山东省烟台市牟平育英艺术中学2022年高三数学文联考试题含解析

山东省烟台市牟平育英艺术中学2022年高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
2. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，若是抛物线的准线与轴的交点，则
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 函数的单调增区间是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
略
4. 若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．2 参考答案：
5. 若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）
=0?a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．
解答：解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立
故a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题
而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立
故（a﹣1）（a﹣2）=0?a=2为假命题
故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件
故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）
=0?a=2是解答本题的关键．
6. 已知,则
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
7. 设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时∠P=( )
A．60°B．45°C．30°D．120°
参考答案：
A
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离求出PC，然后求出∠P的大小．
解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；
由题意过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，
显然PC最小时四边形面积最小，
即PC最小值==2．
，
∠CPA=30°，所以∠P=60°．
故选A．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，考查计算能力．
8. 若函数为奇函数，且在上为减函数，则的一个值为（）A．B． C. D．
参考答案：
D
由题意得，
∵函数为奇函数，
∴，故．
当时，，在上为增函数，不合题意．
当时，，在上为减函数，符合题意．选D．
9. 执行如图所示的程序框图，当输入,时，则输出的的值是
A.9
B.8
C.7
D.6
参考答案：
C
10. 给出计算 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是
（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义域为实数集
的函数
,若对任意两个不相等的实数，都有
，则称函数为“
函数”，现给出如下函数：
①②
③④
其中为“
函数”的有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.①②③
参考答案：
C
试题分析：解：对于任意给定的不等实数
，不等式
恒成
立
不等式等价由为
恒成立
即函数是定义在
上的增函数
①函数在定义域上不单调，不满足条件 ②为增函数，满足条件
③
，
，函数单调递增，满足条件
④，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件，
综上满足“
函数”的函数为②③，故答案为C.
考点：函数单调性的应用.
12. 已知定义在R 上的函数，则成立的整数x 的取值的集合
为
．
参考答案：
13. 已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线．给定下
列三条曲线：
①；②；③．
其中，是型曲线的有__________．
参考答案：
①③ ∵
在
之外，∴①正确，是
型曲线．
对于曲线②，表示圆
的第二象限的
部分，显然不存在，故②不是
型曲线．
对于曲线③，表示位于第四象限的一支双曲线，以为圆心做顶角为的圆弧，易知与之相交时，符合条件，∴③是型曲线．
∴答案为①③
14. 已知平面向量，，且，则向量与的夹角
为
．
参考答案：
15.
定义在
R 上的偶函数满足：上是增函数，给出下列判
断：
①是周期函数；②的图像关于直线x=1对称；
③在[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；
⑤
其中正确的命题是。

参考答案：
①②⑤
略
16. 已知复数(i为虚数单位),则的实部为▲ .
参考答案：
17. 在数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n-1+n，若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分13分)已知椭圆C:( )的离心率为,点(1,)在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程; ks5u
(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是,证明直线AB恒过椭圆的右焦点;
(Ⅲ)试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.
参考答案：
(Ⅰ)设椭圆C的方程为()
①
点(1,)在椭圆C上,②,
由①②得:
椭圆C的方程为，……………… 4分
(Ⅱ)设切点坐标,,则切线方程分别为,.
又两条切线交于点M(4,),即,
即点A、B的坐标都适合方程,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点. ……………… 7分
(Ⅲ)将直线的方程，代入椭圆方程,得
,即
所以,……………… 10分
不妨设,,
同理
所以==
所以的值恒为常数.……………… 13分
19. 已知椭圆C的左，右焦点分别为，且该椭圆过点。

（I）求椭圆C的方程；
（II）已知定点，过原点的直线与曲线C交于两点，求面积的最大值。

参考答案：
【知识点】椭圆，直线与圆锥曲线位置关系H5 H8
（I）；（II）
（I）由已知可设椭圆方程为，则有，解得，所以所求的椭圆方程为；
（II）①当直线斜率不存在时，;
②当直线斜率存在时，设直线l:y=kx与椭圆交于，将y=kx代入椭圆方程得
，点A到直线l的距离，所以
，所以当时面积最大为，综上可知所求面积的最大值为
【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.
20.
已知二次曲线的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）对于点，是否存在曲线交直线于、两点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）已知与直线有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．
参考答案：
解析：（1）当且仅当即时，方程表示椭圆；
当且仅当，即时，方程表示双曲线．
（2）联立得：
有两个实根
或
设：，由，得到
，得到，所以不存在
（3）因为为双曲线，所以由，可得
双曲线实轴，所以最长时，此时双曲线方程为
21. （本小题满分14分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，＝，记数列的前项和.若对，
恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）（2）
知识点：等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等价转化；基本不等式的性质.
解析：解：（1）当时，，当时，
即：，数列为以2为公比的等比数列
（2）由b n＝log2a n得b n＝log22n＝n，则c n＝＝＝－，
T n＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.
∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，
∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为
思路点拨：（1）当时，解得．当时，，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用对数的运算性质可得，利用“裂项求和”即可得出：数列的前项和．由
于对，恒成立，可得≤k(n＋4)，化为k≥，利用基本不等式的性质即可得出．
22. 将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一
半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．
（2）由题意可得当x∈[0，3π]时，函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合可得m 的范围．
【解答】解：（1）将y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin（x+）的图象，保持纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，
可得y=f（x）=sin（x+）的图象．
（2）∵x∈[0，3π]，∴x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣1，1]，
∵当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，∴函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，
如图所示：故方程f（x）=m有唯一实数根的m的取值范围为（﹣，）∪{1，﹣1}．。