新教材北师大版高中数学必修第一册2.3函数的单调性和最值 学案(知识点汇总及配套习题)

2.3 函数的单调性和最值
1、函数的单调性 (1)
2、函数的最大(小)值 (9)
1、函数的单调性
学习目标核心素养
1．理解函数单调区间、单调性等概念．(重点)
2．会划分函数的单调区间，判断单调性．(重点、易混点)
3．会用定义证明函数的单调性．(难点)1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养．2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养.
1．增函数、减函数的概念是什么？
2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
3．增函数、减函数的图象有什么特点？
4．所有函数都具有单调性吗？
知识点1 增函数、减函数的概念
一般地，在函数y＝f(x)定义域内的一个区间D上，如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间D上是增函数或递增的；如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间D上是减函数或递减的．
定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？
[提示]不能．
1.下列命题中真命题的个数为( )
①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x
1
)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数；
②如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)
在区间I 1和I 2上就一定是减函数；
③∀x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，当f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0时，f (x )在(a ，b )
上为减函数；
④∀x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，当(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0时，f (x )在(a ，b )上是增函数；
⑤∃x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，f (x 1)≥f (x 2)成立，则函数f (x )在(a ，b )上不是增函数．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 由f (x )＝1
x
，可知②是假命题；
∵
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0等价于[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0，而此式又等价于
⎩⎨
⎧
f x 1－f x 2>0，
x 1－x 2<0
或⎩⎨
⎧ f x 1－f x 2<0，
x 1－x 2>0，
即⎩⎨⎧
f x 1>f x 2，
x 1<x 2
或⎩⎨
⎧
f x 1<f x 2，
x 1>x 2，
∴f (x )在(a ，b )上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题． 若要说明函数f (x )在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x 1，x 2，证明当x 1<x 2时，f (x 1)≥f (x 2)(f (x 1)≤f (x 2))成立即可，故⑤是真命题．]
2.下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都
有f (x 1)>f (x 2)的是________(填序号)．
①f (x )＝x 2; ②f (x )＝1
x
；
③f (x )＝|x |; ④f (x )＝2x ＋1. [答案] ②
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增函数或减函数，那么就称函数y ＝f (x )在
区间A 上具有单调性，区间A 为函数y ＝f (x )的单调区间．
(1)区间A 一定是函数的定义域吗？ (2)函数y ＝1
x
在定义域上是减函数吗？
[提示] (1)不一定，可能是定义域的一部分．
(2)y ＝1
x
在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，
＋∞)．
3.(1)函数y ＝－x 2＋x ＋2的单调递增区间是________． (2)函数f (x )＝－x 2－2x 的单调递增区间是________． [答案] (1)⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，12 (2)(－∞，－1]
类型1 函数单调性的判定与证明
【例1】 求证：函数f (x )＝1
x
2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是
增函数．
[证明] 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，
有f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1
x 22＝x 22－x 2
1
x 21x 22
＝
x 2－x 1
x 2＋x 1
x 21x 22
.
∵x 1<x 2<0，
∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 2
2>0.
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝1
x
2在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有
f (x 1)－f (x 2)＝x 2－x 1
x 2＋x 1
x 21x
22
.
∵0<x 1<x 2，
∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 2
2>0.
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1
x
2在(0，＋∞)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[跟进训练]
1．判断并证明函数f (x )＝－1
x
＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解] 函数f (x )＝－1
x
＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，
由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，
于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1
x
＋1在(0，＋∞)上是增函数．
类型2 求函数的单调区间
【例2】 画出函数y ＝－x 2
＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间． [解] y ＝－x 2
＋2|x |＋3＝⎩⎨
⎧
－x －12＋4，x ≥0，－
x ＋1
2
＋4，x <0.
函
数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数
在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
[解]函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调减
区间为(－∞，－1]，[1,3].
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟进训练]
2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是________．
[－1.5,3]和[5,6][由图象知单调增区间为[－1.5,3]和[5,6]．]
3．求函数f(x)＝
1
x－1
的单调减区间．
[解]函数f(x)＝
1
x－1
的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则
f(x
1)－f(x2)＝
1
x
1
－1
－
1
x
2
－1
＝
x
2
－x1
x
1
－1x2－1
.
因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，同理函数f(x)在(1，＋∞)上也是减函数．
综上，函数f (x )的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 类型3 函数单调性的应用
【例3】 (1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________；
(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数
a 的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.
∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]
1．(变条件)若本例(1)的函数f (x )的单调增区间为(－∞，3]，求a 的值． [解] 由题意知－a －1＝3，即a ＝－4.
2．(变条件)若本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2， 即a ≤－3或a ≥－2.
∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
3．(变条件)若本例(2)的函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x 的范围．
[解]
由题意可知，⎩⎨⎧
2x －3>0，
5x －6>0，
2x －3<5x －6，
解得x >3
2
.
∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞.。