2021年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形 专题测试题

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2021年中考数学一轮复习：解直角三角形 专题测试题
一、选择题
1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，BC =3，则sin ∠B 的值为( )
A. √74
B. 4
5
C. 3
4
D. √75
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，过C 作⊙O 的
切线CD ，切点为D ，连接AD.若⊙O 的半径为6，tanC =3
4，则线段AC 的长为( ) A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tanA =5
12，则cos A 等于( )
A. 5
12
B. 12
5
C. 5
13
D. 12
13
4. 在△ABC 中，∠C =90°，若cosA =1
3，则sin B 的值为( )
A. 1
3
B. 2
3
C. √33
D. 1
5. 在△ABC 中(2cosA −√2)2+|1−tanB|=0，则△ABC 一定是( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
6. 如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC =120°，
则tan A 的值为( ) A. √3 B. √3
3
C. 1
D. √2
2
7. 点M(tan 60°,−cos 60°)关于x 轴的对称点N 的坐标是( )．
A. (−√3,1
2)
B. (√3,1
2)
C. (√3,−1
2)
D. (−√3,−1
2)
8. 如图在△ABC 中，AC =BC ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过D 作DE//BC 交AC 于点E ，若BD =6，
AE =5，则sin ∠EDC 的值为( )
A. 3
5 B. 7
25
C. 4
5 D. 24
25
9. 如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出看塔顶的仰角为30°，从
C 点向塔底走100米到达
D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的
高为( ) A. 50√3米 B. 100√3米 C. 100
√3+1米 D. 100√3−1米
10. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为( )
A. 5cos40°米
B. 5sin40°米
C. 5
tan45∘米
D. 5
cos45∘米
11. 如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影
子分别是BC 、CD ，测得BC =6米，CD =4米，∠BCD =150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB 的高度为( )
A. 2+2√3
B. 4+2√3
C. 2+3√2
D. 4+3√2
12. △ABC 中，∠ACB =90°，
CD ⊥AB 于D ，已知：cos ∠A =4
5，则sin ∠DCB 的值为( )
A. 9
25 B. 45 C. 35 D. 1625 二、填空题
13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，
EF ⊥AC 于点F.若tan ∠BAC =2，EF =1，则AE 的长为______．
14. 如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD =15
√3米，在实验楼顶部B 点
测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是______米(结果保留根号)．
15. 如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60海里
的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是______海里．
16. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转
得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为______ ．
17. 如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，
AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC =30米，若甲建筑物高AB =28米，在点A 测得
D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC =______米．
18. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足b 2=(c +a)(c −a)，
若5b −4c =0，则sinA +sinB 的值为______． 三、解答题
19. 计算：cos 230°−√12+1
4(√3−sin45°)0+3tan60°．
20. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，
AD 是BC 边上的中线．若AB =8，求AD 的长．
21. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 是AD 的中点，连接CE 并延长交边AB 于点F ，AC =13，
BC =8，cos ∠ACB =5
13.
(1)求tan ∠DCE 的值； (2)求AF
BF 的值．
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22. 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B
处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．
23. 如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD ，其中AD//BC ，坝顶BC =10米，坝高20米，斜坡AB 的坡度
i =1：2.5，斜坡CD 的坡角为30°．
(1)求坝底AD 的长度(结果精确到1米)；
(2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料(参考数据：
√2≈1.414,√3≈1.732)
24. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学
八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l 旁选取一点P ，在公路l 上确定点O 、B ，使得PO ⊥l ，
PO =100米，∠PBO =45°.这时，一辆轿车在公路l 上由B 向A 匀速驶来，测得此车从B 处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO =60°.此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由(参考数据：√2=1.41，√3=1.73)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图：
∵∠C=90°，AB=4，BC=3，∴AC=
√42−32=√7，
∴sin∠B =√7
4
，
故选：A．
首先画出图形，然后再利用勾股定理计算出AC的长，再利用三角函数定义计算出sin∠B的值即可．此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．
2.【答案】C
【解析】解：连接OD，
∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∵tanC=3
4
，OD=6，
∴6
DC =3
4
，
∴DC=8，
∴OC=√82+62=10，
∴AC=AO+OC=16，
故选：C．
连接OD，则易证△ODC为直角三角形，利用已知数据可求出CD的长，在利用勾股定理可求出OC的长，进而可求出线段AC的长．
本题考查了切线的性质定理的运用、勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，熟练运用和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
3.【答案】D 【解析】解：如图：
设BC=5x，
∵tanA=5
12
，
∴AC=12x，AB=√AC2+BC2=13x，
∴cosA=AC
AB
=12x
13x
=12
13
．
故选：D．
根据tanA=5
12
求出第三边长的表达式，求出cos A即可．
本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，
则sinB=cosA=1
3
．
故选：A．
根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．
5.【答案】D
【解析】解：由，(2cosA−√2)2+|1−tanB|=0，得
2cosA=√2，1−tanB=0．
解得∠A=45°，∠B=45°，
∴∠A=∠B，∠C=90°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的值，由三角形内角和定理，可知∠C=90°，根据等腰直角三角形的判定，可得答案．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的性质，三角形内角和定理，正切三角函数的定义，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．
【解答】
解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABO,∠OCB=∠ACO,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−2(∠OBC+∠OCB)=180°−2×(180°−∠BOC)= 180°−2×(180°−120°)=60°，
∴tanA=tan60°=√3，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：∵tan60°=√3，−cos60°=−1
2
，
∴点M坐标为(√3,−1
2
)，
∴点M′的坐标是(√3,1
2
).
故答案为B．
先根据三角函数，求得tan60°和−cos60°，再根据关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；即可得出答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x 轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，
∵AE=5，DE//BC，
∴AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，∴sin∠EDC=sin∠BCD=BD
BC
=6
10
=3
5
，
故选：A．
由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE//BC知AC= 2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．
9.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
∴AB
BC
=tan30°=√3
3
，
∴BC=√3AB．
设AB=x(米)，
∵CD=100，
∴BC=x+100．
∴x+100=√3x
∴x=
√3−1
米．
故选：D．
首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x(米)，再利用CD=BC−BD=100的关系，进而可解即可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，cosA=AC
AB
，
则梯子底端到墙角的距离AC=AB⋅cosA=5cos40°，
故选：A．
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根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 11.【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF 、CF 的长，根据正切的定义求出EF ，得到BE 的长，根据正切的定义解答即可． 【解答】
解：延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，
∵∠BCD =150°， ∴∠DCF =30°， 又CD =4，
∴DF =2，CF =√CD 2−DF 2=2
√3，
由题意得∠E =30°， ∴EF =
DF tan ∠E
=2√3，
∴BE =BC +CF +EF =6+4√3， ∴AB =BE ×tan ∠E =(6+4√3)×√3
3
=(2√3+4)米，
故选：B ． 12.【答案】C
【解析】解：∵cos ∠A =4
5=AC
AB ， ∴设AC =4a ，则AB =5a ，
∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，BC =√AB 2−AC 2=√(5a)2−(4a)2=3a ， ∴∠A +∠B =90°，∠DCB +∠B =90°， ∴∠A =∠DCB ， ∴sin ∠DCB =sin ∠A =BC AB
=
3a
5a =3
5
； 故选：C ．
设AC =4a ，则AB =5a ，由勾股定理求出BC =3a ，由直角三角形的性质得出∠A =∠DCB ，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 13.【答案】√5
【解析】解：∵在矩形ABCD 中，∠B =90°，tan ∠BAC =2 ∴BC
AB =2，
∵AD =BC ，CD =AB ， ∴CD
AD =1
2，
∴tan ∠EAF =1
2， ∵EF =1， ∴AF =2，
∴AE =√AF 2+EF 2=√22+12=√5， 故答案为：√5．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 14.【答案】(15+15√3)
【解析】解：过点B 作BE ⊥AB 于点E ，
在Rt △BEC 中，∠CBE =45°，BE =15√3；可得CE =BE ×tan45°=15√3米． 在Rt △ABE 中，∠ABE =30°，BE =15√3，可得AE =BE ×tan30°=15米．
故教学楼AC的高度是AC=(15√3+15)米．
答：教学楼AC的高度是(15√3+15)米．
首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
15.【答案】(30+30√3)
【解析】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD
AC
，
∴CD=AC⋅cos∠ACD=60×√3
2
=30√3．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30√3，
∴AB=AD+BD=30+30√3．
答：这时轮船B与小岛A的距离是(30+30√3)海里．
故答案为：(30+30√3).
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用−方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16.【答案】1
3
【解析】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=CD
BD =1
3
，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故答案为1
3
．
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD 中求tan B．
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．17.【答案】58
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E．
根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30．
∴DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58米．
故答案为：58．
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形
△ADE、△DBC，应借助AE=BC得到方程求解．
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18.【答案】7
5
【解析】解：∵b2=(c+a)(c−a)，
∴b2=c2−a2，
即：a2+b2=c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形，
∵5b−4c=0，
∴b
c
=4
5
，
设b=4k，则c=5k，
∴△ABC中，a=3k，
∴a
c
=3
5
，
∴sinA+sinB=a
c
+b
c
=3
5
+4
5
=7
5
．
故答案为：7
5
．
把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．
本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比．
19.【答案】解：原式=(√3
2
)2−2√3+1
4
×1+3×√3
=
3
4
−2√3+
1
4
+3√3
=1+√3．
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【解析】原式利用特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及零指数幂法则计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则及平方根定义是解本题的关键． 20.【答案】解：在Rt △ABC 中，∵∠B =30°，
∴cos ∠B
=BC AB
=
√3
2
，AC =12
AB =4．
∴BC =
√3
2
AB =
√3
2
×8=4√3．
∵AD 为中线，
∴CD =12
BC =2√3．
在Rt △ACD 中，AD =√AC 2+CD 2=2√7．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键.根据∠B =30°，由三角函数分别求出AC 和BC 的长.再由AD 为中线，计算CD 的长，最后在Rt △ACD 中，由勾股定理计算AD 的长即可．
21.【答案】解：(1)∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC =90°，
在Rt △ADC 中，AC =13，cos ∠ACB =5
13=CD
AC ， ∴CD =5，
由勾股定理得：AD =√132−52=12， ∵E 是AD 的中点， ∴ED =1
2AD =6， ∴tan ∠DCE =ED
CD =6
5；
(2)过D 作DG//CF 交AB 于点G ，如图所示： ∵BC =8，CD =5， ∴BD =BC −CD =3， ∵DG//CF ，
∴BD
CD =BG
FG =3
5，AF
FG =AE
DE =1，
∴AF =FG ，
设BG =3x ，则AF =FG =5x ，BF =FG +BG =8x ∴AF
BF =5
8．
【解析】(1)由三角函数定义求出CD =5，由勾股定理得出AD =12，求出ED =1
2AD =6，由三角函数定
义即可得出答案；
(2)过D 作DG//CF 交AB 于点G ，求出BD =BC −CD =3，由平行线分线段成比例定理得出BD
CD =BG
FG =35，AF
FG
=AE DE
=1，得出AF =FG ，设BG =3x ，则AF =FG =5x ，BF =FG +BG =8x ，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
22.【答案】解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，
由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH =30°， ∴AB =DH =1.5，BD =AH =6， 在Rt △ACH 中，tan ∠CAH =CH
AH ， ∴CH =AH ⋅tan ∠CAH ，
∴CH =AH ⋅tan ∠CAH =6tan30°=6×√3
3
=2√3(米)，
∵DH =1.5， ∴CD =2√3+1.5， 在Rt △CDE 中，
∵∠CED =60°，sin ∠CED =CD
CE ， ∴CE =CD
sin60∘=(4+√3)(米)， 答：拉线CE 的长为(4+√3)米．
【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23.【答案】解：(1)作BE⊥AD于E，CF⊥AD
于F，
则四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=10米，
∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，
∴AE=50米，
∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，
∴DF=CF
tan30∘
=20√3≈35米，
∴AD=AE+EF+FD=95米；
(2)建筑这个大坝需要的土石料：1
2
×(95+10)×20×100=105000米 3．
【解析】(1)作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念求出AE的长，根据直角三角形的性质求出DF 的长，计算即可；
(2)根据梯形的面积公式计算．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，正确作出辅助线、正确坡度的定义、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：此车超速，
理由：∵∠POB=90°，∠PBO=45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB=OP=100米，
∵∠APO=60°，
∴OA=√3OP=100√3≈173米，
∴AB=OA−OB=73米，
∴73
3
≈24米/秒≈86千米/小时>80千米/小时，
∴此车超速．【解析】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．解直角三角形得到AB=OA−OB=73米，求得此车的速度≈86千米/小时>80千米/小时，于是得到结论．
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