北京市中国人民大学附属中学2025届高三上学期暑假自主复习检测数学试卷

北京市中国人民大学附属中学2025届高三上学期暑假自主
复习检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．4500元
．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价（元/kg）
∴当单价小于2.6时，由于2.6＜2.8∴供给量＜70而此时，需要量＞70故此时，供给量＜需要量而当单价等于2.6时，需求量=70∴当单价大于2.8时，∵2.8＞2.6∴供给量＞70而此时，需要量＜70故此时，供给量＞需要量
综上所述，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（2.6，2.8）内故选C
点评：本题考查的知识点是函数的表示方法（列表法）及函数零点的判定定理，根据零点判断定理，即连续函数f （a ）?f （b ）＜0，则函数在区间（a ，b ）上有零点，是解答本题的关键．10．B
【分析】利用共线定理可知对于任意,OM ON I Îuuuu r uuu r ，线段MN 上一点D ，都有OD I Îuuu r
，则集
合I 为“封闭集”，结合“封闭集”定义分别对选项进行判断可得A 错误，B 正确，再举出反例CD 错误．
【详解】设,m OM n ON ==uuuu r uuu r r r ，(1)(1)OD m n OM ON l l l l =+-=+-uuu r uuuu r uuu r
r r ，[0l Î,1]；
则,[0,1]OD ON OM ON l l -=-Îuuu r uuu r
uuuu r
uuur
，即可得,[0,1]ND NM l l =Îuuu r uuuu r
，则点D 在线段MN 上，由题意可得，若对于任意,OM ON I Îuuuu r uuu r ，线段MN 上一点D ，都有OD I Îuuu r
，则集合I 为“封
闭集”，
对于A ，集合{|(,)A a a x y ==，3}y x ³，若对于任意的1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 满足3
311
22
,y x y x ³³，则,OP OQ A Îuuu r uuu r
，
函数3y x =如下图，显然线段PQ 上任意一点3(D x ,3)y ，不一定满足333
y x ³，图中所示333
y x <，即OD A Ïuuu r
；
故集合{|(,)A a a x y ==,3}y x ³不为“封闭集”，即A 错误；
对于B ，若{|(,)B a a x y ==,ln }y x £，对于任意的4(G x ,4)y ，5(H x ,5)y 满足44ln y x £，55ln y x £，则,OG OH B Îuuu r uuur
，
函数ln y x =如下图，显然线段GH 上任意一点6(E x ,6)y ，都有66ln y x £，即OD B Îuuu r
；
故可得集合{|(,)B a a x y ==,ln }y x £为“封闭集”，即B 正确；对于C ，由选项A 可知集合{|(,)A a a x y ==,3}y x ³不是“封闭集”，根据对称性，如图1可知{|(,)B a a x y ==,3}y x ³-不是“封闭集”，
则A B Ç表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的,OP OQ A B ÎÇuuu r uuu r
，则线段PQ 上任意一点D ，都有OD A B ÎÇuuu r
,故A B Ç是“封闭集”，故C 错误，
图1 图2
对于D ，若A ，B 都是“封闭集”，不妨取{|(,)A a a x y ==,}y x =，{|(,)B a a x y ==,}y x =-；对于任意的1
1
(P x ¢,1
)y ¢，1
2
(Q x ¢,2
)y ¢满足11y x ¢=¢，22y x ¢=¢，则11
,OP OQ A Îuuu r uuuu r
，
函数y x =如下图，显然线段11PQ 上任意一点13(D x ¢,3)y ¢都有33y x ¢¢=，即1OD A
Îuuuu r ；
故{|(,)A a a x y ==,}y x =为“封闭集”，同理可得{|(,)B a a x y ==,}y x =-也为“封闭集”；而A B U 的图象如下：显然11,OR OS A B Îuuuu r uuur
U ，但线段11R S 上任意一点1T 不满足y x =，也不满
足y x =-，即1
OT A B Ïuuur
U ，
即A B U 不一定是“封闭集”，即D 错误．
即()()122g x g x +>-，所以122x x +<-，解得3x >，所以不等式的解集为()3,+¥.故答案为：()3,+¥.15．③④
【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出9
S 的最小值判断
④作答.
【详解】当*N (28)k k Σ£时，由11k k a a -=+得11k k a a --=，由11k k a a +=-得11k k a a +-=，于是1k k a a --与1k k a a +-仅只一个为1，即11k k k k a a a a -+--¹，因此数列{}n a 不能是等差数列，
①错误；
令1(18)m m m b a a m +=-££，依题意，m b 与1m b +均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），
若13571b b b b ====，则2113224335447,1,2,1a a b a a b a a b a a b =+==+³=+³=+³，6557668772,1,2a a b a a b a a b =+³=+³=+³，而16a =，914a =，
因此9
91
671212121436i i S a ==³++++++++=å，当且仅当数列为
6,7,1,2,1,2,1,2,14
时取等
号，
若24681b b b b ====，则2113224335441,2,1,2a a b a a b a a b a a b =+³=+³=+³=+³，6557668981,2,13a a b a a b a a b =+³=+³=-=，而16a =，914a =，
因此9
91
6121212131442i i S a ==³++++++++=å，当且仅当数列为
6,1,2,1,2,1,2,13,14
时取
假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
（1）证明：∵CD DE ⊥，A 1D DE ⊥，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，
又∵A 1C⊂平面A 1CD ，∴A 1C DE ⊥又A 1C CD ⊥，CD∩DE=D ∴A 1C ⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）
∴
，
设平面A 1BE 法向量为
则∴∴
∴
又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）
∴
∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°
（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a [0∈，3]
∴
，
设平面A 1DP 法向量为
则∴
∴
假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，
∴3a+12+3a=0，6a=12﹣，a=2﹣∵0≤a≤3
∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直
考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．
18．(1)分布列见解析，期望值为30
(2)举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入减少了，举行抽奖活动后该景区暑期的总收入增加了，理由见解析
【分析】（1）求出X 的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（2）①假设不举行抽奖活动，该景区在暑假客流量为n 人，计算出不举行活动的门票收入和举行活动时的门票收入，比较后得到结论；
②计算出每位游客除门票外平均在该景区消费的期望值，从而得到不举行活动的总收入和举行活动时的总收入，比较后得到结论；
【详解】（1）X 的可能取值为10,15,20,35,40,60，
在③中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；故所有符合题目条件的数列的序号为③．
（2）当m =3时，设数列n A 中1,2,3，出现频数依次为123,,q q q ，由题意()11,2,3i q i ³=．
①假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以14q ³．同理可证：34q ³．
②假设21q =，则存在唯一的{}1,2,,k n ÎL ，使得2k a =．
则对,s t "，有112k s t a a a a +=+¹+（k ，s ，t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ³．
综上14q ³，34q ³，22q ³，所以14223420S ³´+´+´=，故S 的最小值为20.
（3）设1，2，…，2024出现频数依次为122024,,,q q q L ．同（2）的证明，可得12024220234,4,2,2q q q q ³³³³，所以2032n ³．
取12024220234,2q q q q ====，1,3,4,5,,2022i q i ==L ，得到的数列为：
:1,1,1,1,2,2,3,4,,2021,2022,2023,2023,2024,2024,2024,2024.n B LL 下面证明n B 满足题目要求．
对{},1,2,,2032i j "ÎL ，不妨令i j a a £，
①如果1i j a a ==或2024i j a a ==，由于120244,4q q ==，所以符合条件；
②如果1,2i j a a ==或2023,2024j i a a ==，
由于120244,4q q ==，220232,2q q ==，
所以也成立；
③如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s i j a a a ==-；同样的，如果2023,2024i j a a <=，则可选取1,2023s i i a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且i ，j ，s ，t 两两不相等；
④如果12024i j a a <£<，则可选取1,1s i i t a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上对任意i ，j ，总存在s ，t ，使得i j s t a a a a +=+，其中i ，j ，s ，t {1,2∈，…，n }且两两
不相等．
因此n B 满足题目要求，
所以n 的最小值为2032．
【点睛】本题是给出了数列需满足的要求。

也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设12,3,,2024,L 出现的频数依次为202412,,,q q q L ，要判断出120242442,,q q q ³³³，20232q ³，进而取120242202342,1,i q q q q q =====，求得n 的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求.
答案第251页，共22页。