江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题 人教版

江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的．）
1．若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设数列{}n a 是各项互不相等的等比数列，1239,18a a a =+=，则公比q 等于 Ａ．2- Ｂ． 1- Ｃ．1
2
-
Ｄ． 1 3． 已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，下列四个命题正确的是
A ．若m ∥α，则m 平行于α内的任意一条直线
B ．若α∥β ，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若m ∥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α∥β
D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
4．已知圆2
2
10x y +=，动点M 在以P (1,3)为切点的切线上运动，则线段OM 中点的轨迹方程为 Ａ．340x y -+= Ｂ．350x y +-= Ｃ．3100x y +-= Ｄ． 3200x y +-= 5．若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个
函数：1()sin cos f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则
Ａ．123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数
Ｂ．12(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数 Ｃ．13(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数 Ｄ．23(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数
6． 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，将这7个号组成一注，若这个人把这种特殊要求的所有注买全，至少要花费
Ａ．3360元 B ．6720元 C ．4320元 D ．8640元
7．若椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22
=的焦
点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为
A ．
552 B ． 54 C ． 17
16
D ．
17174 8．若向量(cos ,sin )x αα=r ，(cos ,sin )y ββ=u r
，则下列结论一定成立的是
Ａ． x r ∥y r Ｂ． x y ⊥r r
Ｃ．x r 与y u r 的夹角等于αβ- Ｄ．()()x y x y +⊥-r r r r
9．菱形ABCD 中，2AB =，0
60BCD ∠=，现将其沿对角线BD 折成直二面角A BD C --（如图），则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A
B ．
C ．
14
D ．
34
10．定义{}max ,a
a b a b b
a b
≥⎧=⎨
<⎩，设实数,x y 满足约束条件2
2x y ⎧≤⎪⎨
≤⎪⎩
，
{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是
A ．[－6，10]
B ．[－7，10]
C ．[－6，8]
D ． [－7，8] 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．设2012(1)n n
n x a a x a x a x +=+++L ，若322a a =，则n = ▲ ．
12．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为 ▲ ．
13．若函数3
2
()234f x x x ax a =+++有一个极大值和一个极小值，则a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数cos ()cos()
6
x
f x x π
=
-，则()(
)3
f x f x π
+-的值为 ▲ ．
15．点O 是四边形ABCD 内一点，满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，若AB AD DC AO λ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
， 则λ= ▲ ．
16．函数()f x 满足1
(0,1)1()
x
a a a f x =
>≠+，若12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最大值
为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，cos 2cos()A B C =+，
2AB AC ⋅=u u u r u u u r
．求角A 及边,b c 的大小．
18．（本小题满分14分）
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右两个焦点分别为12,F F ．过右焦点2F 且与x 轴
D
C
B
A
垂直的直线l 与双曲线C
相交，其中一个交点为M ． （１） 求双曲线C 的方程；
（２）设双曲线C 的虚轴一个端点为(0,)B b -，求1F BM ∆的面积． 19．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0
90ACB ∠=，2AC =，11BC BB ==，D 是棱11A C 的
中点．
（１） 设平面1BB D 与棱AC 交于点E ，确定点E 的位置
并给出理由；
（２） 求直线AB 与平面1BB D 所成角的大小； （３） 求二面角1B AD B --的大小． 20．（本小题满分16分）
已知“接龙等差”数列12101120213031,,,,,,,,,,,a a a a a a a a L L L L 构成如下：11a =，
1210,,,a a a L 是公差为1的等差数列；101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a L 是公差
为2d 的等差数列；L ；101011021010,,,,n n n n a a a a +++L 是公差为n d 的等差数列
（*n N ∈）；其中0d ≠． （１） 若2080a =，求d ； （２） 设10n n b a =．求n b ；
（３） 当1d >-时，证明对所有奇数n 总有5n b >．
1
B 1B
A
21．（本小题满分14分）
已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中k 为正常数．
（1）设12u x x =，求u 的取值范围． （2）求证：当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112
()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．
[参考答案]
一、选择题
二 填空题
11． 8 ；12． 6
25
；13． 4(,)9-∞ ．
14．
；15． 3 ； 16． 5
4
．
三、解答题 17．（本小题满分12分）
解 由cos 2cos()A B C =+得2
2cos cos 10A A +-=， …………２分
∴1
cos 2A =
或
cos 1A =-（不合题意舍去）．∴60A =︒ …………4分 由题意，cos 2AB AC c b A ⋅=⋅⋅=u u u r u u u r
，∴4b c ⋅= ①， …………
7分
由余弦定理得2
2
2
2cos
a b c bc A =+-，
将2a =，cos 2b c A ⋅⋅=代入得2
2
8b c += ② …………10分 由①②解得2b c ==． …………12分 18．（本小题满分14分） 解(1)由条件可知c =
21MF =，
…………２分
在直角12F F M ∆
中13MF
=
=
=，
根据双曲线的定义得122312,1a MF MF a =-=-==，从而1b
=， …………６分 所以双曲线方程为2
2
1x y -=． ………………………８分
(2)由题意知1((0,1)M F B -,直线
1MF 420y -+=，…10分 点B 到直线1MF 的距离d ==， ………………………12分
又
13
MF =，
所
以
11122
F BM
S MF d ∆==． ………………………14分
19．（本小题满分14分）
解（1）E 是AC 的中点． ………………………1分
由棱柱的性质知1B B ∥平面11ACC A ,∵AB ⊆平面ABD ,平
1
B 1B
A
面11ACC A I 平面1BB D DE =，∴所以DE ∥1B B ，∴DE ∥1A A ，由D 是11A C 的中点知E 是AC 中点．
………………………4分
（2）∵1BB ⊥底面ABC ，∴平面1BB DE ⊥底面ABC ，过A 点作AM ⊥BE ，M 是垂足，M 在
BE 的延长线上，∴AM ⊥平面1BB DF ，ABM ∠就是直线AB 与平面1BDB 所成角．
………………………6分
在直角ACB ∆
中，AB =0
45BEC AEM ∠=∠=
，所以AM =
∴sin 10ABM ∠==
，ABM ∠=． …………8分
（或在△ABC 中，∠ABM ＝∠ABE ＝∠ABC －∠CBE ＝arctan 24
π
-）
（3）解法一．如图１，在直角1AA D
中AD =
1BB D ∆
中BD =，在直角ACB ∆
中
AB =222AB AD BD =+，∴AD DB ⊥．
在1ADB ∆
中，11AD DB AB ===01120ADB ∠=，0
1130DAB DB A ∠=∠=
过点D 作DP AD ⊥，垂足为P ，则PDB ∠是二面角1B AD B --的平面角． ……11分 连BP ．在等腰1ADB ∆
中1DP B P =
=，在直角1ABB ∆中1BP =， 在PDB ∆中，222
cos 2DP DB PB
PDB DP DB
+-∠=
⋅2
21
3+-=
=, ∴二面角1B AD B --
的大小为． ………14分 解法二：设平面ABD 与棱11B C 交于点F ，则F 为11B C 中点，如图，过点1B 作1B N ⊥DF ,垂足N 在DF 的延长线上,连BN ,
∵1BB DF ⊥,∴DF ⊥平面1BB N ,作
1B H BN ⊥,H 为垂足,
∵11,B H BN B H DF ⊥⊥，∴1B H ⊥平面
A
1
ABFD ，作1,B O AD O ⊥为垂足，连OH ，由三垂线逆定理知OH AD ⊥，
∴1B OH ∠是二面角1B AD B --的平面角． ………………11分 在直角1B NF 中,
得1B N =
1BB N ∆
中得1B H = 在1ADB
中，11AD DB AB
，得1B O =
…………12分 在直角1B HO ∆
中，11
sin 3B OH ∠==，
所以二面角1B AD B --的大小是1
arcsin 3
． ………………14分 20、（本小题满分16分）
解(1) 由1210,,,a a a L 是首项为1，公差为1的等差数列得1010a =，101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列得201010101080a a d d =+=+=，解得7d =． ……………4分
(2) 由题意有 201010a a d =+，2302010a a d =+，3
403010a a d =+，
(1)
1010(1)10n n n a a d
--=+
累加得211010101010n n a a d d d -=++++L 21
10101010n d d d -=++++L ……………8分
所以21
10101010n n b d d d -=++++L 10(1)
(1)110(1)n d d d
n d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩
, ……………10分 （3）设n 为奇数,
当(0,)d ∈+∞时21
1010101010n n b d d d
-=++++>L ……………13分 当(1,0)d ∈-时, 10(1)1n n d b d -=-，由112d <-<及11n
d ->有10(1)10512
n n d b d -=
>=- 综上所述，当n 为奇数且1d >-时，恒有5n b >． ……………16分
21.（本小题满分14分）
（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122
k
x x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ． ……………3分
（2）解法一（函数法）
121212121221
111
(
)()x x x x x x x x x x x x --=+-- 22
22121212121212111
22x x k k x x x x u x x x x x x u
+--=+-=-+=-+ ……………4分
由204k u <≤，又1k ≥，2
10k -≥，∴21()2k f u u u -=-+在2(0,]4
k 上是增函数， ……………6分
所以121211()()x x x x --=212k u u --
+22222214222()4424
k k k k
k k k -≤-+=-+=- 即当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-成立． ……………8分
解法二（不等式证明的作差比较法）
21212112()()()2k x x x x k ----=21212212211424
x x k x x x x x x k +----+ 2
12122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+-22212121221212
44()4k x x k x x x x k x x x x ---=--
， 将22
12124()k x x x x -=-代入得
21212112()()()2k x x x x k ----2221212212
()(44)4x x k x x k k x x ---=， ……………5分 ∵212()0x x -≥，1k ≥时2222
1212444(1)0k x x k k k x x --=--<，
∴22212122
12
()(44)
04x x k x x k k x x ---≤，即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k --≤-成立． ……………8分
（3）解法一（函数法）
记121211
()()x x x x --=212()k u f u u -+
+=，则222()()22
k k f k -=， 即求使2()()4k f u f ≥对2
(0,]4
k u ∈恒成立的k 的范围． ……………9分
由（2）知，要使21212112
(
)()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<，
因此2
10k ->，∴函数2
1()2k f u u u
-=++
在上递减，
在)+∞上递增， ……………11分
要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥
，必有
2
4
k ≤，即4216160k k +-≤
，解得0k <≤． ……………14分
解法二（不等式证明的作差比较法）
由(2)可知21212112()()()2k x x x x k ----=22212122
12
()(44)
4x x k x x k k x x ---， 要不等式恒成立，必须22
12440k x x k --≥恒成立， ……………10分
即2
122
44k x x k -≤恒成立， ……………11分 由21204k x x <≤得222
444k k k
-≤，即42
16160k k +-≤， ……………13分
解得0k <≤
因此不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≥-恒成立的k
的范围是0k <≤．
……………14分。