2019-2020学年度福建省厦门外国语学校八年级下册期中数学模拟试卷解析版

2019-2020学年度八年级下册期中数学模拟测试卷
一、选择题
1．将函数3y x =的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( )
A ．32y x =+
B ．32y x =-
C ．3(2)y x =+
D ．3(2)y x =-
2．在Rt ABC ∆中，若斜边4AB =，则22(AC BC += )
A ．4
B ．8
C ．9
D ．16
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A ．//A
B CD ，AD B
C =
B ．AB AD =，CB CD =
C ．AB C
D =，AD BC = D ．B C ∠=∠，A D ∠=∠
4．下面哪个点在函数21y x =+的图象上( )
A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(2,2)
D ．(2,2)-
5．平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是( )
A ．6和12
B ．6和10
C ．6和8
D ．6和6
6．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(1,3)，则AC 的长是( )
A ．3
B ．22
C ．10
D ．4
7．如图，在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2AB cm =，四边形OACB 的面积为24cm ．则OC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图，在Rt ABC
∠=︒，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上∆中，90
C
称为“希波克拉底月牙”，当4
BC=时，则阴影部分的面积为()
AC=，2
A．4 B．4πC．8πD．8
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P A B C D P
→→→→→运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是()
A．B．
C．D．
10．如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共15小题，每小题4分，共24分．
11．已知函数31y x =-+的图象经过点1(1,)A y -、2(1,)B y ，则1y 2y （填“>”、“ <”、“ =” )．
12．如图，每个小正方形的边长为1，在ABC ∆中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则线段DE 的长为 ．
13．如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是 ．
14．将四根长度相等的细木条首尾相接连成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当60B ∠=︒时，如图2，测得2,90AC B =∠=︒当时，如图1，AC 的长为 ．
15．如图，直线3y x =和2y kx =+相交于点(,3)P a ，则关于x 不等式(3)2k x -…的解集为 ．
16．在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点B '与点B 关于AE 对称，B B '与AE 交于点F ，连接AB '，DB '，FC ．下列结论：
①AB AD '=；②FCB ∆'为等腰直角三角形；③75ADB ∠'=︒；④135CB D ∠'=︒． 其中正确的序号是 ．
17．已知一次函数y kx b =+与21y x =+平行，且经过点(2,0)，求次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数的图象．
18．已知：如图，点E 、F 分别为ABCD Y 的边BC 、AD 上的点，
且12∠=∠，求证：AE CF =．
19．如图，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，12AD =，13BD =，试判断ABD ∆的形状，并说明理由．
20．已知：如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ．
求证：四边形BCFE 是菱形．
21．在甲村至乙村间有一条公路，在C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ⊥，如图所示，为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
22．如图，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．(0,)P m 是线段OC 上一动点(C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．
（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）当APD ∆是以AP 为腰的等腰三角形时，求m 的值．
23．（1）如图（1），在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足分别为BF CD ⊥，求证：AE CF =．
（2）如图（2），在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，请探究：2AC ，2AB ，2BD ，2BC 之间的数量关系，并证明你的结论．
24．在平面直角坐标系xOy 中，对于与坐标轴不平行的直线l 和点P ，给出如下定义：过点p 作x 轴和y 轴的垂线，分别交直线l 于点M 、N ，若4PM PN +…，则称P 为直线l 的近距点，特别地，直线上l 所有的点都是直线l 的近距点． 已知点(2A -，0)，当直线l 的表达式为y x =时，
（1）试判断点A 是直线l 的近距点吗？请说明理由
（2）若以OA 为边的矩形OAEF 上所有的点都是直线l 的近距点，求点E 的纵坐标n 的取值范围．
25．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ，设AP x
=．
（1）若点P是AD边上的一个动点，
①如图1，当点Q落在对角线BD上时，求x的值；
②如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且90
∆的面积；
CQD
∠=︒，求PDE
（2）若点P是射线AD上的一个动点，当1
CQ=时，求x的值．
参考答案
一、选择题
1．将函数3y x =的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( )
A ．32y x =+
B ．32y x =-
C ．3(2)y x =+
D ．3(2)y x =-
【分析】根据“上加下减”，即可找出平移后的函数关系式，此题得解．
解：根据平移的性质可知：平移后的函数关系式为32y x =+．
故选：A ．
2．在Rt ABC ∆中，若斜边4AB =，则22(AC BC += )
A ．4
B ．8
C ．9
D ．16
【分析】利用勾股定理求出22AC BC +即可．
解：Q 在Rt ABC ∆中，斜边4AB =，
2216AC BC ∴+=，
故选：D ．
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A ．//A
B CD ，AD B
C =
B ．AB AD =，CB CD =
C ．AB C
D =，AD BC = D ．B C ∠=∠，A D ∠=∠
【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
解：A 、
根据//AD CD ，AD BC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项错误； B 、根据AB AD =，BC CD =，不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项错误； C 、根据AB CD =，AD BC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，故本选项正确； D 、根据B C ∠=∠，A D ∠=∠不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项错误；
故选：C ．
4．下面哪个点在函数21y x =+的图象上( )
A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(2,2)
D ．(2,2)-
【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点． 解：A 、将(1,3)代入解析式21y x =+得，2113⨯+=，故本选项正确； B 、将(1,3)-代入解析式21y x =+得，21313⨯-=-≠-，故本选项错误； C 、将(2,2)代入解析式21y x =+得，22152⨯+=≠，故本选项错误； D 、将(2,2)-代入解析式21y x =+得，22132-⨯+=-≠，故本选项错误； 故选：A ．
5．平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是( )
A ．6和12
B ．6和10
C ．6和8
D ．6和6
【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OB 与OC 的长，然后根据三角形的三边关系，即可求得答案．
解：如图：Q 四边形ABCD 是平行四边形， 12OA OC AC ∴==，12
OB OD BD ==， 若8BC =，
根据三角形三边关系可得：||8OB OC OB OC -<<+．
A 、6和12，则3698O
B O
C +=+=>，6338OB OC -=-=<，能组成三角形，故本选项符合题意；
B 、6和10，则358OB O
C +=+=，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C 、6和8，则3478OB OC +=+=<，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D 、6和6，则3368OB OC +=+=<，不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：A ．
6．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(1,3)，则AC 的长是( )
A ．3
B ．22
C ．10
D ．4
【分析】根据勾股定理求出OB ，根据矩形的性质得出AC OB =，即可得出答案． 解：
连接OB ，过B 作BM x ⊥轴于M ，
Q 点B 的坐标是(1,3)，
1OM ∴=，3BM =，由勾股定理得：221310OB =+=，
Q 四边形OABC 是矩形，
AC OB ∴=，
10AC ∴=，
故选：C ．
7．如图，在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2AB cm =，四边形OACB 的面积为24cm ．则OC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【分析】根据作法判定出四边形OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：根据作图，AC BC OA ==，
OA OB =Q ，
OA OB BC AC ∴===，
∴四边形OACB 是菱形，
2AB cm =Q ，四边形OACB 的面积为24cm ， ∴112422AB OC OC =⨯⨯=g ， 解得4OC cm =．
故选：C ．
8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4AC =，2BC =时，则阴影部分的面积为( )
A ．4
B ．4π
C ．8π
D ．8
【分析】根据勾股定理得到222AB AC BC =+，根据扇形面积公式计算即可． 解：由勾股定理得，22220AB AC BC =+=， 则阴影部分的面积2221111()()()2222222AC BC AB AC BC πππ=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 22211124()224
AC BC AB π=⨯⨯+⨯⨯⨯+- 4=，
故选：A ．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P A B C D P →→→→→运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是( )
A．B．
C．D．
【分析】将动点P的运动过程划分为PA、AB、BC、CD、DP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
解：动点P运动过程中：
①当
1
2
s
剟时，动点P在线段PA上运动，此时2
y=保持不变；
②当13
22
s
<„时，动点P在线段AB上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当35
22
s
<„时，动点P在线段CB上运动，此时1
y=保持不变；
④当57
22
s
<„时，动点P在线段CD上运动，此时y由1到2逐渐增大；
⑤当7
4
2
s
<„时，动点P在线段DP上运动，此时2
y=保持不变．
结合函数图象，只有D选项符合要求．
故选：D．
10．如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据含30︒角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30︒，从而判断出答案．
解：
设正方形的边长为a ，
在图①中，由折叠知，BC BD a ==，1
2
AB a =
， 在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得，3
AC =
， 23
CF AF AC -∴=-=
， 设CE ED x ==，则1
2
EF a x =
-， 在Rt CEF ∆中，22
2123())2a x x --+=， 23x ∴=23CE ED ∴==，
在Rt BDE ∆中，tan 23DE
DBE BD
∠=
=-故30DBE CBE ∠=∠<︒，故ECB ∆，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图②中，1
2
BC a =
，AC AE a ==， 故30BAC ∠=︒，
从而可得30CAD EAD ∠=∠=︒，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图③中，1
2
AC a =
，AB a =， 故30ABC DBC ∠=∠≠︒，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图④中，14AE a =
，1
2
AB AD a ==， 故30ABE ∠=︒，60EAB ∠=︒，
从而可得60BAC DAC ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
综上可得有2个满足条件．
故选：C ．
二、填空题：本大题共15小题，每小题4分，共24分．
11．已知函数31y x =-+的图象经过点1(1,)A y -、2(1,)B y ，则1y > 2y （填“>”、“ <”、“ =” )．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可分别求出1y ，2y 的值，比较后即可得出结论． 解：当1x =-时，1314y x =-+=， 当1x =时，2312y x =-+=-． 42>-Q ， 12y y ∴>．
故答案为：>．
12．如图，每个小正方形的边长为1，在ABC ∆中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则线段DE 的长为
17
2
．
【分析】首先依据勾股定理求得BC 的长，然后再依据三角形的中位线定理求解即可． 解：由勾股定理可知：221417BC =+=． Q 点D 、E 分别为AB 、AC 的中点， 117
22
DE BC ∴=
=
． 故答案为：
17
2
． 13．如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是
51- ．
【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示1-的点和A 之间的线段的长，进而可推出A 的坐标．
解：图中直角三角形的两直角边为1，2， ∴斜边长为22125+=，
那么1-和A 之间的距离为5， 那么a 的值是：15-+．
14．将四根长度相等的细木条首尾相接连成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当60B ∠=︒时，如图2，测得2,90AC B =∠=︒当时，如图1，AC 的长为 2 ．
【分析】图2中证明ABC ∆为等边三角形，得出2AB BC AC ===；图1中，证明四边形ABCD 是正方形，由勾股定理即可得出答案．
解：如图2，连接AC ，
AB BC CD DA ===Q ，60B ∠=︒，
∴四边形ABCD 是菱形，ABC ∆为等边三角形，
2AC AB BC ∴===
如图1，连接AC ，
AB BC CD DA ===Q ，90B ∠=︒， ∴四边形ABCD 是正方形，
2AB BC ∴==，
则222AB BC AC +=，
2
2(2)(2)2AC ∴=+=， 故答案为：2．
15．如图，直线3y x =和2y kx =+相交于点(,3)P a ，则关于x 不等式(3)2k x -„的解集为
1x „ ．
【分析】先把点(,3)P a 代入直线3y x =求出a 的值，故可得出P 点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
解：Q 直线3y x =和直线2y kx =+的图象相交于点(,3)P a ， 33a ∴=，解得1a =，
(1,3)P ∴，
由函数图象可知，当1x „时，直线3y x =的图象在直线2y kx =+的图象的下方
即当1x „时，23kx x +…
，即：(3)2k x -„． 故答案为：1x „．
16．在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点B '与点B 关于AE 对称，B B '与AE 交于点F ，连接AB '，DB '，FC ．下列结论：
①AB AD '=；②FCB ∆'为等腰直角三角形；③75ADB ∠'=︒；④135CB D ∠'=︒． 其中正确的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据轴对称图形的性质，可知ABF ∆与△AB F '关于AE 对称，即得AB AD '=； ②连接EB '，根据E 为BC 的中点和线段垂直平分线的性质，求出BB C ∠'为直角三角形； ③假设75ADB ∠'=︒成立，则可计算出60AB B ∠'=︒，推知ABB ∆'为等边三角形，
B B AB B
C '==，与B B BC '<矛盾；
④根据ABB AB B ∠'=∠'，AB D ADB ∠'=∠'，结合周角定义，求出DB C ∠'的度数． 解：①Q 点B '与点B 关于AE 对称， ABF ∴∆与△AB F '关于AE 对称， AB AB ∴='， AB AD =Q ，
AB AD ∴'=．故本选项正确；
②如图，连接EB '，
则BE B E EC ='=， FBE FB E ∠=∠'， EB C ECB ∠'=∠'．
则90FB E EB C FBE ECB ∠'+∠'=∠+∠'=︒， 即△BB C '为直角三角形． FE Q 为BCB ∆'的中位线， 2B C FE ∴'=，
Q △B EF '∽△AB F '，
∴FE EB FB AB
'
=
''
，
即
1
2 FE EB
FB AB
==
'
，
故2
FB FE
'=．
B C FB
∴'='．
FCB
∴∆'为等腰直角三角形．
故本选项正确．
④设ABB AB B x
∠'=∠'=度，
AB D ADB y
∠'=∠'=度，
则在四边形ABB D
'中，2290360
x y
++︒=︒，
即135
x y
+=度．
又90
FB C
∠'=︒
Q，
36013590135
DB C
∴∠'=︒-︒-︒=︒．
故本选项正确．
③假设75
ADB
∠'=︒成立，
则75
AB D
∠'=︒，
360135759060
ABB AB B
∠'=∠'=︒-︒-︒-︒=︒，
ABB
∴∆'为等边三角形，
故B B AB BC
'==，与B B BC
'<矛盾，
故本选项错误，
故答案为：①②④．
17．已知一次函数y kx b
=+与21
y x
=+平行，且经过点(2,0)，求次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数的图象．
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出函数图象与坐标轴的交点坐标，连点成线即可画出函数图象．
解：Q一次函数y kx b
=+与21
y x
=+平行，
2
k
∴=，
将(2,0)代入2
y x b
=+，得：220
b
⨯+=，
解得：4b =-，
∴此函数的解析式为24y x =-．
当0x =时，4y =-，
∴一次函数图象与y 轴交于点(0,4)-；
Q 一次函数图象与x 轴交于点(2,0)．
画出函数图象，如图所示．
18．已知：如图，点E 、F 分别为ABCD Y 的边BC 、AD 上的点，
且12∠=∠，求证：AE CF =．
【分析】证明()ABE CDF AAS ∆≅∆，即可得出结论． 【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，B D ∠=∠，
在ABE ∆和CDF ∆中，12B D
AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE CDF AAS ∴∆≅∆， AE CF ∴=．
19．如图，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，12AD =，13BD =，试判断ABD ∆的形状，并说明理由．
【分析】先在ABC ∆中，根据勾股定理求出2AB 的值，再在ABD ∆中根据勾股定理的逆定理，判断出AD AB ⊥，即可得到ABD ∆为直角三角形． 解：ABD ∆为直角三角形．理由如下： Q 在ABC ∆中，90C ∠=︒， 222222435AB CB AC ∴=+=+=，
∴在ABD ∆中，2222251213AB AD +=+=，
222AB AD BD ∴+=，
ABD ∴∆为直角三角形．
20．已知：如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ． 求证：四边形BCFE 是菱形．
【分析】由题意易得，EF 与BC 平行且相等，∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF BE =，∴四边形BCFE 是菱形．
解：2BE DE =Q ，EF BE =， 2EF DE ∴=．
D Q 、
E 分别是AB 、AC 的中点， 2BC DE ∴=且//DE BC ． E
F BC ∴=．
又//EF BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形．
又EF BE =，
∴四边形BCFE 是菱形．
21．在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA CB
⊥，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
【分析】过C作CD AB
⊥于D．根据400
BC=米，300
AC=米，90
ACB
∠=︒，利用根据
勾股定理有500
AB=米．利用
11
22
ABC
S AB CD BC AC
∆
==
g g得到240
CD=米．再根据240
米250
<米可以判断有危险．
解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD AB
⊥于D．
因为400
BC=米，300
AC=米，90
ACB
∠=︒，所以根据勾股定理有500
AB=米．
因为
11
22
ABC
S AB CD BC AC ∆
==
g g
所以
400300
240
500
BC AC
CD
AB
⨯
===
g
（米)．
由于240米250
<米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
22．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．(0,)
P m是线段OC上一动点(C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当APD
∆是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）证明Rt PMC Rt DMB ∆≅∆，即可证明2DB m =-，4AD m =-，从而求解；
（2）分AP AD =，PD PA =，两种情况，根据勾股定理即可求解． 解：（1）由题意得CM BM =，
PMC DMB ∠=∠Q ，
Rt PMC Rt DMB ∴∆≅∆，
DB PC ∴=，
2DB m ∴=-，4AD m =-，
∴点D 的坐标为(2,4)m --．
（2）分三种情况
①若AP AD =，则224(4)m m +=-，解得32
m =； ②若PD PA =
过P 作PF AB ⊥于点F （如图），
则11(4)22
AF FD AD m ===- 又OP AF =Q ，
1(4)2m m ∴=-则43
m =．
综上所述，当APD ∆是等腰三角形时，m 的值为32或43
． 23．（1）如图（1），在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足分别为BF CD ⊥，求证：AE CF =．
（2）如图（2），在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，请探究：2AC ，2AB ，2BD ，2BC 之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，判定Rt AED Rt CFB ∆≅∆，即可得到AE CF =；
（2）分别过A ，D 作AE BC ⊥交CB 延长线于E ，DF BC ⊥于F ．根据勾股定理可得：222()AC AE BE BC =++①，222AE AB BE =-②，222()BD DF BC CF =+-③，222DF DC CF =-④，②代①，④代③，两式相加即可得到结论；
【解答】（1）证明：Q 平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥，BF CD ⊥， AD CB ∴=，DE BF =，90AED CFB ∠=∠=︒，
在Rt AED ∆和Rt CFB ∆中，AD BC DE BF =⎧⎨=⎩
， Rt AED Rt CFB(HL)∴∆≅∆，
AE CF ∴=；
（2）解：22222()AC BD AB BC +=+；理由如下：
分别过A ，D 作AE BC ⊥交CB 延长线于E ，DF BC ⊥于F ．如图2所示： 根据勾股定理可得：222()AC AE BE BC =++①，222AE AB BE =-②， 222()BD DF BC CF =+-③，222DF DC CF =-④，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AB DC ∴=，
又AE BC ⊥Q ，DF BC ⊥，
90AEB DFC ∴∠=∠=︒，AE DF =，在Rt AEB ∆和Rt DFC ∆中，AB DC AE DF =⎧⎨=⎩
，
Rt AEB Rt DFC(HL)∴∆≅∆，
BE CF ∴=，而AB DC =，
把②代①，④代③，可得：2222()AC AB BE BE BC =-++
2222()BD DC CF BC CF =-+-
两式相加，可得：22222()AC BD AB BC +=+．
24．在平面直角坐标系xOy 中，对于与坐标轴不平行的直线l 和点P ，给出如下定义：过点p 作x 轴和y 轴的垂线，分别交直线l 于点M 、N ，若4PM PN +…，则称P 为直线l 的近距点，特别地，直线上l 所有的点都是直线l 的近距点． 已知点(2A -，0)，当直线l 的表达式为y x =时，
（1）试判断点A 是直线l 的近距点吗？请说明理由
（2）若以OA 为边的矩形OAEF 上所有的点都是直线l 的近距点，求点E 的纵坐标n 的取值范围．
【分析】（1）根据P 为直线l 的近距点的定义即可判断；
（2）当4PM PN +=时，可知点P 在直线1:2l y x =+，直线2:2l y x =-上．所以直线l 的
近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．如图1，EF 在OA 上方，当点E 在直线1l 上时，n 的值最大，为22． 如图2，EF 在OA 下方，当点F 在直线2l 上时，n 的值最小，为2-． 当0n =时，EF 与AO 重合，矩形不存在．由此即可判断； 解：（1）根据直线l 的近距点可知A 是直线y x =的近距点，
Q 过点A 作x 轴和y 轴的垂线，分别交直线l 于点(2M -2)-、(0,0)N ， 2AM ∴=，2AN =
24AM AN ∴+=<
∴点A 是直线l 的近距点；
（2）当4PM PN +=时，可知点P 在直线1:2l y x =+，直线2:2l y x =-上． 所以直线l 的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点． 如图1，EF 在OA 上方，当点E 在直线1l 上时，n 的值最大，为22-+．
如图2，EF 在OA 下方，当点F 在直线2l 上时，n 的值最小，为2-．
当0n =时，EF 与AO 重合，矩形不存在．
综上所述，n 的取值范围是222n --剟
，且0n ≠． 25．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ ，设AP x =．
（1）若点P 是AD 边上的一个动点，
①如图1，当点Q 落在对角线BD 上时，求x 的值；
②如图2，若PQ 的延长线交CD 边于点E ，并且90CQD ∠=︒，求PDE ∆的面积；
（2）若点P 是射线AD 上的一个动点，当1CQ =时，求x 的值．
【分析】（1）①根据点Q 落在对角线BD 上，可知：90A BQP DQP ∠=∠=∠=︒，根据DQP ∠是等腰直角三角形得DQ PQ =，得x 的值为21-；
②如图2，先根据等腰三角形的判定得：EQ EC =，同理可得：EQ DE =，根据勾股定理
得：222PD DE PE +=，则22211(1)()()22
x x -+=+，可计算x 的值，根据三角形的面积公式可得结论；
（2）如图3，作辅助线，构建30度的直角三角形，先计算BG 的长，证明四边形AGHP 是矩形，得312
PH AG ==+
，最后根据30度的直角三角形的性质可得PQ 的长，从而得x 的值．
解：（1）如图1，Q 点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，
AP PQ x ∴==，1AB BQ ==，90A BQP ∠=∠=︒，
Q 点Q 落在对角线BD 上，
90DQP ∴∠=︒，
Q 正方形ABCD 的边长为1，
1PD x ∴=-，2BD =，
21DQ ∴=-，
Rt PQD ∆中，45BDP ∠=︒，
PQ DQ ∴=，
即21x =-；
②如图2，由对称得：90BQP A ∠=∠=︒，
90BQE ∴∠=︒，
90CQD ∠=︒Q ，
90DQE CQE CQE BQC ∴∠+∠=∠+∠=︒， DQE BQC ∴∠=∠，
AB BQ BC ==Q ，
BQC BCQ ∴∠=∠，
90BCD ∠=︒Q ，
ECQ EQC ∴∠=∠，
EQ EC ∴=，
同理可得：EQ DE =，
12
DE EC EQ ∴===， AP PQ x ==Q ，1PD x =-，
Rt PDE ∆中，222PD DE PE +=，
22211(1)()()22
x x -+=+ 13
x =， 12133PD ∴=-
=，
1112122236
PDE S DE PD ∆∴==⨯⨯=g ； （2）如图3，过Q 作//GH AD ，交AB 的延长线于G ，过P 作PH GH ⊥于H ，
1BQ AB CQ BC ====Q ，
BQC ∴∆是等边三角形，
60QBC ∴∠=︒，
90ABC ∠=︒Q ，
180906030QBG ∴∠=︒-︒-︒=︒，
12
GQ ∴=，3BG = 90A G H ∠=∠=∠=︒Q ，
∴四边形AGHP 是矩形，
31PH AG ∴==+， 180180906030PQH PQB BQG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒Q ， 223PQ PH ∴==+，
AP PQ =Q ，
23x ∴=．。