2021_2022学年高中数学第2章参数方程122.1直线的参数方程课件北师大版选修4_4

1弦 AB 的长|AB|＝|t1－t2|. 2线段 AB 的中点 M 对应的参数 论使用.
解题时可以作为基本结
3．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两 个坐标系取相等的单位长度．已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6.
(1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 ρ＝2 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离 之积．
段 P→M的长度；
当 a2＋b2≠1 时，参数方程的标准形式为
x＝x0＋
y＝y0＋
a a2＋b2
b a2＋b2
a2＋b2t， a2＋b2t，
其中 a2＋b2t 具有标准参数方程
中参数的几何意义．
3．当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？
[提示] 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线 段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数 t 的几何 意义求解，比利用直线 l 的普通方程来解决更为方便．
填空：
(1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________．
(2)参数方程xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
20°， 20°
(t 为参数)表示的直线的倾斜角是
________．
[解析]
x＝tcos 60°， (1)y＝tsin 60°，
即x＝12t， y＝ 23t
(t 为参数)．
AB＝2atan θ， ∴xy＝ ＝22aactaons2θθ， (θ 为参数)， 这就是所求的点 M 的参数方程．
求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解 析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间 的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、 比值等)，使变量 x，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参 数方程．
[答案] D
2．曲线xy＝ ＝－ 1－2＋ 2t 5t， (t 为参数)与坐标轴的交点是(
)
A.0，25，12，0 C．(0，－4)，(8,0)
B．0，15，12，0 D．0，59，(8,0)
[解析] 当 x＝－2＋5t＝0 时，解得 t＝25，可得 y＝1－2t＝15，当 y＝1－2t＝0 时，解得 t＝12，可得 x＝－2＋5t＝12，∴曲线与坐标轴的 交点坐标为0，15，12，0.
(2)√ 在参数方程中，参数与 x，y 存在函数关系． (3)× x＝2 时，2＝2×t 得 t＝1，而 y＝1 时 t＝0≠1，故点(2,1) 不在曲线上．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
教材整理 2 直线的参数方程
1．经过点 P(x0，y0)，倾斜角是 α 的直线的参数方程为
x＝_x_0_＋__tc_o_s_α_， y＝__y0_＋__t_s_in_α__
2．直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0， y0)，斜率为ba时的直线参数方程怎样？
[提示] 直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同， 过定点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝＝xy00＋＋abtt， (a，b 为常数，t 为参数)．
当 a2＋b2＝1 时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线
(λ 为参数，λ≠－1)．
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 λ 的几何意义与参数方
程①中的 t 显然不同，它所反映的是__动__点___M__分__有__向__线__段__Q→_P__的__数___
__量__比__QM_MP___.
当 λ＞0 时， M为内点 ； 当 λ＝0 时， 点M与Q重合 ．
则x＝4kp2 ＋24pk2＝2pk12＋k2， y＝2p1k－k
(k 为参数)，
消去 k 得中点 P 的轨迹方程为 y2＝2p(x－4p)(p＞0).
求直线的参数方程
【例 2】 已知直线 l 过(3,4)，且它的倾斜角 θ＝120°. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)求直线 l 与直线 x－y＋1＝0 的交点． [精彩点拨] 根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角 θ＝120°.代入
【例 3】 如图所示，已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，直线 l 和抛物线 y2＝2x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求：
(1)P，M 间的距离|PM|； (2)点 M 的坐标； (3)线段 AB 的长|AB|.
[精彩点拨] 先求得直线 l 的参数方程的标准形式，然后代入抛 物线方程，得到关于参数 t 的一元二次方程，再利用参数 t 的几何意 义，逐个求解．
1．过抛物线 y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦 OA，OB， 求 AB 中点 P 的轨迹方程．
[解] 设 OA 的斜率为 k(k≠0)， 则yy2＝＝k4xp，x， 解得 A 点坐标为4kp2 ，4kp. 由y＝－1kx， 解得 B 点坐标为(4pk2，－4pk)．
y2＝4px， 设 AB 的中点为 P(x，y)，
(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为 20°.
[答案]
x＝12t，
(1) y＝
3 2t
(t 为参数) (2)20°
合作探究 提素养
求动点轨迹的参数方程
【例 1】 如图所示，OA 是定圆的直径， 长 2a，直线 OB 与圆交于 M1，和过 A 点的切 线交于点 B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1 与 MB 交于点 M，与 OA 交于点 C，以 O 为原点， OA 为 x 轴的正半轴，求动点 M 轨迹的参数方 程．
[解] (1)直线 l 的参数方程为
x＝1＋tcosπ6，
y＝1＋tsinπ6，
即x＝1＋ 23t， y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)圆 ρ＝2 的普通方程为 x2＋y2＝4.
把直线x＝1＋ 23t， y＝1＋12t
代入 x2＋y2＝4，
得1＋
23t2＋1＋12t2＝4.
整理得 t2＋( 3＋1)t－2＝0，
由 t 的几何意义，知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
直线参数方程的应用
[探究问题]
1．直线参数方程xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(α 为参数)中参数的几何意义
怎样理解？
[提示] 直线参数方程中参数 t 表示直线上以定点 P 为起点，任
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
得该直线的参数方程．然后与
x－y＋1＝0 联立可
求得交点．
[尝试解答] (1)直线 l 的参数方程为
x＝3＋tcos 120°， y＝4＋tsin 120°
(t 为参数)，
即x＝3－12t，
y＝4＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)把xy＝ ＝34－ ＋122t3，t，
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t，
y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t 为参数)．
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16＝0.
把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得
4－3－
23t2＋3＋12t2－16＝0，
即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0.
[精彩点拨] 引入弦 OM1 与 x 轴的夹角 θ 为参数，由解三角形知 识将动点 M(x，y)的坐标 x，y 分别用角 θ 表示，从而得到轨迹的参数 方程．
[尝试解答] 设点 M 的坐标为 M(x，y)，弦 OM1 与 x 轴的夹角是 θ，取 θ 为参数，连结 AM1，则有 AM1⊥OM1，OC＝2acos θ·cos θ＝ 2acos2 θ，
代入 x－y＋1＝0，
得 3－12t－4－ 23t＋1＝0，得 t＝0.
把
t＝0
代入x＝3－12t， y＝4＋ 23t，
得两直线的交点为(3,4)．
求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用
xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t 为 参 数 ) 求 ； 若 已 知 两 个 定 点 ， 利 用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有
实际意义的变数．( )
(2)参数与变量 x，y 间存在函数关系．( )
(3)点 M(2,1)在曲线xy＝ ＝2t2t＋，1 (t 为参数)上．(
)
[解析] (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可 以是没有实际意义的变数．
(t 为参数)．①
其 中 M(x ， y) 为 直 线 上 的 任 意 一 点 ， 参 数 t 的 几 何 意 义 是
_从__点__P__到__M_的__位__移____，可以用__有__向__线__段__P_→M__的__数__量____来表示．
2．经过两个定点 Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数 方程为
一点 M(x，y)为终点的有向线段 P→M的数量，当点 M 在点 P 上方时，
t＞0；当点 M 在 P 的下方时，t＜0；当点 M 与 P 重合时，t＝0.我们 也可以把参数 t 理解为以 P 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数 轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同．
[尝试解答] (1)∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，设直线 l 的倾斜 角为 α，则
tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为
x＝2＋35t，
y＝45t
(t 为参数)．(*)
∵直线 l 和抛物线相交，∴将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2＝2x 中，整理得
y＝54×1156＝34， 即M1461，34.
(3)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝58 73.
在求直线 l 与曲线 C：fx，y＝0 的交点间的距离时，把直线 l
的参数方程
代入 fx，y＝0，可以得到一个关于 t 的方程
fx0＋tcos α，y0＋tsin α＝0.假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t 的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
第二章 参数方程
§1 参数方程的概念 §2 直线和圆锥曲线的参数方程
2.1 直线的参数方程
学习目标：1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参 数写出直线的参数方程．(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关 问题．(难点)
自主预习 探新知
教材整理 1 参数方程的概念 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)
x＝x11＋＋λλx2， y＝y11＋＋λλy2
(λ 为参数，λ≠－1)求．
2．设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为56π.
(1)写出直线 l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线
C：xy＝ ＝24csions
θ， θ
(θ 为参数)交于 A，B 两点，
求|PA|·|PB|.
[解] (1)直线 l 的参数方程为
8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为 t1，t2，由根与系数的关系得 t1＋t2 ＝185，t1t2＝－245. 由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得 |PM|＝t1＋2 t2＝1156.
(2)因为中点M所对应的参数为tM＝1156， 将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， 得x＝2＋35×1156＝4116，
[答案] B
3．过点 P(－4,0)，倾斜角为56π的直线的参数方程为________． [解析] ∵直线 l 过点 P(－4,0)，倾斜角 α＝56π， 所以直线的参数方程为xy＝ ＝－ 0＋4＋tsintco56sπ，56π，
点 P 到 A，B 的距离之积为|t1|·|t2|＝|t1t2|＝2.
当堂达标 固双基
1．直线xy＝ ＝－ 3－2＋ tsintc4o0s°50°， (t 为参数)的倾斜角 α 等于(
)
A．40°
B．50°
C．－45°
D．135°
[解析] 根据 tan α＝－cossin5400°°＝－1，因此倾斜角为 135°.
都是某个变数 t 的函数xy＝ ＝fgtt， ①，并且对于 t 取的每一个允许值， 由方程组①所确定的点 P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫 作这条曲线的 参数方程 ，联系 x，y 之间关系的变数 t 叫作 参变数 ， 简称 参数 ．
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程 f(x， y)＝0 叫作曲线的普通方程．