【重点考点】最新版高中数学 课时分层作业4 三角函数线及其应用 新人教A版必修4

课时分层作业(四) 三角函数线及其应用
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π
4的余弦线
长度相等．
其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．0
C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π
4的余弦
线长度相等．故①②③都正确，故选C.]
2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
C [如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM ＞0，a ＝MP
＜0，
c ＝AT ＜0，且MP ＞AT .
∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .]
3．sin 3的取值所在的范围是( )
【导学号：84352035】
A.⎝
⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，
22 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫－22，0 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，－
22 B [因为3π
4
＜3＜π；作出图形(如图)
观察可知sin π＜sin 3＜sin 3π4，即0＜sin 3＜2
2
，故选B.]
4．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )
A.π4
B.3π4
C.7π4
D.3π4或7π4
D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π
4.]
5．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1
D ．cos 2＞cos 1＞cos 3
A [作出已知三个角的余弦线(如图)，
观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 二、填空题
6．已知θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则
它们从大到小的顺序为________. 【导学号：84352036】
AT >MP >OM [如图：
因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .] 7．下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
其中正确命题的序号为________．
①④ [①正确．②错误．例如π7和6π7有相同的正弦线，但是它们不相等，③错误．当α＝
π
2时，α＋π＝3π
2
，这两个角都不存在正切线．④正确．]
8．函数y ＝2cos x －1的定义域为________.
【导学号：84352037】
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0， 所以cos x ≥1
2
.如图：
作出余弦值等于12的角：－π3和π
3
，在图中所示的阴影区域内的每
一个角
x ，其余弦值均大于或等于1
2
，因而满足cos x ≥12
的角的集合为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3
＋2k π，π3
＋2k π(k ∈Z )．所
以函数定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]
三、解答题
9．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域． [解] 由题意得，要使函数有意义，则须错误!如
图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．
所以所求函数的定义域为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＜x ＜2k π＋
π
2，或2k π＋π2＜x ＜2k π＋2
3π，k ∈Z .
10．利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.
【导学号：84352038】
[证明] 在△OMP 中，OP ＝1，OM ＝|cos α|，MP ＝|sin α|， 因为三角形两边之和大于第三边，
所以|sin α|＋|cos α|≥1.
[冲A 挑战练]
1．在(0,2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4
B.⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4
D.⎝
⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4
，3π2 C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知
在(0,2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]
2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
D [∵5
6π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.
故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．] 3．若θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫3π4
，3π2，则sin θ的取值范围是________．
⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，22 [作出角θ终边所在的区域(如图)
观察正弦线的变化范围可知sin θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，
22.] 4．已知集合E ＝{θ|cos θ＜sin θ，0≤θ＜2π}，F ＝{θ|tan θ＜sin θ}，则E ∩F ＝________.
【导学号：84352039】
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪
⎪⎪
π2＜θ＜π [结合正弦线、余弦线可知 E ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪
⎪⎪
π4＜θ＜54π， 而π4＜θ＜π2时，tan θ＞sin θ；θ＝π2时，tan θ不存在；π≤θ＜5π
4时，tan θ≥sin θ，
所以F ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ
⎪
⎪⎪
π2≤θ＜π， 所以E ∩F ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ
⎪
⎪⎪
π2＜θ＜π.] 5．利用三角函数线证明：若0＜α＜β＜π
2
，则有β－α＞sin β－sin α.
【导学号：84352040】
[证明] 如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，
Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为点M ，N ，则由三角函数线定义可知：
sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于点H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α.
由图可知HP ＜
＝β－α，
即β－α＞sin β－sin α.。