直线与平面的夹角 课件(62张)

所以 cos θ＝ 36．]
知识点 3 用空间向量求直线与平面的夹角
如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面 α 的法向量，设直线 l 与平面 α 所成角的大小为 θ，则 θ＝ π2－〈v，n〉或 θ＝〈v，n〉－π2 ， 特别地 cos θ＝ sin〈v，n〉 或 sin θ＝ |cos〈v，n〉| ．
∴OH 为 AO 在平面 α 内的射影，∠AOH 为 OA 与平面 α 所成的 角．
在 Rt△AOH 中，sin∠AOH＝AAHO＝ 22． ∴∠AOH＝45°． ∴OA 与平面 α 所成的角为 45°．
法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴OA 在 α 内的射影为∠BOC 的平分线， 作∠BOC 的角平分线 OH 交 BC 于 H． 又 OB＝OC＝a，BC＝ 2a， ∴∠BOC＝90°．
[提示] 是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
2．已知∠APB 在平面 α 内，大小为 60°，射线 PC 与 PA，
PB 所成的角均为 135°，则 PC 与平面 α 所成角的余弦值是( )
A．－
6 3
B．
6 3
C．
3 3
D．－
3 3
B [设 PC 与平面 α 所成的角为 θ，则 cos 45°＝cos θ·cos 30°，
类型 2 用定义法解决直线与平面的夹角问题 【例 2】 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA ＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．
(1)求证：BC⊥平面 PAC； (2)若 D 为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值．
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[解] 法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴AB＝AC＝a． 又∵BC＝ 2a， ∴AB2＋AC2＝BC2． ∴△ABC 为等腰直角三角形． 同理△BOC 也为等腰直角三角形． 取 BC 中点为 H，连接 AH，OH，
∴AH＝ 22a，OH＝ 22a，AO＝a， AH2＋OH2＝AO2． ∴△AHO 为等腰直角三角形．∴AH⊥OH． 又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H， ∴AH⊥平面 α．
[跟进训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PD⊥平
面 ABCD．若∠PBC＝60°，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 θ．
[解] 由题意得∠CBD＝45°， ∠PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 θ． ∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°． 即 cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝ 22，θ＝45°．
――斜―线―和―平―面―所―成―的―角―→
平面的斜线和它在平面内的 _射__影_所成的锐角，称为斜线
与平面所成的角
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．
()
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．
()
(3)斜线与平面的夹角为[0，90°]．
()
(4)直线与平面的夹角为[0，90°]．
赛艇比赛，是 2022 年第 19 届杭州亚运会主要赛事之一．划杆与 水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平 面所成角，正是我们这一节学习的内容．
知识点 1 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
―直―线―与―平――面―垂―直→ 直线与平面的夹角为_9_0_°_ ――直―直 线―线 与―在 平―平面―面 平―内 行―或―→ 直线与平面的夹角为_0_°_
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角
学习任务 1．理解斜线与平面所成的角的定
核心素养
义，体会夹角定义的唯一性、合理 通过学习空间线面角，提升数学
性． 运算、逻辑推理素养．
2．会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
NO.1
情境导学·探新知
知识点1 知识点2 知识点3
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度． (2)√ 根据斜线与平面所成的角的定义知正确． (3)× 斜线与平面的夹角为(0，小的角
射影
1．一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？ 它是唯一的吗？
故∠BOH＝45°， 由公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2， 得 cos∠AOH＝ccooss∠∠BAOOHB＝ 22， ∴OA 与平面 α 所成的角为 45°．
求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射 影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作 AH⊥BC 于 H，进而证明 AH⊥平面 α，从而证明 H 是点 A 在平面 α 内的射影．解 法二则灵活应用公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2 求线面角，也是常用的方法．
2．直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直 线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉．
3．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于
120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
C [设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos 120°|＝12，
又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2 的应用 【例 1】 ∠BOC 在平面 α 内，OA 是平面 α 的一条斜线，若∠AOB ＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝ 2a，求 OA 与平面 α 所成 的角．
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射 影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？ [提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的 夹角为 0°； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2；
③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直 线上任取异于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足， 则 OA 即为直线在平面内的射影，∠AOP 即为直线与平面的夹角，然 后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．