【创新设计】2022-2021学年高二数学人教B版必修5章末检测：第二章 数列

章末检测
一、选择题
1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，假如a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．672
答案 D
解析 由2 014＝1＋3(n －1)，解得n ＝672.
2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2
n －1(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2 答案 A
解析 由递推关系式得
a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.
3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
答案 A 解析
∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝4
2
2＝1. 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176
答案 B
解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×16
2
＝88.
5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 答案 B
解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2
q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3
＝120.
6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )
A ．－2 013
B ．－1 007
C ．2 013
D ．1 007
答案 B
解析 S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.
7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－2
答案 C
解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.
8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开头为负数，则它的公差是( ) A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6 答案 C
解析 由题意，知a 6≥0，a 7＜0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，
∴－235≤d ＜－23
6
.
∵d ∈Z ，∴d ＝－4.
9．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0
C ．S 9>S 5
D ．S 6与S 7均为S n 的最大值
答案 C
解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12 D ．(1＋q )12－1 答案 D
解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为：
S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12， 第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1， ∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2
S 1－1＝(1＋q )12－1.
二、填空题
11．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为________． 答案 2
解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.
12．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63
解析 由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3
a 1
＝4，q ＝2
代入等
比求和公式得S 6＝63.
13．假如数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 答案 2n －
1
解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N ＋.
14．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案
5－1
2
解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1
q 2＝5－12
. 三、解答题
15．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .
解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧
(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，
a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
d ＝－2.
因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．
16．已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N ＋)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：
1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1
a n ＋1－a n
<1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d ，由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ， 则d ＝1.
所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.
(2)证明 由于
1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝1
2
n ，
所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×
121－
12＝1－1
2n <1.
17．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1
a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.
解 (1)设等比数列的公比为q ，由a 1a 2a 3＝125，得a 2＝5，又a 2|q －1|＝10， ∴q ＝－1或3, 所以数列{a n }的通项a n ＝5·(－1)n －2或a n ＝5×3n －2. (2)不存在．
理由：若q ＝－1，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝－1
5或0，不存在满足题意的正整数m ；
若q ＝3，则1a 1＝35，1q ＝1
3，
1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝910[1－(13)m ]<910
， 综上可知，不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1
a m ≥1.
18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n
2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n
2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.
∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n
2n －1＝b n ＝n .
∴a n ＝n ·2n －1.
∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2得： 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，
两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。