浙江高三高中数学月考试卷带答案解析

浙江高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设复数满足，则（）
A．B．C．D．
2.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．B．C．D．
4.将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）
A．B．C．D．
5.已知q是等比数列的公比，则“”是“数列是递减数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（）
A．B．C．D．
7.已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（）
A．，且
B．，且
C．与相交，且交线垂直于
D．与相交，且交线平行于
8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）
A．B．C．D．
9.设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的
最小内角为，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
10.已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
2.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则 .
3.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .
4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券要连号，那么不同的分法种数是 .
5.设当时，函数取得最大值，则 .
6.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为 .
7.在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，则点集
所表示的区域的面积是 .
三、解答题
1.在△中，内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求△面积的最大值.
2.一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球 (假设取到任何一个球的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；
(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X的分布列和数学期望.
3.如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.
4.如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问:是否存在常数，使得若存在求的值；若不存在，说明理由.
5.设函数的定义域为（0，）.
(Ⅰ)求函数在上的最小值；
(Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.
浙江高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.设复数满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，，故选A.
【考点】复数的基本运算.
2.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，所以；由可得；所以
，故选C.
【考点】集合的基本运算.
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】①是非奇非偶函数；②是偶函数；③在其单调区间上是减函数；故A、B、C都不
对；D中函数可验证其是奇函数也是增函数.
【考点】基本函数的奇偶性、单调性.
4.将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数的图像向左平移个长度单位得，该图像关于轴对称，所以这个函数为偶函数，即的最小值是.
【考点】三角函数的图像与性质
5.已知q是等比数列的公比，则“”是“数列是递减数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若“”，则可取，于是等比数列则成摆动数列而非递减数列，故不满足充分性；若“数列是递减数列”，则，于是，当时可得；当时可得，故不满足必要性.【考点】充分必要条件、等比数列的概念.
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据程序框图可得，故选A.
【考点】程序框图
7.已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（）
A．，且
B．，且
C．与相交，且交线垂直于
D．与相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】因为为异面直线，平面，平面，所以与不平行是相交，则交线分别垂直于异面直线；又直线满足，所以交线平行于.
【考点】点、线、面的位置关系.
8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，当直线通过A点时，最小值，于是代入，有，所以.
【考点】简单的线性规划.
9.设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的
最小内角为，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设P是双曲线右支上的一点，根据定义可得，又，所以
，又且，所以的最小内角为，根据余弦定理可得
，又，即代入化简可得.
【考点】双曲线的定义、解三角形的余弦定理.
10.已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，当时画出函数图象
所以使得关于的方程有三个不相等的实数根，
则需，即，又，所以，当时，故
答案选B.
【考点】分段函数、零点、函数的图象
二、填空题
1.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
【答案】
【解析】根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为1，高为2，所以体积
.
【考点】三视图、圆锥体积公式.
2.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则 .
【答案】64
【解析】由成等比数列可得：，即，解得，所以
.
【考点】等差、等比数列.
3.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .
【答案】-2
【解析】由，令，则，所以,即.
【考点】二项式定理.
4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券要连号，那么不同的分法种数是 .
【答案】96
【解析】本题采用隔板法：在1,2,3,4,5四个空隙中插入三块隔板分成四份，然后分给四个人，即.【考点】排列组合
5.设当时，函数取得最大值，则 .
【答案】
【解析】由可得其中，当时函数
取得最大值，所以.
【考点】三角函数的性质.
6.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为 .【答案】
【解析】如图所示,则又所以
，即，因为所以
.
【考点】平面向量的数量积、函数与方程的思想.
7.在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，则点集
所表示的区域的面积是 .
【答案】
【解析】如图所示，由可知,当时，；当时，,所以；考虑到可取正负，所以点所表示的区域的面积
，故.
【考点】平面向量、数量积、面积公式.
三、解答题
1.在△中，内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求△面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】(Ⅰ) 对于通过边角互化转化为角，再通过三角恒等变换即可得；(Ⅱ)利用余弦定理、基本不等式可求.
试题解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理得 2分
又，故 4分
得，又，所以. 7分
(Ⅱ) ⊿的面积
由已知及余弦定理得 10分
又.故，当且仅当时，等号成立.
因此⊿的面积的最大值为. 14分
【考点】解三角形，正余弦定理，基本不等式
2.一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任
取4个球 (假设取到任何一个球的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；
(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），
X 1234
【解析】（Ⅰ）利用排列组合、古典概率公式可求；（Ⅱ）按照分布列的取值情况求对应的概率即可.
试题解析：(Ⅰ) 设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A，则
所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为. 5分
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. 6分
，，
，， 10分
所以随机变量X的分布列是
X1234
随机变量X的数学期望. 14分
【考点】概率，分布列，期望.
3.如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；
【解析】（Ⅰ）主要利用线线垂直、线面垂直可证面面垂直；（Ⅱ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解.
试题解析：(Ⅰ)∵底面，且底面，∴ 1分
由，可得 2分
又∵，∴平面
注意到平面，∴ 3分
∵,为中点，∴ 4分
∵，平面 5分
而平面，∴ 6分
(Ⅱ)如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则 8分
10分
设平面的法向量.
则
解得 12分
取平面的法向量为则，
故平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为. 14分
【考点】立体几何面面垂直的证明；二面角.
4.如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问:是否存在常数，使得若存在求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（Ⅱ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简可求.
试题解析：(Ⅰ)由在椭圆上得,①
依题设知,则②
②代入①解得.
故椭圆的方程为. 5分
(Ⅱ)由题意可设的斜率为, 则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理,
得, 7分
设,则有④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.
所以
⑤ 11分
④代入⑤得,
又,所以.故存在常数符合题意. 15分
【考点】椭圆，根与系数关系，坐标表示.
5.设函数的定义域为（0，）.
(Ⅰ)求函数在上的最小值；
(Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.
【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)分类讨论函数的单调性
试题解析：(Ⅰ)，则时，；时，。

所以，函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数. 2分
当时，函数在[m，m+1]上是增函数,
此时；
当时，函数在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，
此时； 6分
(Ⅱ)证明：考察函数，
所以g(x)在()内是增函数，在()内是减函数.（结论1）
考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,
从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2） 10分若，由结论1及，得，与矛盾；若，由结论1及，得，与矛盾； 12分若不妨设
由结论2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因为，所以，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2. 15分
【考点】导数，函数的单调性，分类讨论.。