上海民办文绮中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》测试题(培优提高)

一、选择题
1．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若
3
2
BE EC
=，则AC是⊙O的切线
2．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N塔楼的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C．继而沿坡度为1:2.4
i=的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E，在E处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°，楼项A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内．则T3N塔楼AB的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85
︒≈，cos580.53
︒≈，tan58 1.60
︒≈，3 1.73
≈）
A．319米B．335米C．342米D．356米
3．在ABC中，若
2
1
cos|1tan|0
2
A B
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
，则C
∠的度数是（）
A．45︒B．60︒C．75︒D．105︒
4．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD的距离为5m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（）
A ．53m
B ．52m
C ．()5352m -
D ．()535m - 5．如图，点A （-1，0），点B （-4，0），平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比
例函数y=
k x
（k<0）图像过点D 和BC 边的中点E ，若∠C=α，则k 的值（用含α的式子表示为）（ ）
A ．-4tanα
B ．-3tanα
C ．925-tanα
D ．289
-tanα 6．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125
i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）
A ．12.9
B ．22.2
C ．24.9
D ．63.1
7．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A．5
2B．
5
5
C．
3
3
D．1
8．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到'
PB的位置，测得(
''
PB C a B C
∠=为水平线），测角仪/B D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）
A．
1
1sin a
+
米B．
1
1cos a
-
米C．
1
1sin a
-
米D．
1
1cos a
+
米
9．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（）
A．35
5
B．
17
5
C．
3
5
D．
4
5
10．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为3
4
，考虑安全问题，现
要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）
A．3
4
m B．
1
3
m C．
2
3
m D．
1
2
m
11．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段
比表示cosα的值，错误的是（ ）
A ．BD BC
B ．B
C AB C ．A
D AC D ．CD AC
12．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（ OC ⊥OB ，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a ，AD b ，∠BCO =α．则点A 到OC 的距离等于（ ）
A ．asinα+bsinα
B ．acosα+bcosα
C ．asinα+bcosα
D ．acosα+bsinα 13．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（ ）
A ．12
B ．55
C ．2
D ．255
14．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =3，BC =7,对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交B C ，AD 于点E ，F ,下列说法：①在旋转过程中，AF =CE . ②OB =AC ，③在旋转过程中，四边形ABEF 的面积为212
，④当直线AC 绕点O 顺时针旋转30°时，连接BF ,DE 则四边形BEDF 是菱形，其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．① ②
C ．①②③④
D ．② ③ ④ 15．在半径为1的
O 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45
二、填空题
16．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．
17．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．
18．如图，在ABC ∆中，AB=AC=10，3tan 4
B =，点D 为B
C 边上的动点（点
D 不与点B ，C 重合），以D 为顶点作AD
E B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，若BD=4，则AE= __________．
19．已知ABC 中，16,3
AB AC cosB ===，则边BC 的长度为____________． 20．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB AC =，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60︒时，两梯角之间的距离BC 的长为2m ．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60︒，后又调整α为45︒，则梯子顶端A 离地面的高度下降了___________m ．
21．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则AD BC
的值
为__________．
22．已知32＜cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 23．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，则∠A ＝__°，∠B ＝___°．
24．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH =____________．
25．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.
26．锐角α和锐角β互余，记f ＝sinα+sinβ，则f 的取值范围为_____．
参考答案
三、解答题
27．如图，以ABC ∆的一边BC 为直径的O ，交AB 于点D ，连结CD ，OD ，已知
1902
A DOC ∠+∠=︒．
（1）判断AC 是否为O 的切线？请说明理由．
（2）①若60A ∠=︒，1AD =，求O 的半径．
②若DOC α∠=︒，AC m =，OB r =，请用含r 、α的代数式表示m ．
28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．
（1）直接写出d （点A ）的值；
（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；
（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．
29．材料：如图①，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），,BC AB >点M 是弧ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中
点，即CD AB BD =+
（1）如图②，已知等边ABC ∆内接于,12,O AB D =为弧AC 上--点，
45,ABD AE BD ︒∠=⊥于点E ，求BDC ∆的周长
=+．
（2）求证：CD AB BD
30．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.。