2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测含解析新人教B版必修第四册

模块素养检测
(120分钟150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求)
1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+错误!未找到引用源。

为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a+错误!未找到引用源。

=a-bi
不一定为纯虚数;
若a+错误!未找到引用源。

=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0.
2.△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )
A.4错误!未找到引用源。

B.5
C.5错误!未找到引用源。

D.6错误!未找
到引用源。

【解析】选C.因为S△ABC=错误!未找到引用源。

acsin B=2,
所以c=4错误!未找到引用源。

.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=25,所以b=5.
由正弦定理得2R=错误!未找到引用源。

=5错误!未找到引用源。

(R为△ABC外接圆的半径).
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)错误!未找到引用源。

= ( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】选D.错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找
到引用源。

=-i.
4.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=1,sin B=错误!未找到引用源。

,C=错误!
未找到引用源。

,则b的值为( ) A.1 B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

D.±1
【解析】选C.在△ABC中,sin B=错误!未找到引用源。

,0<B<π,
所以B=错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

,
当B=错误!未找到引用源。

时,△ABC为直角三角形,
所以b=a·sin B=错误!未找到引用源。

;
当B=错误!未找到引用源。

时,A=C=错误!未找到引用源。

,
a=c=1.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 错误!未找到引用源。

=3,
所以b=错误!未找到引用源。

.
5.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
【解析】选D.如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,
则AM=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

a,
又AD=a,DM=错误!未找到引用源。

,
所以AD2=DM2+AM2,
所以∠AMD=90°.
6.如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=120°,若把△ABC绕直线AB旋转一周,则所形成的几何
体的体积是( )
A.11π
B.12π
C.13π
D.14π
【解析】选B.△ABC绕直线AB旋转一周,所形成的几何体如图所示.
已知BC=4,∠ABC=120°,
所以CO=2错误!未找到引用源。

,
所以几何体的体积V=错误!未找到引用源。

·π·CO2·AB=12π.
【补偿训练】
在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距
离为( ) A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解析】选B.如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接PE.
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.因为AE∩PA=A,
所以BD⊥平面PAE,
所以BD⊥PE.
因为AE=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,PA=1,
所以PE=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
7.在△ABC中,三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(b-c)sin B=2csin C且a=错误!未找到引用源。

,cos A=错误!未找到引用源。

,则△ABC的面积等于( ) A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.3错误!未找到引用源。

D.3
【解析】选A.由正弦定理,
得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,
得b=2c或b=-c(舍).由a2=b2+c2-2bccos A,
得c=2,则b=4.由cos A=错误!未找到引用源。

知,sin A=错误!未找到引用源。

,
S△ABC=错误!未找到引用源。

bcsin A=错误!未找到引用源。

×4×2×错误!未找到引用源。

=错
误!未找到引用源。

.
8.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最
大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π
C.144π
D.256π
【解析】选C.如图所示,
当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,
三棱锥O-ABC的体积最大,
设球O的半径为R,此时V O-ABC=V C-AOB=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

R2×R=
错误!未找到引用源。

R3=36,
故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.
【补偿训练】
如图,在三棱锥A-BCD中,V A-BPQ=2,V C-APQ=6,V C-DPQ=12,则V A-BCD等于( )
A.20
B.24
C.28
D.56
【解析】选B.由错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!
未找到引用源。

,
所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
所以V B-PDQ=错误!未找到引用源。

V C-PDQ=4,
因而V A-BCD=2+6+12+4=24.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知i是虚数单位,z=错误!未找到引用源。

,则下列结论中正确的是( )
A.z=-i
B.z=i
C.错误!未找到引用源。

=-i
D.|z|=1
【解析】选BCD.z=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=i,
所以错误!未找到引用源。

=-i,|z|=1,故BCD正确.
10.满足下列条件的三角形有两解的有( )
A.b=3,c=4,B=30°
B.a=5,b=8,A=30°
C.c=6,b=3错误!未找到引用源。

,B=60°
D.c=9,b=12,C=60°
【解析】选AB.选项A中csin B<b<c,故有两解;
选项B中bsin A<a<b,故有两解;
选项C中b=csin B,有一解;选项D中c<bsin C,无解.
所以有两解的是选项AB.
11.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则错误的是( )
A.β内必存在直线与m平行且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
【解析】选ABD.作两个相交平面,交线为n,使得直线m⊥α,假设β内一定存在直线a与m平
行,
因为m⊥α,而a∥m,所以直线a⊥α,而a⊂β,
所以α⊥β,这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾,
所以β内不一定存在直线a与m平行,
因为直线m⊥α,n⊂α,
又n⊂β,所以m⊥n,所以在β内不一定存在直线与m平行,
但必存在直线与m垂直.
【补偿训练】
设a,b为两条直线,α,β为两个平面,则正确的命题是( )
A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
【解析】选D.A中,a,b可以平行或异面;
B中,a,b可以平行或异面或相交;
C中,α,β可以平行或相交.
12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=错误!未找到引用源。

,a=3,S△
=2错误!未找到引用源。

,则b的值可以为( ) ABC
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选AB.因为S△ABC=2错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

bcsin A,
sin A=错误!未找到引用源。

,
所以bc=6,cos A=错误!未找到引用源。

,又因为a=3,
由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知z0=2+2i,|z+z0|=错误!未找到引用源。

,当z=__________时,|z|有最小值,最小值为
__________.
【解析】因为|z+z0|=错误!未找到引用源。

,所以复数z所对应的点Z在以C(-2,-2)为圆心,半径为错误!未找到引用源。

的圆上,画出图形(图略),
由图形知|z|的最小值为错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,此时,点Z是线段OC与圆的交点,线段OC的方程是y=x(-2≤x≤0),圆的方程是(x+2)2+(y+2)2=2, 联立方程组错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

所以复数z=-1-i.
答案:-1-i 错误!未找到引用源。

14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2错误!未找到引用源。

,C=45°,1+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,则A=______,边c的值为__________.
【解析】在△ABC中,
因为1+错误!未找到引用源。

=1+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
由正弦定理得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
所以cos A=错误!未找到引用源。

,所以A=60°.
又因为a=2错误!未找到引用源。

,C=45°.
由错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

得,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,所以c=2错误!未找到引用源。

.
答案:60°2错误!未找到引用源。

15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c满足2b=a+c,B=错误!未找到引用源。

,则cos A-cos C=________.
【解析】因为2b=a+c,
由正弦定理得2sin B=sin A+sin C,
又因为B=错误!未找到引用源。

,
所以sin A+sin C=错误!未找到引用源。

,A+C=错误!未找到引用源。

.
设cos A-cos C=x,
可得(sin A+sin C)2+(cos A-cos C)2=2+x2,
即sin2A+2sin Asin C+sin2C+cos2A-2cos Acos C+cos2C=2-2cos (A+C)=2-2cos 错误!未找到引用源。

=2+x2得x2=错误!未找到引用源。

,
所以cos A-cos C=±错误!未找到引用源。

.
答案:±错误!未找到引用源。

16.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,错误!未找到引用源。

为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.
【解析】由已知连接BD,B1D1,则BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中点E,F.连接EF,D1E,D1F,则D1E=D1F=错误!未找到引用源。

,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圆的圆心是B1C1的中点O,OE=OF=错误!未找到引用源。

,球面与侧面BCC1B1的交线是侧面上以O为圆心,错误!未找到引用源。

为半径的圆弧EF,错误!未找到引用源。

的长为错误!未找到引用源。

·2错误!未找到引用源。

π=错误!未找到引用源。

π.
答案:错误!未找到引用源。

π
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10分)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos ∠CBE的值;
(2)求AE.
【解析】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,
CB=AC=CD,所以∠CBE=15°.
所以cos ∠CBE=cos 15°=cos (45°-30°)
=错误!未找到引用源。

.
(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理,
得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
故AE=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

.
18.(12分)已知z=m+3+3错误!未找到引用源。

i,其中m∈C,且错误!未找到引用源。

为纯虚数.
(1)求m对应点的轨迹;
(2)求|z|的最大值、最小值.
【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
因为错误!未找到引用源。

为纯虚数,所以错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。

所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.
(2)由(1)知|m|=3,已知m=z-(3+3错误!未找到引用源。

i),
则|z-(3+3错误!未找到引用源。

i)|=3.
所以z所对应的点Z在以(3,3错误!未找到引用源。

)为圆心,3为半径的圆上.
可知|z|的最大值为|3+3错误!未找到引用源。

i|+3=9;
最小值为|3+3错误!未找到引用源。

i|-3=3.
19.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,求V1∶V2的值.
【解析】如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,
连接A2B2,B2C2,A2C2,
则得到三棱柱ABC-A2B2C2,且错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,延长B1E,C1F,则B1E与C1F相交于点A2.
因为A2A∶A2A1=1∶2,
所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
又错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
所以V1=7错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.
20.(12分)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA=错误!未找到引用源。

.
(1)求角A的大小;
(2)当a=错误!未找到引用源。

时,求c2+b2的最大值,并判断此时△ABC的形状.
【解析】(1)由已知及余弦定理,得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
sin A=错误!未找到引用源。

,因为A为锐角,所以A=60°.
(2)由正弦定理得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2,
所以b=2sin B,c=2sin C=2sin(120°-B).
c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]
=4错误!未找到引用源。

=4-cos 2B+错误!未找到引用源。

sin 2B=4+2sin(2B-30°).
由错误!未找到引用源。

得30°<B<90°,
所以30°<2B-30°<150°.
当sin(2B-30°)=1,即B=60°时,(c2+b2)max=6,
此时C=60°,△ABC为等边三角形.
【一题多解】由余弦定理得
(错误!未找到引用源。

)2=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=3.
因为bc≤错误!未找到引用源。

(当且仅当b=c时取等号),
所以b2+c2-错误!未找到引用源。

≤3,即b2+c2≤6(当且仅当b=c时取等号).
故c2+b2的最大值为6,此时△ABC为等边三角形.
21.(12分)如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=错误!未找到引用源。

,CE=EF=1.
(1)求证:AF∥平面BDE;
(2)求证:CF⊥平面BDE.
【证明】(1)如图,设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG,且EF=1,AG=错误!未找到引用源。

AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,
所以四边形CEFG为平行四边形,
又因为CE=EF=1,所以▱CEFG为菱形,
所以EG⊥CF.
在正方形ABCD中,AC⊥BD.
因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,所以BD⊥平面CEFG,所以BD⊥CF. 又因为EG∩BD=G,所以CF⊥平面BDE.
【补偿训练】
如图所示,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F 分别是AC,AD上的动点,且错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.
【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,
所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,
所以CD⊥平面ABC.
又因为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=λ(0<λ<1),
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,
所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF,
所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知,BE⊥EF,
因为平面BEF⊥平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.
因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
所以BD=错误!未找到引用源。

,AB=错误!未找到引用源。

tan 60°=错误!未找到引用源。

, 所以AC=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
由AB2=AE·AC,得AE=错误!未找到引用源。

,
所以λ=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
22.(12分)如图所示,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.
【证明】(1)连接DG,
设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形,
则M为CD的中点.
又H为BC的中点,所以MH∥BD.
又MH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
【一题多解】在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH. (2)因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.
又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,
因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.
又CF⊥BC,
所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,
HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.。