吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(含解析)

吉林地区普通高中友好学校联合体第三十八届高一期末联考
数学试题
数学试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（
）
A ．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
B ．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
C ．若，且与的方向相同，则
D ．若，则与方向相同或相反
2．已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ）A.5
B ．4.5
C ．4
D ．3.5
3．在中，，且
（ ）A
B ．3
C ．
2
D 4．在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（ ）
A ．19
B ．21
C ．16
D ．18
6．已知平面向量，且，则（
）
A ．
B ．0
C ．1
D 7．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”
a b = a b
a b = a b a b
= a b ∥a b
35%ABC △2π,23A AC ==ABC △BC =2
913
79
23
()()2,0,1,1a b ==-
()()
ma b a b -+ ∥m =1
-
的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（
）
A ．的值为0.005
B ．估计这组数据的第85百分位数为85分
C ．估计这组数据的众数为75分
D ．估计成绩低于60分的有250人
8．如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为20m ，则这颗银杏树的高度为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分．
9．若，则（ ）A
．B ．C ．D
．在复平面内对应的点在第二象限
10．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法其中所有正确的为（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则11．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为
）
α,A B ,A B 30︒45︒,A B )
5
1m
+)
10
1m
-)
5
1m
-)
10
1m
+z 2i 1=-z 2i 1=+z =
zi 2i
=--z m n αβ,,m n αβαβ⊥
⊥⊥m n ⊥,,m n αβαβ∥∥∥m n ∥,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ
∥,,m n m n αβ∥∥∥αβ
∥
A ．正三棱锥高为3B
C
D
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，若，则__________．
13．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为4的正方形，则原四边形的面积是__________．
14．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为__________
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记的内角的对边分别为，已知（1）求角（2）若，则
16．（15分）已知．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
17．（15分）一个盒子装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？
()()2,3,,4a b λ==
a b ∥λ=OABC O A B C ''''OABC ,,A B C N C A B N ,,A B C 0.8,0.7,0.8N ABC △A B C 、、a,b c 、cos sin 0a C C b c +--=A
2a =ABC △,b c
()()
111,,42
a a
b a b a b =⋅=+⋅-= b
a b - a b +
（1）“恰有1支一等品”（2）“两支都是一等品”（3）“没有三等品”
18．（17分）已知四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且
为中点，F 为中点．
（1）证明：平面；（2）求点B 到平面的距离．
19．（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．
吉林地区普通高中友好学校联合体第三十八届高一期末联考
高一数学·参考答案
1．【答案】C
【解析】对于A ，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A 错误：
对于B
，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B 错误；
对于C ，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C 正确；对于D ，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D 错误，故选C ．
2．【答案】A
A =
B =
C =P ABC
D -PD ⊥ABCD ABCD 2,2,30,AB AD PD BAD
E ===∠=︒PC AB E
F ∥PAD DEF P ABCD -ABCD 4PA AD ==2,AB PA =⊥ABCD M PD AM ⊥PCD CD BM CD ACM =a b
=a b
a b a b = 0 0a =
a b
【解析】因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5．故选：A ．3．【答案】D 【解析】因为，所以，解得，由余弦定理可得故选D ．4．【答案】C
【解析】双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合，其中只有双方都选白色或都选黑色
时不符合要求，故不符合要求的概率为，符合要求的概率为．故选：C ．5．【答案】B
【详解】高三年级应该抽取的人数为．
故选：B ．6．【答案】A
【解析】因为，
所以，，
因为，所以，解得．故选：A ．
7．【答案】B
【解析】根据频率分布直方图可知：，即，故A 正确；由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故C 正确；
，故成绩低于60（分）的有250人，即D 正确；
由图中前四组面积之和为：，图中前五组面积之和为：，故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，设这组数据的第85百分位数为，则有，
故，即估计这组数据的第85百分位数为86分，故B 错误．
835% 2.8⨯=35%12sin 23ABC S AC AB π=
⨯⨯=△AB =
1AB =BC BC ==297
9
1050
56218009501050
⨯=++()()2,0,1,1a b ==-
()()()2,01,121,1ma b m m -=--=+-
()()()2,01,11,1a b +=+-=
()()
ma b a b -+
∥()21111m +⨯=-⨯1m =-()10233651a a a a a a +++++=0.005a =[)70,80()100.005231000250⨯⨯+⨯=()23360.005100.7+++⨯⨯=()233650.005100.95++++⨯⨯=m ()0.750.005800.85m +⨯-=86m =
故选：B ．8．【答案】D
【解析】在中，，
，
由正弦定理得
，则，
在中，，因此，
所以这颗银杏树的高度为．故选：D
9．【答案】BCD
【解析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解．【解答过程】由复数
，则，所以A 错误；由
B 正确；
由，所以C 正确；
由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D 正确．10．【答案】AC
【解析】对于A ：因为，所以平面内必有直线，又因为，所以，
因为，所以，而，所以，А正确．
对于B ：与相交或异面也能满足条件，B 错误；对于C ：因为，则，又因为，所以，C 正确；
对于D ：如果也能满足条件，D 错误；11．【答案】ABC
【解析】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，
为斜高，
又
，
故AB 正确．
ABC △20,30,15AB A ACB ==︒∠=︒(
)1sin15sin 45302︒=︒-︒=
-⨯=
sin 30sin15BC AB =︒︒
10BC ==+Rt BCD △90BDC ∠=︒)
sin 4510101CD BC =︒=+=+)
101m +2i 1z =-2i 1z =--z =
=()i 2i 1i 2i z =-=--z ()1,2-αβ⊥βl α⊥m α⊥l m ∥,n l ββ⊥
⊂n l ⊥l m ∥n m ⊥m n ,m m n α⊥∥n α⊥n β⊥
αβ∥,,l m l n l αβ= ∥∥E ADC F CD ,,PF EF PE PE PF 32PF EF ====3PE ==
而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C 正确，
D 错误．12．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：．13．【答案】【解析】由斜二测画法可知所以14．【答案】0.752
【解析】系统能正常工作，则至少有1个能正常工作且能正常公式，所以系统能正常工作的概率为
．故答案为：0.752．
15．
【解析】教材原题，54页22题
【解析】（1），
由正弦定理，得
，
，
，
又
即，由（2）由（1），得，则，
1393⨯⨯
=1332⨯⨯=
8
3
2430λ⨯-⨯=83
λ=S ='44S =⨯=N ,A B C N ()0.80.30.20.70.80.70.80.752⨯+⨯+⨯⨯=cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=cos 1A A -=π12sin 1,sin 662
A A π⎛
⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭π3
A =
π1
,sin 32
ABC A S bc A ===△4bc =
由余弦定理，得，得，解得16．【解析】（1），
由，得，所以（2
）因为，
，
所以令向量与的夹角为，
则，
即向量与
17．【解析】教材原题，教材246页9题（15分）【解析】（1）设表示恰有一支一等品，
则设一等品为1，2，3，二等品为4，5，三等品为6。

样本空间共有15种．则：，共9种
故概率为．（2）设表示“两支都是一等品”的事件，由已知可得，共3种，
所以．（3）设C 表示“没有三等品”的事件，：
，
故所求概率为．18．【解析】（1）证明：取中点G ，连结．
分别是的中点，
()222
1
2342
a b c bc b c bc =+-=+-=4b c +=2
b c ==()()
221
2
a b a b a b +⋅-=-= 1a = 2112
b -= b =
22211
212242
a b a a b b +=+⋅+=+⨯+= 22211
212142
a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= 1
a b +-= a b - a b +
θ()()
cos a b a b a b a b
θ+⋅-===+- a b - a b + A ()()()()()()()()(){}1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6A =
()93
155
P A =
=B ()()(){}1,2,1,3,2,3B =()31155
P B =
=()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5C =()102153
P C =
=PD ,AG EG ,E G ,PC PD
且．是中点，，且．
为平行四边形．
．
又平面，
平面，平面．
是中点，平面点E 到平面的距离为．
，
，且，即．
．为平行四边形，
，，即．
．，
．点B 到平面的距离．19．【解析】（1）解：
平面平面，
，
EG DC ∴∥1
2
EG DC =F AB AB CD ∥EG AF ∴∥EG AF =AFEG ∴EF AG ∴∥EF ØPAD AG ⊂PAD EF ∴∥PAD E PC PD ⊥ABCD
∴ABCD 1
12d PD ='=1
2,30,2
AD BAD AF AB ︒=∠
=== 1DF ∴===2
2
2
4DF AF AD +==90DFA ∠=︒12BDF S BF DF ∴=
⋅=△AFEG EF AG ∴==
=1
22
DE PC =
== 2225DF DE EF ∴+==90EDF ∠=︒1
12
DEF S DE DF ∴=
⋅=△B DEF E BDF V V --= 11
33
DEF BDF S d S d ∴⋅='⋅△△∴DEF d =
PA ⊥ ,ABCD CD ⊂ABCD PA CD ∴⊥
又四边形是矩形，，
平面，平面，
又是的中点，，
，所以平面（2）解：底面是矩形，，
异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由（1）得平面平面，
平面为直角三角形，
又是的中点，，
，
在中，即为异面直线与所成角，
故，
异面直线与
（3）解：取中点为，连接，
在中，分别为线段的中点，故，平面平面，
，
由（1）得平面平面，
，又，
，设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，则，解得：，ABCD CD DA ∴⊥,DA PA A CD =∴⊥ PAD AM ⊂ ,PAD CD AM ∴⊥M PD 4,PA AD AM PD ==∴⊥CD PD D =
AM ⊥PCD
ABCD CD BA ∴∥∴CD BM BA BM CD ⊥,PAD BA ∴⊥PAD AM
⊂ ,,PAD BA AM BAM ∴⊥∴△M PD 4
PA AD ==AM ∴=∴Rt BAM △ABM ∠CD BM tan AM
ABM AB ∠==∴CD BM AD N ,MN
AC PAD △,M N ,PD AD 1
,22
MN PA MN PA =
=∥PA ⊥ ,ABCD MN ∴⊥ABCD 118
323
M ACD V MN AD CD -∴=⨯⨯⨯⨯=AM ⊥,PCD MC ⊂ ,PCD AM MC ∴⊥4,PA AD PD MD ==∴== 2,AB CD MC ==∴=1
2
AMC S AM MC ∴=
⨯⨯=△D AMC h CD ACM θ18
33D AMC AMC M ACD V h S V --=
⨯⨯==△h =
故，所以直线与平面
sin h CD θ==CD ACM。