第九章流动运动阻力与损失

qv
2
x
dx x2
y dy y2
qv
4
d(x2 y2) x2 y2
d
Vy dx Vx dy
qv
2
x
dy x2
y dx y2
qv
2
d( y / x) 1 ( y / x)2
积分之，得到 qv ln (x2 y2 ) qv ln r
4
2
qv tg 1 y qv
2 x 2
点源 (点汇) 的等势线是 rC 的一族同
势函数只有在无旋流中才存在。即某一流动
势无旋的，则这一流动பைடு நூலகம்是有势的 ,即流场中流
体微团的旋转速度ω处处为零
ωx
1 2
Vz y
Vzy
有各方向上的旋转速度为
ωy
1 2
Vx z
Vxz
ωz
1 2
Vy x
Vyx
则可得:
Vz
Vy
y z
Vx Vz z x
Vy Vx x y
势函数的定义知,存在 (x, y, z) 它的方向导数 x, y,z
数的性质，有
d x
dx
y
dyVx
dxVy
dyadxbdy
d
x
dx y
dyVy dxVxdy bdxady
积分这两式，得到 axby C1 如果取 (0,0)点的 0, 0
aybx C2
则有 C1 C2 0 即 axby aybx
于是有等势线和流线方
y
程分别为 ax byConst 则有流线和 ay bxConst
dxdxy dyz dzVxdxVy dyVz dz 注意：在无旋流中必存在势函数。反之，如果流场中存在
势函数，则该流场一定是无旋流。所以无旋流与有势流是 等价的。
9.1.2 平面流的流函数
在平面流中，如果该流动满足连续方程，则在这平面流 中就存在一个流函数 ，它的作用与有势流中的势函数类似， 也可以用来描述整个流场。
心圆，而等流函数线则是从源汇点发出的 射线，如图9.2 所示。
注意: 点源和点汇都是无旋流动，即
势流。
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图 9.2点源 (点汇)
9.2.4点涡（有势涡）
点涡:形式上，流体在作旋转运动，但是除了原点以外，本质 上这是一种无旋流动，故我们称这种涡流为有势涡。点涡的 径向速度为零，而切向速度与半径成反比，它的流线是同心
度。于是有偶极流的势函数表达式
M
2
x2
x
y2
偶极流的流函数也可用类似的方法求得：
1 2
qv
2
(1
2 )
tg1
x
y
,tg
2
y
x
tg(1
2
)
tg1 tg2 1 tg1tg2
y(x ) y(x ) x2 2 y2
x2
2 y y2 2
代入流函数表达式，并用级数展开，保留第一项，得到
qv tg 1 2 y qv
2
2
根据速度势的性质，由速度势即可求得直角坐标下的各分速
Vx ,Vy 即
y
Vx
x 2
x2y2
Vy
y 2
x x2y2
点涡运动是无旋运动即有势运动，除原点以外的流场旋转角速
度为零
z
12
Vy x
Vx
y
1 2
x
2
x2
x
y2
y
2
x2
y
y2
0
在原点， r 0,V ，因此在原点附近的流动是有
分别等于该方向的流动分速 Vx,Vy ,Vz ,即 grad V
如果速度势是具有连续导数的单值函数，则上述无旋条件即可
，
得到：
Vz y
y
z
y2z
z
y
Vzy
Vx z
z
x
z2x
x
z
Vxz
Vy x
x
y
x2y
y
x
Vyx
在无旋定常流中，势函数只是空间坐标的函数，所以势函 数的全微分可以表示为：
旋的 .
同理,可以求得极坐标下的速度和角速度表达式
9.3几种简单平面势流的叠加势流
9.3.1螺旋流(点源或点汇＋点涡)
将平面势流点源(或点汇)流动和平面势流点涡流动叠加便得 到一种新的平面势流，称为螺旋流或源环流(汇环流)，螺旋流中 流体既作旋转运动，同时又作径向运动，它的轨迹呈螺旋状，故 称螺旋流。根据势流叠加原理，螺旋流的势函数和流函数分别为：
函数分别为 1 和 2 的两个有势流动，根据势函数的性质，
它们都满足拉普拉斯方程，即可得到
2
(1 x2
2 )
2
(1 2 y2
)
0
即为
2 (1 2 )0
两个势流叠加，得到一个速度势为 1 2的新的复合流动，
并且新的复合势流的速度场也可以直接将各简单势流速度场叠
加而得
Vx
x
(12 x
)
1 x
1 2
V y
M
2
x2
y
y2
V y1
M
2V (x2
y2 )
1 2
V x
M
2
x2
点流出或向汇点流入都只有径向速度 Vr ,切向速度为0
Vr
qv
2
r
2
qv x2 y2
其分速为
Vx
Vr
cos
qv
2
r
x qv
r 2
x x2 y2
Vy
Vr
sin
qv
2
r
y qv
r 2
y x2 y2
根据以上速度分布，就可以容易地求出点源 (点汇) 的势函
数和流函数来：
d Vx dx Vy dy
第 9 章 不可压缩流体的平面势流
本章概述: 不可压缩流体的平面无旋流动在平面势流的
条件下,可将流动基本方程简化为势函数方程，然后在给定的边 界条件下求解势函数方程，根据势函数的性质和伯努利方程，就 可以求得所研究流场的速度分布和压强分布。
➢9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程
➢9.2平面势流叠加原理和几种简单的平面定常势 流
将强度为qv和- qv 的点源和点汇无限地靠近并叠加起来，
得到一种新的有势流动，这种流动称为偶极流。
为了研究叠加以后的流场，首先研
究图9.3所示的源－汇叠加问题。
此时源点和汇点相距 2 。则在流
场中任意点 M (x, y) 处的势函数
为点源和点汇的势函数之和
1
2
qv
2
(ln r1
ln r2 )
还可以得到得到偶极流的两个速度分量：
Vx
x
M (y2 x2)
2 (x2 y2 )2
M (2xy)
Vy
y
2 (x2
y2 )2
9.4不带环量的圆柱绕流 (均匀直线流＋偶极流)
我们将一个均匀平行流和偶极流叠加，就可以得到理想 流体绕圆柱的平面有势流动。图9.5绘出了这两个势流叠加后 流动的示意图。
等势线如右图所示
x
图9.1 均匀平行流
9.2.3点源和点汇
设在无限大平面上，流体以一恒定的体积流量qv ， 源源
不断地从一个点沿径向向四周均匀地流出，这种流动称为点
源，这个点称为源点。qv 称为点源强度；qv 若为负值，则意
味着流体沿径向均匀地从四周流入一点，这种流动称为点汇。
若将坐标原点作为源点或汇点，显然，在这种流动中，从源
qv
2
ln
r1 r2
式中 r1 和 r2 为M点至源点和汇点的距离。由图9.5可知
r2
r1
代入得
(x )2 y2
(x
)2
y2
qv ln 2
(x )2 y2 (x )2 y2
qv
4
ln
(x )2 y2 (x )2 y2
qv
4
ln
1
(x
4
x
)2
y2
若使源点和汇点无限地接近，即 0，并将上式按级数
圆，等势线是射线，因此，它的两个分速可以表示为：
V
2 r
,
Vr 0
式中 称为点涡强度。 取正值表示流动为逆时针方向转动，
负值表示顺时针方向转动。上式表明，其切向速度与半径成
反比，离圆心越远，流速越小。位于坐标原点的点涡的势函
数和流函数分别为
tg 1 y 2 2 x
ln r ln x2 y2
qv ln r qv ln r
2
2
2 2
由流函数便可得到流线方程 qv ln r C 该式可以写
为
qv C
re
这是一族对数螺线，它的速度分布为
Vr
r
qv
2
r
V
r
2
r
流体一面在作径向运动，一面又在作旋转运动，二者的合成运动
即为螺旋运动。
9.3.2偶极流(点源＋点汇)
➢9.3几种简单平面势流的叠加势流
➢9.4不带环量的圆柱绕流 (均匀直线流＋偶极流)
➢9.5带环量的圆柱绕流和儒科夫斯基升力定理
9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程
9.1.1 势函数: 在流场中存在一个函数,它的方
向导数分别等于该方向的流动分速，这一函数就称为 速度势函数，简称势函数或速度势
9.2平面势流叠加原理和几种简单的
平面定常势流
9.2.1势流叠加原理
面不可压势流的势函数方程和流函数方程均是拉普拉斯方 程，而拉普拉斯方程是线形方程，线形方程有一个重要的特征， 即方程解的可叠加性。两个或数个拉普拉斯方程解的和或差仍 是拉普拉斯方程的解。的势函数，从而获得复杂势流的解。这 样，我们就可以用一些简单的势函数叠加来获得一个复杂势流
2 x
Vx1Vx2
Vy
y
(12 y
)
1 y
2 y
Vy1 Vy 2
类似地，新的复合势流的流函数 1 2 ， 等于两个原来
的简单流动流函数之和。
9.2.2均匀直线流动
设一平面流动的速度在全场处处相同，它与轴的夹角为α，
则它的两个分速分别为：
VxVcos a
Vy Vsin
b
式中a,b为常数
这是一个无旋流动，同时又满足连续方程，利用势函数和流函
9.1.3势函数方程和流函数方程－拉普拉斯方程
9.1.3.1 势函数方程
在平面定常无旋流中，同时存在势函数和流函数 ，如果
将势函数与速度的关系 :
即
V
Vx
x
和
Vy y
将之代入连续方程(9.4)，则有
Vx
Vy
x y
x
x
y
y
2
x2
2
y2 0
即可记为 2 0 即是不可压平面势流的势函数方程，
dy
Vy dxVx
dy
即
Vx
y
Vy
x
一旦一个连续流场的流函数得知后，通过交叉偏导 数可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求 得全场的压强分布。因此找到一个特定的平面流的流函 数，就等于知道了该流场的速度、压强。
注意:一切平面流动的流场，不论是无粘流体还是有粘
流体，也不论是有旋流动还是无旋流动，只要它满足 连续方程(9－4)，都存在着流函数 .但是，只有无旋 流动才存在势函数。因此，对于平面流动，流函数具 有更普适的意义，它是研究平面流的有力工具。
平面流的流函数存在条件是满足连续方程：
Vx
Vy
0
x y
对于平面流，流线方程可以写成
dxdy Vx Vy
即
Vy dxVx dy 0
由于式(9.4) 是式 (9.5) 的左边 Vy dxVx dy 为某
一函数对坐标全微分的充分必要条件，我们记这个函数
为 (x, y) ，称为流函数。则有
d
x
dx
y
该方程为拉普拉斯方程。说明平面不可压势流的势函数是调和
函数。在势函数和流函数同时存在的条件下，流场中任意点的
速度可表示为:
Vx
y
x
Vy
x
y
9.1.3.2 流函数方程
将流函数 与速度的关系(9.7)式代入无旋关系 z 0 的
式中，有
Vx y
Vy
x
y
y
x
x
2
x2
2
y2
0
即为: 2 0
图9.5 均匀平行流＋偶极流＝理想流体绕 圆柱的流动
对于一个流动平行于 x 轴的流速为 V 的均匀平行流，其流
函数和势函数分别为：
1 V y, 1 V x
对于偶极流，它的流函数和势函数则分别为
2
M
2
x2
y
y2
, 2
M
2
x2
x
y2
根据势流叠加原理，新构成的势流的势函数、流函数分别为上 述势流的势函数、流函数的代数和。
ln(1 z) z z2 / 2 z3 / 3 • • •展开，并近似取第一项，可
得
qv
4
4 x (x )2
y2
当点源和点汇无限靠近时，令源、汇的强度 qv 不断增大，即
0 时 qv ，但二者乘积的极限趋于某一常值，保持
2 qv M 常数，M称为偶极流的偶极矩，或称为偶极子的强
2 y
2
x2 y2 2 2 x2 y2 2
当点源和点汇无限靠近时，令源、汇的强度qv不断增大，即
0时 qv ，但二者乘积的极限趋于某一常值，保持 2 qv M 常数。于是得到偶极流的流函数为
M
2
x2
y
y2
从偶极流的势函数表达式(9.22)和流函数表达式(9.23)可以看
出，等势线和流线都是圆。并且两者正交.
在推导上述方程时我们使用了无旋条件，因此流函数方程
只是在平面定常不可压势流的情况下才存在。如果平面流是有
旋的，那么该流动有流函数存在，但是此时流函数并不满足拉
普拉斯方程。
9.1.4等势线和等流函数线的正交性
等势函数线是指 C 的曲线 ，沿等势线 ，d0 即
d x
dx
y
dyVx
dxVy
dy0
由上式，可得到等势线在流场中任意点(x,y) 的斜率
d d
y x
C
Vx Vy
等流函数是指 C 的曲线，即流线，沿等流函数，d 0即
d
x
dx
y
dy
Vy
dxVx
dy0
等流函数线在流场中任意点 (x,y) 的斜率
d d
y x
C
V
y
Vx
等势线和等流函数线在点(x,y ) 的斜率乘积
dy dx
C
dy dx
C
Vx Vy
Vy Vx
1
由此可见，在平面定常不可压势流中，等势线和等流函数线 正交。