2019年数学选修1-1常考题2163

2019年数学选修1-1常考题
单选题（共5道）
1、命题p：∃x0＞1，使x02-2x0-3=0，则¬p为（）
A∀x＞1，x2-2x-3=0
B∀x＞1，x2-2x-3≠0
C∃x0≤1，x02-2x0-3=0
D∃x0≤1，x02-2x0-3≠0
2、已知双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，且经过点A（2，-2），则双曲线C的方程是（）
A-=1
B-=1
C-=1
D-=1
3、若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（）条．
A1
B2
C3
D4
4、曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程是
[]
A2x+y-2=0
B2x-y-2=0
Cx+y-1=0
Dx-y-1=0
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
其中真命题的个数是
[]
A4
B3
C2
D1
简答题（共5道）
6、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

7、已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex（e为自然对数的底数）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求不等式f（x）≤2的解集．
8、已知函数f(x)=x3+x2+ax+1，x∈R，a是常数．
（1）当a=-8时，求f（x）的单调区间；
（2）证明，∀a∈（-24，-10），函数f（x）在区间[-4，4]上有且仅有一个零点．
9、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

10、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

填空题（共5道）
11、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
12、已知曲线y＝(a－3)x3＋lnx存在垂直于y轴的切线，函数f(x)＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，则a的取值范围为________．
13、已知点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d 为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=______．
14、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
15、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
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1-答案：B
2-答案：tc
解：∵双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，∴设双曲线的方程为x2-4y2=m；代入点A（2，-2）得，4-16=m；故m=-12；故x2-4y2=-12；即-=1；故选D．
3-答案：tc
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，与
抛物线只有一个交点，满足题意当直线的斜率k存在时，当k=0时，可得过点（0，-1）的直线l与抛物线的对称轴平行，与抛物线y2=2x有且只有一个交点，满足条件当k≠0时，过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x相切，此时有且只有一个交点，综上可得满足条件的直线有三条故选C．
4-答案：D
5-答案：B
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1-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
2-答案：解：（1）∵f（x）=（x2+ax+a）ex
（e为自然对数的底数）．∴f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex，当a=-1时，f′（x）=（x2+x-2）ex，由f′（x）=（x2+x-2）ex＞0得x＞1或x＜-2，此时函数单调递增，由f′（x）=（x2+x-2）ex＜0得-2＜x＜1，此时函数单调递减，故函数的增区间为（1，+∞），（-∞，-2），单调递减区间为（-2，1）．（2）由（1）知，f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex，若函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex≥0，则x2+（2+a）x+2a≥0恒成立，即△=（2+a）2-8a=（a-2）2≤0，解得a=2，此时f（x）=（x2+2x+2）ex，∵f（0）=2，∴不等式f（x）≤2等价为f（x）≤f（0），∵函数f（x）单调递增，∴x≤0，故不等式的解集为（-∞，0]．
解：（1）∵f（x）=（x2+ax+a）ex
（e为自然对数的底数）．∴f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex，当a=-1时，f′（x）=（x2+x-2）ex，由f′（x）=（x2+x-2）ex＞0得x＞1或x＜-2，此时函数单调递增，由f′（x）=（x2+x-2）ex＜0得-2＜x＜1，此时函数单调递减，故函数的增区间为（1，+∞），（-∞，-2），单调递减区间为（-2，1）．（2）由（1）知，f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex，若函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex≥0，则x2+（2+a）x+2a≥0恒成立，即△=（2+a）2-8a=（a-2）2≤0，解得a=2，此时f（x）=（x2+2x+2）ex，∵f（0）=2，∴不等式f（x）≤2等价为f（x）≤f（0），∵
函数f（x）单调递增，∴x≤0，故不等式的解集为（-∞，0]．
3-答案：（1）a=-8时，f（x）=x3+x2-8x+1，x∈R，∴f′（x）=x2+2x-8，令f′（x）=0，得x1=-4，x2=2，当x＜-4时，f′（x）＞0；当-4＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为[-4，2]，单调递增区间为（-∞，-4）和（2，+∞）；
（2）（方法一）∀a∈（-24，-10），f(-4)=--4a＞-+40＞0，f(4)=+4a ＜-40＜0，因为y=f（x）在区间[-4，4]上是连续不断的曲线，且f（-4）•f （4）＜0，所以f（x）在区间[-4，4]上有零点；解f′（x）=x2+2x+a=0（a∈（-24，-10））得x1=-1-＜-4（舍去），x2=-1+∈(-4，4)，当-4＜x＜
-1+时，f′（x）＜0；当-1+＜x＜4时，f′（x）＞0；因为f（4）＜0，所以∀x∈[-1+，4]，f（x）＜0，f（x）在区间[-1+，4]上无零点；
f(-4)•f(-1+
)＜0，f（x）在[-4，-1+]上单调递减，所以f（x）在区间[-4，-1+]上有且只有一个零点，从而在区间[-4，4]上有且只有一个零点．
（方法二）f′（x）=x2+2x+a，解f′（x）=x2+2x+a=0得x1=-1-＜-4（舍去），x2=-1+∈(-4，4)；当-4＜x＜-1+时，f′（x）＜0；当-1+
＜x＜4时，f′（x）＞0；因为f(4)=+4a＜-40＜0，所以∀x∈[-1+，4]，f（x）＜0，f（x）在区间[-1+，4]上无零点．因为f（0）=1＞0，f(0)f(-1+
)＜0，所以f（x）在区间[0，-1+]上有零点．因为f（x）在[-4，-1+ ]上单调递减，所以f（x）在区间[-4，-1+]上有且只有一个零点，从
而在区间[-4，4]上有且只有一个零点．
4-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，
所求双曲线的标准方程为略
5-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
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1-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分
别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。

2-答案：(－∞，0]由已知条件可得方程y′＝3(a－3)x2＋＝0(x＞0)，即
3(a－3)x3＋1＝0有大于0的实数根，即得x3＝－＞0，解得a＜3，又由
函数f(x)＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，可得不等式f′(x)＝3x2－2ax －3≥0在[1,2]上恒成立，即得a≤在[1,2]上恒成立，由函数y＝x－在[1,2]上单调递增可得，该函数的最小值为0，∴a≤0，综上可得实数a的取值
范围为(－∞，0]．
3-答案：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（-1）=3a-2b．根据题意得 3a+2b=3a-2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．
4-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。

5-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。