四川省成都外国语学校-高二数学上期期中考试

成都外国语学校高2014级半期考试数学试题
注意事项：
1、本堂考试120分钟，满分150分。

2、答题前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，并使用2B 铅笔填涂。

3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置，考试结束后，请考生将答题卷交回。

参考公式：S Ch 正棱柱或圆柱侧＝；12
S Ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝；
1
)2
S C C h '+下正棱台或圆台侧上＝（；
V Sh 柱体＝；V Sh 锥体1＝3； 343V R π球＝
；1
3
V S S h 下台体上＝（＋。

一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)
1．在空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ）
A 、必定4个
B 、4个或1个
C 、3个或1个
D 、1个、3个、4个都有可能 2．一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）
3．
已知空间四边形ABCD
，连接,AC BD 。

设G 是CD 的中点，则=++)(2
1
（ ）
A 、AG
B 、CG
C 、BC
D 、
BC 2
1
4．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ。

下面四个命题中，正确的是（ ）
A 、
//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ B 、//m l l m ββ⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
C 、
//////m m n n γγ⎫
⇒⎬⎭
D 、//m m n n γγ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
5．已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值是（ ）
A 、
5
5 B 、
5
55 C 、
5
5
3 D 、
5
11 6．正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ，E 是1CC 的中点，则E 到直线1A B 的距离为（ ）
A 、
a 33 B 、a 26 C 、a 25 D 、a 4
2
3 7．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A 、]6,0(π
B 、),6[ππ
C 、]3,0(π
D 、),3
[ππ
C B
D A 侧视图
正视图
8．如果一个圆柱，一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（ ）
A 、6:5:4
B 、5:4:3
C 、3:2:1
D 、4:2:1 9．已知二面角a αβ--的大小为
3
π
，若平面α内一点A 到平面β
A 在平面β内的射影1A 到平面α的距离是（ ）
A
B
C 、1
D 、
2
3 10．若三棱锥A BCD -侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则
动点P 的轨迹与ABC ∆组成的图形可能是（ ）
11．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是
侧面11C CDD 上的动 点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面
11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 ( )
A 、}2{
B 、}5
5
2{
C 、}222|{≤≤t t
D 、}255
2
|{≤≤t t
12．
，在该几何体的正视图中，
在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为x 和y 的线段，则x y +的最大值为（ ） A
、
B
、
C 、4
D
、
二．填空题（本大题4个小题，每题4分，共16
13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是
直角梯形（如右图所示），45,1,ABC AB AD CD BC ∠===⊥， 则这块菜地的面积为_____________。

14. 空间四边形ABCD 中，8,,AB CD M N ==分别是,BD AC 的中点，若异面直线AB 与
CD 所成角为60，则_________MN =。

15. 如图所示，在平行四边形ABCD
中，0AB BD ⋅=
且2
2
21AB BD +=，沿BD 折成直二面角A BD C --则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______。

C
C
C
C
A
B
C
A B C
D
16． 设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中0,,≠∈ab R b a 。

若|)6
(|)(π≤f x f 对一切R x ∈恒成立，则
①0)1211(
=πf ；②|)5
(||)107(|π
<πf f ；③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；④)(x f 的单调递增区间是)(],3
2,6[Z k k k ∈π
+ππ+π；⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 图像不相
交．
以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
三．解答题：（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部为底面是正方形，侧面是
全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -。

上部为一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -。

（1）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A 。

（2）现需要对该零件表面进行防腐处理，已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====（单位：厘米）每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
18. （12分） 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面A B C D 为一直角梯形，其中
,,AB AD CD AD ⊥⊥ 2CD AD AB ==，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

（1）求证：//BE 平面PAD ；
（2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值。

A B C
D A 1 B 1
C 1
D 1 A 2 B 2
C 2
D 2
C
P
D
E
19.（12
分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
(sin sin ,1),m A C =+(1,sin ),n p B =-
,m n p R ⊥∈且，又2
14
ac b =。

（Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；
20.（12分） 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，
CP m =。

（1）试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B
所成角的正切值为 （2）在线段11AC 上是否存在一定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平
面1APD 内的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

21．（12分）在正三角形ABC 中，,,E F P 分别是,,AB AC BC 边上的点，满足：
::AE EB CF FA =
:1:2CP PB ==（如图甲），将AEF ∆沿EF 折成到1A E F ∆的位置，使二面角
1A EF B --成直二面角，连接11,A B A P
（1）求证：1A E ⊥平面BEP ； （2）求二面角1B A
P F --的余弦值；
C
A 1 1
C
（3）求点F 到平面1A BP 的距离。

22．（14分）已知ABC ∆和DBC ∆是两个有公共斜边的直角三角形，并且
2,AB AD AC a ===
CD =。

（1）若P 是AC 边上的一点，当PBD ∆的面积最小时，求二面角B PD C --的正切值； （2）在（1）的条件下，求点C 到平面PBD 的距离；
（3）能否找到一个球，使,,,A B C D 都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该
球的内接正三棱柱的侧面积的最大值。

成都外国语学校高2014级半期考试数学试题 出题人：罗德益 审题人：王福孔
注意事项：
1、本堂考试120分钟，满分150分。

2、答题前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，并使用2B 铅笔填涂。

3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置，考试结束后，请考生将答题卷交回。

参考公式：S Ch 正棱柱或圆柱侧＝；12
S Ch '正棱锥或圆锥侧＝；2
4S R π球面＝；
1
)2
S C C h '+下正棱台或圆台侧上＝（；
A
B
C
D
P
V Sh 柱体＝；V Sh 锥体1＝3； 343V R π球＝
；1
3
V S S h 下台体上＝（＋。

一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)
1．在空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ）B
A 、必定4个
B 、4个或1个
C 、3个或1个
D 、1个、3个、4个都有可能 2．一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）D
3
．已知空间四边形ABCD
，连接,AC BD 。

设G 是CD 的中点，则=++)(2
1
BC BD AB （ ）A
A 、AG
B 、CG
C 、BC
D 、
BC 2
1
4．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ。

下面四个命题中，正确的是（ ）D
A 、//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B 、//m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C 、//////m m n n γγ⎫⇒⎬⎭
D 、
//m m n n γγ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
5．已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值是（ ）C
A 、
5
5 B 、
5
55 C 、
5
5
3 D 、
5
11 6．正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ，E 是1CC 的中点，则E 到直线1A B 的距离为（ ）D
A 、
a 33 B 、a 26 C 、a 25 D 、a 4
23 7．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( C )
A 、]6,0(π
B 、),6[ππ
C 、]3,0(π
D 、),3
[ππ
【解析】 根据正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2
＋
c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即有cos A ≥12，所以角A 的取值范围为]3
,0(π
，选择C.
8．如果一个圆柱，一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（ C ）
A 、6:5:4
B 、5:4:3
C 、3:2:1
D 、4:2:1
9．已知二面角a αβ--的大小为3
π
，若平面α内一点A 到平面βA 在平
C B
D A 侧视图 正视图
面β内的射影1A 到平面α的距离是（ ）D
A
B
C 、1
D 、
2
3 10． 若三棱锥A BCD -侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成的图形可能是（ ）D
11．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧 面11C CDD 上的动 点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 ( )C A 、}2{ B 、}5
5
2{
C 、}222|{≤≤t t
D 、}255
2
|{≤≤t t
12．
，在该几何体的正视图中，
在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为x 和y 的线段，则x y +的最大值为（ ）D A
、
B
、
C 、4
D
、
二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20
13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形（如右图所示），45,1,ABC AB AD CD BC ∠===⊥，则这
块菜地的面积为_____________。

2+
14. 空间四边形ABCD 中，8,,AB CD M N ==分别是,BD AC 的中点，若异面直线AB 与
CD 所成角为60
，则_________MN =。

4 15. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅= 且2
2
21AB BD +=，沿BD 折成直二面角A BD C --， 则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______。

π
16． 设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中0,,≠∈ab R b a 。

若|)6
(|)(π≤f x f 对一切R x ∈恒成立，则
①0)1211(
=πf ；②|)5
(||)107(|π
<πf f ；③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；④)(x f 的单C
C
C
C
A
B
C
A B C
D
调递增区间是)(],3
2,6[Z k k k ∈π
+ππ+
π；⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 图像不相交．
以上结论正确的是___①③_____(写出所有正确结论的编号)．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17. （12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部为底面是
正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -。

上部为一个
底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -。

（1）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A 。

（2）现需要对该零件表面进行防腐处理，已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====（单位：厘米）每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
解：（1）略
（2）11300S S S =+=四棱柱上底面四棱柱侧面，21120S S S =+=四棱台下底面四棱台侧面，
22420S cm =
处理费为：24200.20484⨯=元
18. （12分） 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面A B C D 为一直角梯形，其中
,,AB AD CD AD ⊥⊥ 2CD AD AB ==，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

（1）求证：//BE 平面PAD ；
（2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值。

解：（1）取PD 中点F ，可证ABEF 为平行四边形
//BE AF ⇒，BE ⊄平面PAD ，⇒//BE 平面PAD
（2）取CD 中点G ，EGA ∠为所求 设AB a =，则,,PD EG AG ===，1
2
AE PC =
= ⇒cos EGA ∠=
19.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin sin ,1),m A C =+(1,sin ),n p B =- ,m n p R ⊥∈且，又2
14
ac b =。

（Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围； 解：(1)0sin sin sin 0,=-+⇒=⋅∴⊥B p C A n m n m
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
A 2
B 2
C 2
D 2 B A C
P D
E
B
由题设并利用正弦定理，得5,4
1,4
a c ac ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,41
, 1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 (2)由余弦定理，
即
，因为230cos 1,(,2)2
B p <<∈得，
由题设知0,p p ><< 20. （12分） 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，
CP m =。

（1）试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B
所成角的正切值为 （2）在线段11AC 上是否存在一定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平
面1APD 内的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

解：（1）建系，平面11BDD B 的一个法向量()()1,1,0,1,1,AC AP m =-=-
cos ,sin AC AP θ=
∴=
，
1tan 3
m m θ=
=∴= （2）由题意知，1AP DQ ⊥。

设111,AQ AC λ= ()()1,,11,1,0x y z λ∴--=-，
11x y z λ
λ=-⎧⎪
∴=⎨⎪=⎩
()()11,,1,1,,0Q D Q λλλλ∴-∴=-，()1,1,AP m =- 11110,,,,1222AP D Q Q λ⎛⎫
∴⋅=∴=∴ ⎪⎝⎭
21．（12分）在正三角形ABC 中，,,E F P 分别是,,AB AC BC 边上的点，满足：
::AE EB CF FA =
:1:2CP PB ==（如图甲），将AEF ∆沿EF 折成到1A E F ∆的位置，使二面角
C
A 1
1
F
E
A 1
B b b b p B ac ac c a B ac c a b cos 2
121cos 22)(cos 222222222
--=--+=-+=B p cos 2123
2
+=
1A EF B --成直二面角，连接11,A B A P （如图乙）。

（1）求证：1A E ⊥平面BEP ； （2）求二面角1B A P F --的余弦值； （3）求点F 到平面1A BP 的距离。

解：（1）设三角形边长为3，
ADE ∆为边长为2的正三角形，
222EF AF AE EF ∴==+
AE EF ∴⊥，则1A E EF ⊥，又二面角1A EF B --成直二面角
1A E ∴⊥平面BEP
（2）设E 为原点，1,,EB EF EA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示坐标系。

设面1A BP 的一个法相量为(),,n x y z =，则有
1120
000x z n A B x z n A P ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎪
⎪⎩⎩
，令x =
(
3,1,n =
设面1A PF 的一个法相量为(),,m x y z
=，则有
110000m A P x z m A F z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩
⎩，令
z =(m =
77
cos ,,cos 88
n m θ=-
∴=- （3）
()3
1,0,0,4
PF n PF d n
⋅=
-∴=
=
22．已知ABC ∆和DBC ∆是两个有公共斜边的直角三角形，并且
2,AB AD AC a CD ====。

（1）若P 是AC 边上的一点，当PBD ∆的面积最小时，求二面角B PD C --的正切值； （
2）在（1）的条件下，求点C 到平面PBD 的距离；
（3）能否找到一个球，使,,,A B C D 都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该
球的内接正三棱锥的侧面积的最大值。

解：（1）作,PH BC HE BD ⊥⊥于E ，连PE
设,PH x CH BH x ==∴=-
A
B
C
D
P
)
22
EH x x
∴=-=-
PE
∴==
0,
x x
<≤∴=时，
PBD
S
∆
最小
866
0,2,2,,, PB a a PD a
⎛
⎫⎛⎫
=--= ⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
, 设面PBD的一个法相量为()
,,
n x y z
=，则有
430
y z
n PB
x z
n PD
+=
⎧
⎧⋅=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
=
⋅
=
⎪⎪
⎩⎩
，令4
z=，()
3,3,4
n=-设面PCD的一个法相量为()
,,
m x y z
=，则有
4
y z
m PC
x z
m PD
=
⎧
⎧⋅=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
=
⋅=
⎪⎪
⎩⎩
，令4
z=
，()
3,4,4
m
=
5
cos,
10
n m=设二面角为θ，cos
10
θ
∴=-即tan θ=（2）(
)314
,0,
7
BC n
BC d
n
⋅
=∴==
（3）取BC中点O，则球心为
O，R=
设正三棱锥的底面边长为x，高为y
11
1
,
2
AO x OO y
==
2222
11
2,
34
x y a xy
∴+=∴≤
2
3
S xy
∴=≤
侧
（,2
x y a
==时取等号）。