兰州市名校2020年高二下数学期末统考试题含解析

兰州市名校2020年高二下数学期末统考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
<成立，只需证
22<； ③用数学归纳法证明2231111n n a a a a a a
++-++++
+=-（1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++； ④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。

②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。

③令1n =代入左式即可判断。

④整数并不属于大前提中的“有些有理数”
【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错
<0<<，故只需证
22
->，②错 2
231111n n a a a a a a
++-+++++=-（1a ≠，n ∈+N ，当1n =时，左边所得项为21a a ++；③正确 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确
综上所述：①②错③④正确
故选B
【点睛】
本题考查推理论证，属于基础题。

2．函数()1f x x =
与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+
B ．2ln 21-
C ．ln 2-
D ．ln 2
【答案】B
【解析】
【分析】 根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。

【详解】
441ln ln 41=2ln 21e
e dx x x
⎰==--
故选B
【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属于基础题。

3．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为
A ．2430x y -+=
B ．430x y -+=
C ．2430x y ++=
D ．2410x y ++= 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程.
【详解】 由题得1210(21)(1)0,,2101
x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩， 所以直线l 过定点P
112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202
CP l k k -==-∴=-, 所以112,24
m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ） A ．0a ≠且0b ≠
B ．a ，b 不全为0
C ．a ，b 中至少有一个为0
D ．a ，b 中只有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.
【详解】
根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B.
【点睛】
本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.
5．定义在上的函数满足,,且时, ,则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，
故答案为C
考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算
6．已知随机变量X 服从二项分布()X
B 163，，则(2)P X ==（ ） A ．80243 B ．13243
C ．4243
D ．316
【答案】A
【解析】
【分析】
由二项分布的公式即可求得2X =时概率值.
【详解】
由二项分布公式：()24
2
61280233243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A.
【点睛】
本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.
7．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5 【答案】C
【解析】 试题分析：,,,60,0,0AC l BD l AC BD AC BA AB BD ⊥⊥∴=⋅=⋅=CD CA AB BD ∴=++
()222211222cos1202CD CA AB BD ∴=++=+++⋅=
考点：点、线、面间的距离计算
8．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( )
A ．4233π-
B ．2233π-
C ．4233π+
D ．2233
π+ 【答案】B
【解析】
由()2sin 0y x x π=≤≤，直线1y =，令2sin 1x =,可得6x π=
或56π，∴曲线()2sin 0y x x π=≤≤与直线1y =交于点,16A π⎛⎫
⎪⎝⎭或5,16B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此围成的封闭图形的面积()5566
6622sin 12cos |233
S x dx x x π
π
π
ππ=-=--=⎰，故选B.
9．若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线52
y x =-的距离的最小值为（ ） A
B
．2 C
．2 D
【答案】C
【解析】
点P 是曲线232ln 2
y x x =-上任意一点, 所以当曲线在点P 的切线与直线52y x =-
平行时，点P 到直线52
y x =-的距离的最小， 直线52y x =-的斜率为1，由23x 1y x =-='，解得1x =或2x 3=-（舍）. 所以曲线与直线的切点为3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 点P 到直线52y x =-
2=.选C. 10．设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的 ( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；
【详解】
∵21a >可得1a <-或1a >，
∴由“1a >”能推出“21a >”，但由“21a >”推不出“1a >”，
∴“1a >”是“21a >”的充分非必要条件，
故选A.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.
11．设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，当()0,x ∈+∞时，()()20xf x f x -'>，则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为（ ）
A ．(),2021-∞-
B ．()()2021,20192019,2017----
C ．()2021,2017--
D ．()(),20192019,2017-∞--- 【答案】B
【解析】
【分析】
设()()2f x F x x
=，计算()0F x '>，变换得到()()20192F x F +<-，根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<，解得答案.
【详解】
由题意()()()200xf x f x x '->>，得()()2
20x f x xf x '->， 进而得到()()2420x f x xf x x
'->，令()()2f x F x x =， 则()()()2420x f x xf x F x x
'-'=>，()()224f F --=，()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<，得
()()()22019242019f x f x +-<+， 即()()20192F x F +<-.
当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x ∴在()0,∞+上是增函数.
函数()f x 是偶函数，()()2f x F x x
∴=也是偶函数，且()F x 在(),0-∞上是减函数， 20192x ∴+<，解得20212017x -<<-，又20190x +≠，即2019x ≠-，
()
()2021,20192019,2017x ∴∈----. 故选：B .
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数()()2
f x F x x =
，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.
12．已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
22(12i)2i i=i=12i 555z +=---- ,对应的点为21(,)55
- ,在第四象限,选D. 二、填空题：本题共4小题 13．当1x <时，等式()2111n x x x x =-+++-++恒成立，根据该结论，当12
x <时，()()
013121n n x
a a x a x x x =+++++-，则8a 的值为___________.
【答案】114-.
【解析】
【分析】 由12x <，可得21x <，318
x -<，结合已知等式将代数式()()3121x x x +-将代数式展开，可求出8a 的值.
【详解】 当12x <时，得21x <，318
x -<， 所以()()
()()()3331221121n n x x x x x x x x ⎡⎤=⋅+-++-+⋅++++⎣⎦+-， 所以，()()()478222114a =-+-+-=-，故答案为：114-.
【点睛】
本题考查恒等式的应用，解题时要充分利用题中的等式，结合分类讨论求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）
【答案】528
【解析】
(1)当三辆车都不相邻时有3348192A ⨯=(种)
(2)当两辆车相邻时有33333333333424242434288A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(种)
(3)当三辆车相邻时有334248A ⨯=(种)
则共有19228848528++=(种)
点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．
15．已知函数2ln(),0(),0
x x x x f x e e a x --<⎧=⎨
+-≥⎩，若()f x 的所有零点之和为1，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】221],(e e +
【解析】
【分析】 先根据分段函数的形式确定出0x <时()f x 的零点为01x =-，再根据0x >时函数解析式的特点和导数的符号确定出()f x 图象的“局部对称性”以及单调性，结合()f x 所有零点的和为1可得
()()00,10f f ≥<，从而得到参数a 的取值范围.
【详解】
当0x <时，易得()f x 的零点为01x =-，
当0x ≥时，()2x x f x e e a -=+-，
∵当[]
0,2x ∈时，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象在[]0,2上关于直线1x =对称. 又22
()x x e e f x e
-'=， 当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增，
当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减，且()2
01f e a =+-，()12f e a =-. 因为()f x 的所有零点之和为1，故()f x 在[)0,+∞内有两个不同的零点，
且()()0010
f f ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，解得221e a e <≤+. 故实数a 的取值范围为2
21],(e e +．
故答案为：221],(e e +．
【点睛】
本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题. 16．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答)
【答案】84
【解析】
【分析】
根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案.
【详解】
根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位，
在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，
则有3984C =种分配方法，
故答案为：84.
【点睛】
本题考查组合数公式的应用，注意10个名额之间是相同的，运用隔板法求解，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数32()3f x x ax x =--在1x =处取到极值.
（1）求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值与最小值及相应的x 的值.
【答案】（1）13a =，函数()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
和(1,)+∞上单调递增（2）max ()2f x =，此时2x =；min ()1f x =-，此时1x =±
【解析】
【分析】
（1）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，
（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．
【详解】
解：（1）由条件得2()361f x x ax '=--，
又()f x 在1x =处取到极值，故(1)260f a '=-=， 解得13
a =. 此时2()321(31)(1)f x x x x x '=--=+-
由()0f x '>，解得13x <-或1x >，由()0f x '<，解得113
-<<x ， 因此，函数()f x 在1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
和(1,)+∞上单调递增. （2）由（1）可知函数()f x 在11,3⎛
⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
单调递减，在(1,2)单调递增.
故max 1()max ,(2)23f x f f ⎧⎫⎛⎫
=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
， 此时2x =；
min ()min{(1),(1)}1f x f f =-=-
此时1x =±.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题．
18．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，过F 的动直线l 交Γ于M 、N 两点. （1）若l 垂直于x 轴，且线段MN 的长为1，求Γ的方程；
（2）若2p =，求线段MN 的中点P 的轨迹方程；
（3）求tan MON ∠的取值范围.
【答案】（1）2y x =
（2）22(1)y x =-
（3）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
（1）由题意，（2p ，±12）在抛物线上，代入可求出p 12
=，问题得一解决， （2）利用点差法和中点坐标公式和点斜式方程即可求出， （3）抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），设l ：x 2p -
=my ，M （x 1，y 1），y 1＞0，N （x 2，y 2），y 2＜0根据根系数的关系和两角和的正切公式，化简整理即可求出．
【详解】
解：（1）由题意，（2p ，±12）在抛物线上，代入可求出p 12
=， ∴Γ的方程为y 2＝x ，
（2）抛物线Γ：y 2＝4x ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）
∴211222
44y x y x ⎧=⎨=⎩，
∴（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝4（x 1+x 2），
∴k 121212042y y x x y y y -===-+，
于是l 为y ﹣y 00
2
y =
（x ﹣x 0）， 又l 过点F （1，0）， ∴﹣y 00
2
y =
（1﹣x 0）， 即y 02＝2（x 0﹣1），
故线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝2（x ﹣1） （3）抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），设l ：x 2
p
-=my ，M （x 1，y 1），y 1＞0，N （x 2，y 2），y 2＜0， 则y 2﹣2my ﹣p 2＝0， ∴y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2，
则tan ∠MON ＝tan （∠MOF+∠NOF ）1tan MOF tan NOF
tan MOFtan NOF
∠+∠=
-∠∠，
12
122112121212
121y y x x x y x y y y
x x y y x x -+-==-+-⋅，
211212122222p p my y my y p p my my y y ⎛
⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎛
⎫⎛⎫
+++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，
()()
()122212122124
p
y y mp p
m y y y y -=++++
，
()
222
21224
mp p m p mp =-++⋅+
，
43
=≤-，
故tan ∠MON 的取值范围是（﹣∞，4
3
-]
【点睛】
本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 19．已知函数()log (4)a f x ax =-，(0a >且1)a ≠.
（Ⅰ）若()g x 是偶函数，当0x >时，()()g x f x =，求0x <时，()g x 的表达式； （Ⅱ）若函数()f x 在[0,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】 (1)见解析;(2)(1,2).
分析：⑴根据偶函数性质，当0x <时，0x ->，求出表达式 ⑵复合函数同增异减，并且满足定义域
详解：（Ⅰ）∵()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=，又当0x >时，()()()log 4a g x f x ax ==- ∴当0x <时，0x ->，∴()()()()log 4a g x g x f x ax =-=-=+， 所以当0x <时，()()log 4a g x ax =+. （Ⅱ）因为()4u x ax =-在[]
0,2上是减函数，
要使()()log 4a f x ax =-在[]
0,2有意义，且为减函数，则需满足1
420
a a >⎧⎨-⨯>⎩
解得12a <<,∴所求实数a 的取值范围为()1,2.
点睛：本题主要考查了复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数范围。

20．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，梯形面积为S . （1）当1r =，3
2
CD =
时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记2CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.
【答案】（1729
6.193+≈；
（2）(222S r x r x =+-()0,x r ∈. 【解析】
分析：（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为222214y x r r +=，由题1r =，32CD =，则34c x =代入椭圆方程得72
c y =，
可求29
4
CB =
，由此可求求梯形ABCD 的周长. （2）由题可得c x x =，22 21c x
y r
=-()S f x =，进而得到定义域.
（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为22
2214y x r r
+=，
1r =，32
CD =
，
∴34c x =
代入椭圆方程得c y =
∴4CB ==，
所以梯形ABCD 6.193≈； （2）得c x x =，
∴2c y =
()(122222S r x r x =+=+
定义域()0,x r ∈.
点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．
21．高二某班4名同学期末考完试后，商量购买一些学习参考书准备在高三时使用，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪购买，掷出点数大于或等于5的人去图书批发市场购买，掷出点数小于5的人去网上购买，且参加者必须从图书批发市场和网上选择一家购买. （1）求这4人中至多有1人去图书批发市场购买的概率；
（2）用ξ、η分别表示这4人中去图书批发市场和网上购买的人数，记X ξη=⋅，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X . 【答案】（1）16
27
；（2）分布列见解析，()8
3
E X =
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可知，4名同学中每名同学去图书批发市场购买的概率为1
3
，然后利用互斥事件的概率加法公式和独立重复试验的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．
（1）由题意可知，4名同学中每名同学去图书批发市场购买的概率为
13
， 所以，这4人中至多有1人去图书批发市场购买的概率为4
3
14111161133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭； （2）用ξ、η分别表示这4人中去图书批发市场和网上购买的人数，记X ξη=⋅，则X 的可能取值为0、
3、4，
则()()()4
4
21170043381
P X P P ξξ⎛⎫⎛⎫===+==+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()()()3
3
1344121240313333381P X P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫===+==⋅⋅+⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2
2
24
12843327
P C ξ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
因此，随机变量X 的数学期望为()0348181273
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 22．已知函数ln (),(,0)a x
f x a R a x
=
∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a >时,对于任意正实数x ，不等式()a
f x b x
≤-
恒成立，试判断实数,a b 的大小关系. 【答案】 (1)当0a >时(0,)e 增；(,)e +∞减；当0a <时(0,)e 减；(,)e +∞增；(2)b a ≥ 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性； （2）设()()ln ,0a a x a g x f x b b x x x
+=-+=->，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为()max 0g x ≤，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数ln ()a x f x x =
，则22
ln (1ln )
(),0a a x a x f x x x x
--'==>， 令()0f x '=，解得x e =，
当0a >时，在(0,)e 上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在(,)e +∞上，()0f x '<，函数()f x 单调递减.
当0a <时，在(0,)e 上，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 在(,)e +∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
综上可得：当0a >时，函数()f x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减；当0a <时，函数()f x 在(0,)e 单调递减，在(,)e +∞单调递增.
（2）当0a >时，设()()ln ,0a a x a
g x f x b b x x x
+=-+=-> 则()2ln a x g x x -'=，令()
0g x '=，即2
ln 0a x
x -=，解得1x =， 当01x <<时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 当1x >时，()0g x '<，即()g x 单调递减， 所以()()max 1g x g a b ==-， 要使得不等式()a
f x b x
≤-
恒成立，只需()max 0g x ≤，即0a b -≤， 所以a b ≤，故实数,a b 的大小关系为a b ≤. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。