上海市黄浦区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题

上海市黄浦区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(总28
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上海市黄浦区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段
c 的长度是（ ）．
A ．8；
B ．6；
C ．
D ．2．
2．在Rt△ABC 中，90C =∠，如果∠A=α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ）． A ．sin m α⋅；
B ．cos m α⋅；
C ．tan m α⋅；
D ．cot m α⋅．
3．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A ．
1a e a =；
B ．e a a =；
C ．b e b =；
D ．
11a b a b =
．
4．将二次函数2y
x 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象对应的函数表达式是（ ） A ．2(1)2y x =++
B ．2(1)2y x =+-
C．2
(1)2
y x
=--D．2
(1)2
y x
=-+
5．在△ABC与△DEF中，60
A D
∠=∠=，AB AC
DF DE
=，如果∠B=50°，那
么∠E的度数是（）．
A．50°；B．60°；
C．70°；D．80°．
6．如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（）．
A．AD DE
AB BC
=；B．
AD AE
AC AB
=；
C．AD AB DE BC
⋅=⋅；D．AD AC AB AE
⋅=⋅．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
7．计算：2(32)(2)
b a a b
-+-=______．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果5
AE=，3
EC=，4
DE=，那么线段BC的长是______．
9．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果
2
3
=AB BC ，DF=15，那么线段DE 的长是__．
10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则
BP
AP
=________． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式______． 12．如图，在Rt△ABC 中，90ABC ∠=，BD⊥AC，垂足为点D ，如果
4BC =，2sin 3
DBC ∠=，那么线段AB 的长是______．
13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3
B ∠=，那么cos A ∠=______． 14．如图，在△AB
C 中，BC=12，BC 上的高AH=8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点
D 、G 分别在边AB 、AC 上．设D
E x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是______． （不需写出x 的取值范围）．
15．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．
16．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果5
AG=，6
BF=，那么线段CE的长是______．
三、解答题
17．在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______．18．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，
∠DAE=∠B=30°，且
3
2
AD
AE
=，那么
DE
BC
的值是______．
19．计算：
cos30
tan60sin60
cot45
-
-
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且
1
2
DE
CE
=，设
AB a
=，AD b
=．
（1）用a、b表示AE；（直接写出答案）
（2）设AE c =，在答题卷中所给的图上画出3a c -的结果．
21．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即1AD BE ==米），两台测角仪相距50米（即AB=50米）．在某一时刻无人机位于点C (点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30，B 处测得其仰角为
45︒ 1.41≈ 1.73≈，sin 400.64≈，cos400.77≈，tan 400.84≈）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40︒，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
124
y x x =--+，其顶点为A ．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点B 坐标．
23．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．
（1）求证：AD DE AB BF ⋅=⋅；
（2）联结AC ，如果CF AC DE CD
=
，求证：22AC AF
BC BF =． 24．在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是
25y x =-+，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
25．如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD=AC, 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E.
（1）当∠CAD=90°时，求线段AE 的长.
（2）过点A 作AH⊥CD，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ， ①当∠CAD<120°时，设AE x =，BCE AEF
S y S
=（其中BCE
S
表示△BCE 的面
积，AEF
S
表示△AEF 的面积），求y 关于
x
的函数关系式，并写出
x 的取
值范围；
②当
7BCE AEF
S S
时，请直接写出线段AE 的长.
1
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据线段比例中项的概念，可得::a b b c =，可得2b ac =，解方程可求． 【详解】
解：若b 是a 、c 的比例中项，即2b ac =， ∴242c =, ∴8c =， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去． 2．B 【解析】 【分析】
根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案． 【详解】 解：由题意，得
cos AC
A AB
=
， ·cos ?cos AC AB A m α==，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】
解：A、左边得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、符合向量的长度及方向，正确；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相
同，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
4．B
【解析】
【分析】
抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【详解】
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-2），
可设新抛物线的解析式为：y=（x-h）2+k，
代入得：y=（x+1）2-2．
∴所得图象的解析式为：y=（x+1）2-2；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
5．C
【解析】
【分析】
根据已知可以确定ABC DFE △△；根据对应角相等的性质即可求得C ∠的大小，即可解题．
【详解】
解：∵60A D ∠=∠=，
AB AC DF DE
=， ∴ABC DFE △△
B ∴∠与F ∠是对应角，
C ∠与E ∠是对应角， 故180()180(6050)70E C A B ∠=∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出C ∠和E ∠是对应角是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．
【详解】
解：
A 、∵AD DE A
B BC
=，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理.
无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误； B 、AD AE
AC AB
= EAD BAC ∠=∠，
ADE ACB ∴∆∆∽，
E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，
即不能推出//DE BC ，故本选项错误；
C 、由A
D AB D
E BC ⋅=⋅可知AB DE BC AD
=，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；
D 、∵AD AC AB A
E ⋅=⋅，
AD AE AB AC
∴=， EAD BAC ∠=∠，
DAE BAC ∴∆∆∽，
D B ∴∠=∠，
//DE BC ∴，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似．
7．34a b -+
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．
【详解】
解：2(32)(2)b a a b -+-=642b a a b -+-=34a b -+
故答案为：34a b -+.
【点睛】
此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．
8．325
； 【解析】
【分析】
根据DE ∥BC 可得ADE ABC ∆∆∽,再由相似三角形性质列比例式即可求解．
【详解】
解：//DE BC ，
ADE ABC ∴∆∆∽，
AE DE AC BC
∴=， 又∵5AE =，3EC =，4DE =，
5453BC
∴=+， 解得：325
BC = 故答案为：
325
． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，找准对应线段是解题的关键．
9．6
【解析】
【分析】
由平行得比例，求出DE 的长即可．
【详解】
解：
////AD BE FC ， 23
AB DE BC EF ∴==， 15DF =，
2153
DE DE ∴=-， 解得：DE 6=，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
10．12
． 【解析】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ）， ∴
BP AP AP AB =．故答
． 点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键． 11．答案不唯一（如22y x x =-）
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线1x =的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c 为0，即可得到答案.
【详解】
解：∵对称轴是直线1x =的抛物线可为：22(1)21y x x x =-=-+
又∵抛物线经过原点，即C=0，
∴对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式可以为：22y x x =-， 故本题答案为：22y x x =-（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．
12．
【解析】
【分析】
在Rt BDC ∆中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出BD ，在在Rt ABD ∆中，再求出AB 即可．
【详解】
解：在Rt BDC ∆中，
3
28sin 433CD BC DBC ∴=⨯∠=⨯=，
BD ∴==， 90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，
A DBC ∴∠=∠，
在Rt ABD ∆中，
3
sin 2
BD AB A ∴===∠
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
13．79
； 【解析】
【分析】
过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由于1cos 3
B ∠=，所以13BD B
C =，13
BE AC =，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出AD 的长度．
【详解】
解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点B 作BD AC ⊥于点D ，
1cos 3
B ∠=，
3AB 3
BC AB=AC=3，
∴BE=EC=1，BC=2， 又∵13
BD BC =， ∴BD=23, 27333
AD AC CD ∴=-=-=， ∵cos A ∠=AD AC
， ∴7
73==39
AD AC ， 故答案为：79
. 【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．
14．23122y x x =-+；
【解析】
【分析】
根据题意和三角形相似，可以用含x 的代数式表示出DG ，然后根据矩形面积公式，即可得到y 与x 的函数关系式．
【详解】 解：四边形DEFG 是矩形，12BC =，BC 上的高8AH =，DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，
//DG EF ∴，
ADG ABC ∴∆∆∽， ∴
8812
x DG -=， 得3(8)2
x DG -=， 23(8)3·1222x y x x x -∴==-+，
故答案为：23122
y x x =-+．
【点睛】
本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．48
5
【解析】
【分析】
先由勾股定理求出BE ，再过点B 作BF AF ⊥于F ，由
CBE FBA ∆∆∽的比例线段求得结果即可．
【详解】
解：过点B 作BF AF ⊥于F ，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米，1
CE 2=CD
8∴=CE 厘米，
90C ∠=︒，
由勾股定理得：10BE ==，
90BCE FBE ∠=∠=︒，
EBC ABF ∴∠=∠，
90BCE BFA ∠=∠=︒，
CBE FBA ∴∆∆∽，
BE
BC
AB BF ∴=， 即106
16BF =，
48
5BF ∴=．
故答案为：
485
． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
16．92
【解析】
【分析】
根据题意得到点G 是△ABC 的重心，根据重心的性质得到DG=12
AD ，CG=23CE ，BG=23
BF ，D 是BC 的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC 即可解答.．
【详解】
解：延长AG 交BC 于D 点，
∵中线BF 、CE 交于点G ，
∵△ABC 的两条中线AD 、CE 交于点G ，
∴点G 是△ABC 的重心，D 是BC 的中点，
∴AG=23AD ，CG=23CE ，BG=23
BF ， ∵5AG =，6BF =， ∴52DG =
,4BG =. ∵CE ⊥BF ，即∠BGC=90°，
∴BC=2DG=5，
在Rt△BGC 中，，
∴3922
CG CG ==， 故答案为：92
. 【点睛】
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键.
17．8或92
； 【解析】
【分析】
分类讨论：当ADE ABC ∆∆∽，根据相似的性质得
AD AE AB AC =；当AED ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AE AD AB AC
=，然后分别利用比例性质求解即可．
【详解】
解：DAE BAC ∠=∠，
∴当ADE ABC ∆∆∽，则AD AE AB AC =，即6129
AD =，解得8AD =； 当AED ABC ∆∆∽，则AE AD AB AC =，即6129AD =，解得9 2
AD =， 综上所述，AD 的长为8或92
． 故答案为：8或
92
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.
18．118-．
【解析】
【分析】
由已知可得ABE DAE ，从而可知32
AB AD BE AE ==，2AE BE DE =， 设AB=3x ，则BE=2x ，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x 表示DE 和BC ，从而解答
【详解】
解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD ，∠ADE=∠B+∠BAD ，
又∵∠DAE=∠B=30°，
∴∠BAE=∠ADE ，
∴ABE DAE ， ∴32
AB AD BE AE ==，2AE BE DE =， 过A 点作AH ⊥BC ，垂足为H ，
设AB=3x ，则BE=2x ，
∵∠B=30°，
∴1322AH AB x ==，BH AB ==，
∴2EH BH BE x ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭
，
在Rt AHE 中，(22222232132AE AH EH x x x x ⎫⎛⎫=+=+-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵2AE BE DE =，
∴(2132x x DE -=，
∴DE x =， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
∴2BC BH ==，
∴1x DE BC ==-，
故答案为：1x DE BC ==- . 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB 与BE 的关系是解题的关键．
19．0
【解析】
【分析】
原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】
解：原式
1
=0．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．
20．（1）13
a b +；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）先表示出DE ，继而可表示出AE ；
（2）延长AE 、BC 交与G 即可．
【详解】
解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD AB a ==， ∵1
2DE
CE =， ∴133
1DE BC a ==， ∴1133
AE AD DE b a a b =+=+=+； （2）如图，延长AE 、BC 交与G ，则GB 即为所求．
四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴12
DE CE AE EG ==， ∴3AG AE =，
又∵AE c =， ∴3AG c =
∴3GB AB AG a c -=-=.
【点睛】
本题考查了平面向量及平行四边形的性质，解答本题注意利用平行线分线段成比例的知识，难度一般．
21．（1）无人机的高约为19m ；（2）无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒
【解析】
【分析】
（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，设CH x =，则BH x =．解直角三角形即可得到结论；
（2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解： （1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．
∵45CBA ∠=︒，
∴BH CH =．
设CH x =，则BH x =．
∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=︒，
∴AH ==．
∴50x =． 解得：18
x =≈ ∴ 18119+=．
答：计算得到的无人机的高约为19m ．
（2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ．
在Rt △AGF 中，tan FG
FAG AG ∠=．FG=CH=18,
∴tan 401821.40.84
FG
AG =≈≈．
又31.14AH =≈．
∴ 31.1421.452-≈或31.1421.4262
+≈. 答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）开口方向向下，点A 的坐标是(2,3)-，在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）点B 的坐标为(4,2)-
【解析】
【分析】
（1）先化为顶点式，然后由二次函数的性质可求解；
（2）如图，设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD BD ⊥，设线段AD 的长为m ，则·cot 2BD AD ABC m =∠=，可求点B 坐标，代入解析式可求m 的值，即可求点B 坐标．
【详解】
解：（1）抛物线22112(2)344
y x x x =--+=-++的开口方向向下， 顶点A 的坐标是(2,3)-，
抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；
（2）如图，设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD BD ⊥．
设线段AD 的长为m ，则·
cot 2BD AD ABC m =∠=， ∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---， 代入2124y x x =--+，得213(22)(22)24
m m m -=------+． 解得10m =（舍)，21m =，
∴点B 的坐标为(4,2)-．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B 坐标是本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．
（2）由ACF CDE ∆∆∽，CDE CBF ∆∆∽，推出ACF CBF ∆∆∽，可得
2
2ACF CBF S AC S BC ∆∆=，又ACF ∆与CBF ∆等高，推出ACF CBF
S AF S BF ∆∆=，可得结论22AC AF BC BF
=． 【详解】
解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
//CD AB ∴，//AD BC ，
CDE DAB ∴∠=∠，CBF DAB ∠=∠，
CDE CBF ∴∠=∠，
CE AE ⊥，CF AF ⊥，
90CED CFB ∴∠=∠=︒，
CDE CBF ∴∆∆∽， ∴BC CD BF DE
=， 四边形ABCD 是平行四边形，
BC AD ∴=，CD AB =，
∴AD AB BF DE
=， ··AD DE AB BF ∴=．
（2）如图：
CF AC DE CD
=，90CED CFB ∠=∠=︒， ACF CDE ∴∆∆∽，
又CDE CBF ∆∆∽，
ACF CBF ∴∆∆∽， ∴2
2ACF CBF S AC S BC
∆∆=， 又∵
1212ACF
CBF AF CF S AF S BF BF CF ∆∆==， ∴22AC AF BC BF
=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）23y x =+；（2）2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+；（3）结论成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设影子抛物线表达式是2y x n =+，先求出原抛物线的顶点坐标，代入2y x n =+，可求解；
（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，用待定系数法可求m ，k ，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】
解：（1）原抛物线表达式是2225(1)4y x x x =-+=-+
∴原抛物线顶点是(1,4)，
设影子抛物线表达式是2y x n =+，
将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =，
所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+；
（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，
则原抛物线顶点是(,)m k -，
将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=①，
将(1,0)代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②，
由①、②解得1114m k =⎧⎨=⎩，22
21m k =-⎧⎨=⎩． 所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c 则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12)b b ≠ 由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a
-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，
得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩
消去n 得2212b b =，
12b b ≠，
12b b ∴=- ∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a
--， 1P ∴、2P 关于y 轴对称．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．
25．（1
）4-2）2224x x y x
-+= (02x <<)；（3）23AE =或1AE = 【解析】
【分析】
（1）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．AE x =，则2EC x =-．根据BG EG =构建方程求出x 即可解决问题．
（2）①证明AEF BEC ∆∆∽，可得2
2
BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．
②分两种情形：当120CAD ∠<︒时，当120180CAD ︒<∠<︒时，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，
2AB BC AC ∴=-=，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠．
AD AC =，
AD AB ∴=，
ABD ADB ∴∠=∠，
180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒，90CAD ∠=︒，15ABD ∠=︒， 45EBC ∴∠=︒．
过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．
设AE x =，则2EC x =-． 在Rt CGE ∆中，60ACB ∠=︒，
∴·sin (2)2
EG EC ACB x =∠=-，1·cos 12CG EC ACB x =∠=-， 1212
BG CG x ∴=-=+， 在Rt BGE ∆中，45EBC ∠=︒，
∴11)2x x +=-，
解得4x =-
所以线段AE 的长是4-．
（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-． AD AC =，AH CD ⊥， ∴1602
CAF DAC α∠=∠=︒-， 又60AEF α∠=︒+，
60AFE ∴∠=︒，
AFE ACB ∴∠=∠，
又AEF BEC ∠=∠，
AEF BEC ∴∆∆∽， ∴2
2BCE AEF S BE S AE
∆∆=， 由（1）得在Rt CGE ∆中，112BG x =+
，)EG x =
-， 222224BE BG EG x x ∴=+=-+， ∴2224(02)x x y x x
-+=<<． ②当120CAD ∠<︒时，
7y =，则有22247x x x
-+=， 整理得2320x x +-=， 解得23x =
或1-（舍弃）， 23
AE =． 当120180CAD ︒<∠<︒时，同法可得22
24x x y x ++=
当7y =时，22247x x x
++=， 整理得2320x x --=， 解得23
x =-（舍弃）或1， 1AE ∴=．
综上所述：当∠CAD<120°时，23
AE =
； 当120°<∠CAD<180°时，1AE =. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。