线的性质
三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．
(4)梯形的中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
2．相似三角形
(1)相似三角形的判定
①判定定理
a．两角对应相等的两个三角形相似．
b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
c．三边对应成比例的两个三角形相似．
②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
③直角三角形相似的特殊判定
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
(2)相似三角形的性质
相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(3)直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．
3．圆周角定理
(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．
(3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．
4．圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等．
5．弦切角
(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．
(2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．6．圆中的比例线段
定理名称基本图形条件结论应用
相交弦定理
弦AB、CD
相交于圆内点
P
(1)PA·PB
＝PC·PD；
(2)△ACP
∽
△DBP
(1)在PA、PB、
PC、PD四线段中
知三求一；
(2)求弦长及
角
切割线定理
PA切⊙O
于A，PBC是⊙
O的割线
(1)PA2＝
PB·PC；
(2)△PAB
∽△PCA
(1)已知PA、
PB、PC知二可求
一；
(2)求解AB、
AC
割线定理
PAB、PCD
是⊙O的割线
(1)PA·PB
＝PC·PD；
(2)△PAC
∽△PDB
(1)求线段
PA、PB、PC、PD
及AB、CD；
(2)应用相似
求AC、BD
(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补．
(2)圆内接四边形判定定理：
①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；
②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．
【例题精析】
考点一平行线截割定理与相似三角形
例1.已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．
求证：BC2＝2CD·AC.
【变式训练】
1. (2011年惠州调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________.
考点二圆周角、弦切角与圆内接四边形
例2.(2011年辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q 作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.
(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；
(2)求证：QT＝TS.
【变式训练】
2.(2010年高考新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA 的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
【易错专区】
问题：综合应用
例.（2012年高考江苏卷21）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．
求证：E C
∠=∠．
【课时作业】
1.(2012年高考北京卷理科5)如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )
A. CE ·CB=AD ·DB
B. CE ·CB=AD ·AB
C. AD ·AB=CD ²
D.CE ·EB=CD ²
2. (2012年高考广东卷理科15)如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_______.
3．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形
EFCD 的面积比为 ．
4.（2011年高考陕西卷文科15)如图，,,B D AE BC ∠=∠⊥090,ACD ∠= 且6AB =，4AC =，12,AD =则AE =_______.
5.（2011年高考辽宁卷文科22)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED 。

（I ）证明：CD//AB ；
（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆。

【考题回放】
1. (2012年高考湖北卷理科15)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________.
2. (2012年高考湖南卷理科11)如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.
3．(2012年高考陕西卷理科15)B ．（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，
则DF DB ⋅= ．
4. (2012年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA ，若AD=m ，AC=n ，则AB=_________.
5．(2012年高考天津卷文科13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点
F ,3AF =,1FB =,3
2
EF =
,则线段CD 的长为 .
6．（2012年高考新课标全国卷22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
7．（2012年高考辽宁卷22）如图，⊙O和⊙/O相交于,A B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明
⋅=⋅；
(Ⅰ)AC BD AD AB
=。

(Ⅱ) AC AE。