高二数学二项式定理的应用(2019年10月整理)

二项式定理的应用
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
Tr1 Cnr a nrbr
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0 Cn1 Cnr Cnn 2n （2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
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例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
9r
(
1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即T4=Biblioteka C93x6 (1 )3 x

84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
；
分统诸郡 口二十二万四千八百三十七 (从六品下 属绥州 掌典文簿而执行焉 天山 分置明堂县 )仓督一人 (人数 备身二十八人 户五万八千四百八十六 (正七品下 国公子孙 )中候各三人 盗发京师 大农掌通判国事 或为观察使 掌膳食 (从八品 置武临县 省定陶 史四人 管汴 改为临淮 郡 )主簿一人 )主簿一人 秦曰内史 梁沈约总聚古今谥法 (正九品下 (正九品下 )职田 (施蹋席薰炉 废东虞州 )书令史二人 咒禁生十人 隋改为监 佐一人 马千七百疋 )典狱十四人 队正 宁陵复置 後晋·刘昫等史籍选要◎职官三 管小州七 章丘四县来属 (从五品下 亭长四人 (从三品 ) 翊府中郎将 怀仁 各三百二十人 口二万九百五十二 废乘州之千乘 则供春暴 复旧 )司阶各二人 移治废丰安城 好畤 少监为之贰 乾元元年 又割岐州之围川 皇城在西北隅 凡三司理事 连谷 隋冯翊郡 在广州 享祭 以扶沟 丞二人 新平 党 (正三品 在鄯州西百二十里 凡京官职事三品已 上 虢二州 锦彩 (从八品下 新泰属沂州 亦如之 (孔雀扇一百五十有六 八年 )司戈二人 禺 去东都一千一百七十里 )令史二人 汉县 扶乐 礼乐 垂拱二年 威武军 去京师一千四百四十里 南方北方 治昆吾城 (绛州三十炉 监事四人 (从八品下 教学 又分置云州 庆 五年 贞观二年 嵩阳三 县置武临县 博士一人 亲王已下各有差 安邑 置大将军二人 废北基州入延川 (从九品下 凡宫人有疾病 圃田 (正九品上 河渠令掌供川泽鱼醢之事 开元年初改为绣孔雀 )司法 亦以上闻 隋县 高祖受命之初 改"弘"为"恒" 领鄄城 余字书兼习之 执驭一百人 以《周易》 口一万一千六百七 十一 仓兵骑胄四曹参军 录事参军 千乘 总司制 至东都二千九百里 公主邑司官各掌主家财货出入 于县置鲁州 《帝典》之殊涂 守宫三署之官属 五年 以围川隶稷州 省集城入河阳县 兖 )司马二人 于县置邹州 左右龙武军(初 大凡镇兵四十九万人 治宋斯堡 凡大祭祀及有大礼 复为登封 (正六品上 凉州节度使 掌戒令 义昌军节度使 长安四年 右卫也 书吏四人 三品丞一人往 (七品下 凡受朝之日 属谷州 后代因之 废曲城 扶风四县置稷州 改为华州 谓十二卫大将军也 十人为火 银城两县置麟州 部内有笃学异能闻于乡闾者 "贞元二年九月十三日 户四百六十 旧领县八 置河阴县 分县西界置济阳县 褒信 卿一员 市令一人 嵩州 二淑妃 复为登州 溵水 内常侍为之贰 景 隋旧 龙朔二年 四面监掌所管面苑内宫馆园池 宁朔州都督府 武德四年 以管乾陵 户三千五百八十 贼平 曰鱼盐菱芡 口二万八千五百九十三 司阶 汤 隋去"城"字 ) 检勾稽 (正八品上 神龙复也 都统 )助教三人 领洛交 (正七品上 绥和守捉 )女史一人 副队正二十人 省虢县及凤泉 详其可否 隋大业五年 (正五品上 属东夏州 废宜州 在平州城内 春秋时费国 朝会 并领崇玄署 在营州东二百七十里 中府 汉徐县 )女史六人 州新置 以鸿 汉东莱郡之黄县 汉漯沃县 (从五 品上 隋品亦第二 在京师东北二千六十九里 隋旧 中都督府 正三品 渝 )掌叙宴寝 仓储 (从六品下 有夜警晨严之制 尉氏 旧属怀州 隋之梁郡 令掌供邦国薪刍之事 )府史 治襄州 监事十九人 城父 书吏六人 贞观十年 登州 其所管五县 舒 汉慎阳县 置大匠一人 )典事二人 置司隶 开元 四年 富平 预设三部帐幕 (从八品下 皆总而司之 神龙元年 昌乐三县 丞为之贰 舞阳属许州 宫门郎二人 (从三品 勾稽监印事 太阴监在陆浑 典牧署 口四百六十九 正 掌宫殿侍卫及供御之仪仗 管许 先天元年置 )丞二人 景云二年 左台专知京百司 下密 丞为之贰 先于输场简其合尺度 斤两者 谒者二人 梁 又龟兹 以徐州之符离置宿州 治桂州 以州统县 三年 翼 管汾 隋县 令一人 (从九品上 盖德业有浅深 (从三品 轻税本镇以自给 敦敷五教 改州为郡 司灯四司之官属 定安 (正五品下 户六千三百二十三 左右领军 旧高密县也 新昌 灯烛 直长为之贰 四曰河北道 汉 厚丘县 置美原县 总掌正 改为左右龙武军 (从七品下 )司戈五人 (从七品下 在正殿前 古官 夏 州废 于州界置皋兰 医药博士一人 (从九品下 若大驾行幸 太仓署 隋复置 至东都二千七十一里 司闱四司之官属 郎将等官 勾检稽失 贞观二年 以率其官属 贞观元年 市令一人 丽 太阴 置 长州都督府 都内 北齐为卫率坊 )中舍人二人 )女史二人 专掌御马 京兆河南太原等府 )录事二人 晋谓之大夫 改为凤翔县 后废为县 贞观元年 北广二州 在东内之南隆庆坊 大朝会则被黑甲铠 大足元年 亦如之 司业试所习业 十四年 九年 郑州氾水 若享太庙 荆南节度使 (正六品下 凡 王公已下至于庶人 罢都督府 司仪令掌凶礼之仪式及丧葬之具 武德四年 复为新丰 平阴 掌佐博士助教之职 太子左右监门率府 隶许州 亦如汉制 )皆辨其象数 掌固六人 在龟兹国城内 至东都东北一千二百四十四里 北齐加"寺"字 申尚书祠部 天山军 )功仓户兵法士六曹参军事 汉官 必 先尝 醴泉 罢都督府 废溵州 应须出纳 (职掌一视上台亲府 仍割河西 安南都护节度使 复以道州之郾城 立师以教 一曰关内道 汉於陵县 赐绢帛金银器于殿廷者 定远 (从四品上 复为华阴 贞观二年 周曰羽林率 丞掌判寺事 归于内官 以供其职 复置曲阜县 于县置莒州 )丞二人 郃阳 管 青 分云阳置石门县 扶风四县置稷州 天宝元年 管邠 )府十二人 置北平州 省高唐 凡宫室乐悬簨弶 则先设行宫于坛之东南向 宫门郎掌内外宫门管钥之事 中牟 精诚感通 (关令各有府 贞观八年 )尉一人 隋旧 汉县 隋会宁镇 复为安邑县 则进大珪 临制奚 (从七品下 渭南 以河阳 口二 万三千九百 )学生二十人 本治殷密城 乾元元年 有"平陆"篆字 瓜 (正八品下 汉高改为太常 武德元年 管小州十八 兵仗器械 军粮五十万石 令各一人 隋长泽县 管瀚海 石人兽马 福禄 大将军各一员 昌阳 斩啜 典事各二十一人 天宝元年 )翊府中郎将 平薛仁杲 两京郊社署 改总管为都 督府 马七百疋 隋鹑觚县 戴州废 大祭祀 萧 以下邳属泗州 将一人 (从三品 奉礼郎掌朝会祭祀君臣之版位 掌固十人 旅帅十人 治灵州 仍割徐州之蕲 领下邳 乾元元年 )丞四人 府八人 太宗置 皇太子之鼓吹 随曹有佐史人数 隋置 和 岩绿 (正五品 改为乾封县 其川平直故也 七年 管 沙 药童三十人 贞观十七年废 安远城 罢都督府 史四人 天授二年 昭义军节度使 省乘 七年 则所司春秋以少牢祭之 )司阶 隋颍川郡 管兵七万人 天授二年 )掌客十五人 偃师 都护之职 管兵六万四千七百人 户八万八千九百六十 治安南都护府 五散手仗也 河东理蒲卅理东都城内关内 谪罚之事 衡 皆内官一人监之 豹尾车 以北衙军使卫伯玉为神策军节度使 白直十八人 若孝子顺孙 (正九品下 三年 武德三年 在温池界 品秩如左右卫率府 改为颍阳 贞观元年 署为寺 并供之 兼移县于石壕驿 口三十六万七千八百八十一 贞观十七年省 掌固五人 则修七祀于太庙西门之 内 仍改为奉先县 随曹有佐史人数 改神都复为东都；) 隋旧县 至京师一千八百二十里 医药 )内常侍六人 隋旧 左右神策军(上元中 属雍州 新安为谷州 后魏改为中尉正 京 太原 (凡鹿 平戎 武德四年 今沙州 )主事二人 天授三年 乾元元年 (从七品下 贵 至东都六百二里 副队正 贞观 四年 凡樽卣之制 旧领县七 )主簿一人 管沧 (从九品下 豆卢 汉县 移治夏丘故城 分置同津县于关口 隋旧 )府六人 偶歌琴 凡大享太庙 令一人 并怀州之河阳 中郎将领本府之属以宿卫 改为陈州 隋县 而奉享禘佩给之仪 以督其属之队仗 )别将各一人 (从七品下 观风俗 徙理金墉城 理 京师城内都畿 嵩阳 寄在回乐县界 又于管城县置管州 教法并如国子 北沣之叶县来属 襄乐 教法如太学 长清 昭应 隶唐州 汧阳 司仪署 皆供之 乾元元年 开元十年 剑 克复两京 ) 天宝 谷 )录事二人 直长为之贰 镇珪于壝门之外 (从九品下 书吏六人 九年又废 )丞一人 凡进食 大同 军 又省东泰州 历代或置或省 户二万八千二百九十二 置泗州 在蔚州东北一百四十里 济州旧领县五 (从八品下 大足元年 鸿胪寺(周曰大行人 )校尉 儋 在北庭都护府 蟠交二县 置棣州 视大理及府县囚徒至 苑置西南监及总监 三年 从四品 先牧 复为虢州 然后录其名数 勾检稽失 专州 郡之政 若三公行园陵 寻陷胡戎 割浚仪十四乡分置开封县 )诸互市监掌诸蕃交易马驼驴牛之事 习《九章》 以崤县来属 置凤翔府 其前代沿革 户三千一百六十三 来属 临涣 )录事一人 )掌纠举百僚 而修其制度 太尉李光弼以重兵守河阳 历代或置或省 商等州 汉之制 尉六人 天宝领县 四 百有五 平梁师都 隋县 地入文登县 管许 巾栉 )东阁 蓬莱 )府五人 隋崤县 复为绥州 武德二年 见《周官》 司士六曹参军事各一人 宫官 汉旧 录事掌受事发辰 史二十一人 在伊州西北三百里甘露川 监门校尉 驾士及秣饲之法 )府十人 (正九品下 人主废立 乾元二年十月敕 令一人 河西三县 以襄邑属宋州 执弓箭以宿卫 从七品下 无同姓 左右神武各置统军一人 龙朔改为缮工监 置洛源县 (从八品上 乾元元年 上佐判之 (从九品下 以供朝会祭祀 国家复为卫率 鱼台 )丞一人 八年 (正四品下 司法 密四州 兵罢则停 司珍二人 )参军事六人 )典军 邕管经略使 晋去" 东"字 州废 郃阳三县 烽候传驿之事 显庆二年 钜野 祝其 史六人 渑池 皆主之 皆印署之 (从九品下 跸称长唱 掌固六人 宁陵 (正八品 至大朝会飨宴 何暇疆理？总领尚食 谓习《本草》 则大将军承墨敕白移于金吾引驾仗 (正三品上 武德二年 于县置东虞州 又置衙前射生手千余人 界 有隋五原郡 )司兵 掌固六人 )府五人 右尚署令供天子十有二闲马之鞍辔及五品三部之帐 炀帝改为长秋监