并联电路中的电阻关系

四、并联电路中的电阻关系
五、欧姆定律的应用
【学习要求】
1．知道什么是并联电路，能区别串联电路和并联电路。

2．理解并联电路中各个导体的电流、电压、电阻跟电路的总电流、总电压、总电阻的关系。

3．能运用欧姆定律求解并联电路的常见问题。

【知识讲解】 一、知识回顾
1．电路的联接有两种基本方式，一种是将元件逐个顺次地联接起来，叫做串联；另一种是将元件并列地连接起来，叫做并联。

2．串联电路电流无分支，并联电路中电流要分成两条或多条支路；串联电路可以同时控制，而并联电路可以分别控制。

二、并联电路 1．问题的提出
修电子仪器时，需要一个5千欧的电阻，而手头只有20千欧、10千欧等多个电阻，那么可以把20千欧或10千欧的电阻组合起来代替？
并联电阻的知识，可以帮助我们解决这类问题，也可以用几个阻值大一些的电阻组合起来形成一个总电阻来代替一个阻值小的电阻。

2．电阻的并联，把几个电阻并列地连接起来叫电阻的并联.如图 我们学过并联电路的部分特点
a. 并联电路干路中的电流等于各支路中的电流之和
I ＝I 1＋I 2
b. 并联电路里，各支路两端的电压相等 U ＝U 1＝U 2
利用上面并联电路中两个特点和欧姆定律，可以推导出电阻并联后的总电阻与各个电阻之间的关系。

如图所示： 设并联电阻的阻值为R 1、R 2，并联后的总电阻为R ，由于各支路的电阻R 1、R 2两端的电压都等于U ，
根据欧姆定律，可求得：
支路电流1
1R U
I = 和 22R U I =
干路上的电流R
U
I = ，其中R 为并联电路的总电阻
∵ I ＝I 1＋I 2 即2
1R U
R U R U +
= 又∵ U ＝U 1＋U 2 故211
11R R R +
= 3．结论：这表明并联电路的总电阻的倒数，等于各并联电阻的倒数之和。

提出的问题，现在可以知道了，把两只10千欧的电阻并联起来就可以得到5千欧的电阻了。

从决定电阻大小的因素来看，把几个电阻并联起来，总电阻比任何一个电阻都小，这相当于增大了导体的横截面积。

三、对2
11
11R R R +
=的理解
①并联电路的总电阻比任何一个分电阻都小，即：R ＜R 1，R ＜R 2，可以理解为电阻并联时，相当于增加了导体的横截面积，而横截面积越大，导体电阻越小；例如，一个6欧和一个3欧的电阻并联后，总电阻为2欧，小于任何一个并联电阻。

②并联电阻越多，相当于横截面积越大，所以总电阻越小；例如，一个6欧、一个3欧和一个2欧的电阻并联后，6欧与3欧的等效电阻为2欧，再与2欧的电阻并联，总电阻为1欧，同样小于任何一个并联电阻。

③如果并联电路的某一个电阻变大，此时总电阻也会变大。

一个6欧和一个3欧的电阻并联后，总电阻为2欧；当用另一个6欧的电阻代替3欧的时，等效电阻变为3欧，变大了。

④
n
R R R R
n =
总总，则为的电阻并联后，总电阻个阻值为 四．分流作用：并联电路中通过各导体的电流强度跟它的电阻成反比
：
1
2
21R R I I =
1
2
2122112
1222111R R
I I R I R I U U U R I U R I =====，即：所以，，而因为， 可见在并联电路中，电阻越小通过电流强度越大。

重、难点分析
1、串、并联电路的判断。

对电路的判断，常用有以下三种方法： （1）根据电路结构或控制特点直接判断
对比较简单的电路可直接根据串联、并联电路的定义或控制特点判断。

（2）假设电流法（电流路径法）
在电路中明显是干路的地方假设有电流流过，根据电流的有无分支情况确定电路的联接方式。

如图2所示，该电路的联接方式是怎样的？
假设电流法是：假设电流由A 流入B 流出，电流流到C 点时出现分支，一部分流过R 1到达D 点，另一部分逐个顺次地流过R 2、R 3、R 4，同样到达D 点再流向B 。

所以，AB 间电路的连接方式：R 2、R 3、R 4串联，然后与R 1并联。

插入动画1
请同学们思考：在R 2、R 3的两端加导线如图3示，此时，电路的联接情况是怎样的？
（3）等效变形法（移线法）
这种方法认为导线无电阻，可以任意伸长缩短；导线可以沿着导线上移动（不能经过用电器和电源的开关），经过如此变形得到的电路与原电路是等效电路。

插入动画2
本题也可以用“电流路径法”进行分析，请同学们自己试一试。

2．怎样分析有关电路变化的题目?
有关电路变化的题目指的是“由于开关的启闭、滑动变阻器滑片移动引起电路电阻的改变，从而使电路中的电流、电压变化"的问题，一般分析此类问题的方法是：
（1）明确电路的接法，是串联，并联还是混联。

为了看清电路的连接情况，应把电表拿掉，即电压表可看作是断路，电流表可看作是短路。

（2）明确电表测量的是哪一段电路(或哪一个导体)的电流，还是哪一段电路(或哪一个导体)上的电压 （3）明确电路变化前后，电阻、电压和电流各量中哪些发生了变化，哪些量不变。

【典型例题】
例1．在图所示的电路中，电路两端电压U 恒定，R 1=3欧，R 2=6欧，I=3安，试求这段电路的总电阻，通过R 1、R 2的电流及这段电路两端的电压。

解析 先求出R 1、R 2并联的总电阻为R 总。

再由公式U 总=IR 总，求出电路两端的电压，进而求出每一支路上的电流。

解法一 根据并联电阻的公式：211
11R R R +
= 所以 ΩΩ61311+=R 故R=3Ω 根据欧姆定律 U=I ．R=3安×2欧=6伏
由并联电路特点 U=U 1=U 2 U=6伏
所以 安
欧
伏安，
欧
伏166R U I 236R U I 22111======
解法二 并联电路各支路两端的电压相等，结合欧姆定律可得，
U=I 1R 1 =I 2R 2
欧安
伏伏
欧安安安，安欧欧总236I U R 632R I U 2I 1I 3I 3I I I I 2I 1
236R R I I 11122212
12121===
=⨯======+=====
说明：（1）解题中出现1
221R R
I I =是一个很有用的结论。

它表示在并联电路中，各支路上电流分配跟电阻成反比。

R 1
是R 2的几倍，I 1就是I 2的几分之一。

在解题过程中直接运用这一结论，可简化解题的过程。

（2）利用并联电路特点和欧姆定律解题时，除注意I 、U 、R 的对应关系外，还应从不同角度思考解题途径，从而提高思维的灵活性。

例2 证明在两个电阻并联，其总电阻小于分电阻阻值最小的1个电阻。

已知：R 1和R 2，且R 1> R 2，并联后的总电阻为R 。

求证：R< R 2
证明：由于R 1、R 2并联后的总电阻为Ｒ，所以2
11
11R R R +
= 22
11
2121R R R R R R R R R ⋅+=+=
因为 R 1＋R 2>R 1,所以
2
11
R R R +<1, R<R 2
例3．在图所示的电路中，电源电压恒定，当开关闭合时，电路中各电表的示数如何变化?
解析 当开关闭合时，电阻R 2与电阻R 1并联，电路的总电阻减小，电流表A 的示数增大。

因为R 1两端的电压是电源电压，且保持不变，所以通过R 1的电流不变，电压表的示数和电流表A 1的示数郡不变。

例4．如下图所示电路，已知A 1的示数为3A,A 的示数为5A ，R 1=9Ω，求R 2的阻值及A 2表的示数。

A
R 1
R 2
A 1
A 2
解析：这是一个典型的运用欧姆定律和并联电路性质的题。

欲求R 2，必须知道U 2和I 2，但这两个数据都不是直接已知
的，需要分别求解；由并联电路性质可知：U2=U1，U1可根据对R1运用欧姆定律求解，U1=I1．R1=27伏；I2=I－I1=2安，然后利用欧姆定律可解得：R2=13.5欧。

小结：在正确识图的基础上，灵活运用并联电路性质和欧姆定律求解未知量。

例5．如图56所示的电路中，电压U保持恒定，R1:R2＝2:3。

当K断开和K闭合两种情况安培表的读数之比是（）
A．3:5B．5:3
C．3:2D．2:3
分析：
开关K断开时，电流表测量R1的电流；而开关闭合后，电流表测量是总的电流。

根据并联电路中电流与电阻成反比，I1：I2=R2：R1=3：2，那么开关断开与闭合安培表的读数之比就是R1中的电流I1与干路电流I2’之比，I1：I2’= I1：（I1+ I2）=3：5。

所以，本题选A。

答案：A
小结：认清电路是关键；灵活运用比例法能起到事半功倍的效果。

例6．请分析图5-6、图5-5中电路的连接方式，和电流表电压表测量的对象。

分析：
电压表由于其对电流的阻碍作用很大，在电路中通常视为开路；而电流表它对电流的阻碍作用通常很小，在电路中通常视导线。

那么图5-6可以等效替代为图5-7，而图5-5则可以等效替代为图5-9。

此时，图5-7为R1、R2、R3三个电阻串联，两个缺口位置为电压表的位置，显然V1测量是R1、R2两端的电压，V2测量是R2、R3两端的电压；而图5-9则与图4相同，为三个电阻并联，流过A1表的电流同时也流过R2、R3，所以，A1测量的是R2、R3的总电流；而流过A2的电流是先流过R1和R2的，所以，A2测量的是R1、R2的总电流。

小结：学会处理电路中电流表和电压表的问题和电路结构的分析。

例7．如图所示的电路。

R1=30欧，R3=50欧，A1的示数为0.5安，A2的示数为0.7安，求R2和AB两端的电压是多少？
分析：
已经知道R1、R2、R3为并联电路，A1测量是R2和R3的总电流，A2测量是R1和R2的总电流。

设R1中的电流为I1，R2中的电流为I2，R3中的电流为I3则I1+I2=0.7 I2+I3=0.5，两式相减，I1-I3=0.2，即I1=I3+0.2
由欧姆定律：I1R1=I2R2=I3R3将上式代入则有
(I3+0.2)R1=I3R3即：（I3+0.2）×30=50×I3解得：I3=0.5安
所以，I2=0.2安I1=0.5安
所以，由欧姆定律：U2=15伏R2=75欧
例8．如图所示，R1=10欧，R2=20欧，R3=30欧。

电源电压恒定不变。

若S1闭合，S2断开时电流表的读数为0.3安。

问:⑴电源的电压是多少？⑵当S1与S2均断开时，电流表的读数是多少？R1两端的电压是多少？⑶当S1与S2均闭合时，电流表的读数又是多少？通过R3电流强度是多少?
R 1A
R 2
R 3…
S 1
S 2
分析：
本题是一典型由开关形成不同电路的题型，因此，弄清电路的连接形式是关键。

当S 1闭合，S 2断开时，电路如下图-例5-1，此时电流表示数为0.3安；
R 1A
R 2
R 3…S 1
S 2
图-例5-1
A
R 2
…S 1图-例5-1
R 2=20欧I=0.3A
显然，电源电压等于R 2的电压U=6伏。

当S 1、S 2都断开时，电路如图-例5-2所示
R 1A
R 2
R 3…
S 1
S 2图-例5-2
R 1
A
R 2
…图-例5-2
R 1=10欧
R 2=20欧I=？
此时，R 1与R 2串联，总电阻R 12=30欧，所以，I=0.2安 当S 1、S 2都闭合时，电路如图-例5-3所示
A
…图-例5-3
S 2R 3
R 1
S 1
R 2
A
…图-例5-3
S 2R 3
S 1
R 2
R 3=30欧R 2=20欧
此时，R 2与R 3并联，电流表测量R 2的电流，I 2=0.3安；通过R 3的电流I 3=0.2安。

小结：
一般的思路是：根据不同情况将电路图和对应的物理量分别表示出来；在不同的电路图中间找到解题的联系点；运用串联、并联特点解题。

例9．如图46所示的电路，滑动变阻器的滑片P 固定在它的中点时，连入电路的电阻值为R ，当只闭合K 1时，R 与R 1上的电压之比是1：2；当只闭合K 2时，R 与R 2上的电压之比是1：4，如果把滑片P 移到a 端，则（ ）
A ．K 1、K 2闭合时，通过R 1与R 2的电流之比是1：2
B ．K 1、K 2闭合时，通过R 1与R 2的电流之比是2：1
C ．只闭合K 1时，滑动变阻器ab 两端的电压与电阻R 1两端的电压之比是1：1
D ．只闭合K 2时，滑动变阻器ab 两端的电压与电阻R 2两端的电压之比是1：1 分析：
本题是一由开关和滑阻共同改变电路结构的典型题，它在前一例题的基础之上增加了滑动变阻器的情况，但解题的基本思想方法不变，同样是根据不同情况将电路图和对应的物理量分别表示出来；在不同的电路图中间找到解题的联系点；运用串联、并联特点解题。

【中考链接】 1．（2000 云南曲靖）把两个电阻R 1、R 2并联起来，它们的总电阻是R 。

（1）用欧姆定律推导R 与R 1、R 2的关系 （2）分析、解释R 与R 1、R 2的大小关系
解析：
路电阻的倒数和。

总电阻的倒数等于各支即故
由于干路电流对干路用欧姆定律，得，得对各支路用欧姆定律，、两支路电阻分别为，、两支路电流分别为，时，干路电流为，两端电压为间总电阻为设）先作示意图
（能正确运用。

加深对知识的理解，更了解知识的来龙去脉，使我们导和分析解释很好，促与各支路电阻关系的推考查并联电路的总电阻2
12122
11212
2211121211111R R R U U U R U R U R U I I I R
U I R U I R U I R R I I I U R AB +===+=∴
+====
了对电流的阻碍作用。

了它的截面，因此减小电阻并联，相当于增大小。

值比任一支路电阻值都可见并联电路的总电阻＜即是＜同理
＜即是＜故的正数的积必然减小。

任何正数乘以小于的正数）
（分数为小于＞＞所以（皆为正数）
＞、＞由于或得）由
（2
2
22
11
1
11212
211
211
2
12
22112
11101001112R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⋅+⋅++⋅+⋅+=+=
2．（2001 苏州）如图所示电路中，电源电压为6伏，当开关S 闭合后，只有一支灯泡发光，且电压表V 的示数为6伏，产生这一现象的原因可能是（ ）
A ．灯L 1处短路
B ．灯L 2处短路
C ．灯L 1处断路
D ．灯L 2处断路 答：B 3．（1999 重庆市）如图所示，电压U 恒定，当开关S 闭合时A 的读数为0.3安；当S 断开时，A 的读数为0.1安，伏特表V 的读数为6伏，则灯泡L 1和灯泡L 2的电阻分别是R 1=________，R 2=________。

解析：
欧
欧欧则欧安
伏
伏而且知道了欧安
伏串联，由欧姆定律得、断开时，灯得发光，由欧姆定律短路，电灯中只有闭合时，导线将灯泡对电路的影响。

用，并能分析开关此题考查欧姆定律的应串串402060R R R 203.06I U R 6V U 601.06I V I U R L L S I U R R U I L L S S 12112211
112=-=-====
∴========
答：20欧，40欧 4．（2000 北京市崇文区）如图，电源电压保持不变，灯丝电阻不随温度变化，开关S 1、S 2由闭合到断开，电流表的示数的变化和灯L 亮度的变化是（ ）
2
A ．电流表的示数变小，灯L 变亮
B ．电流表的示数变小，灯L 变暗
C ．电流表的示数变大，灯L 变亮
D ．电流表的示数变大，灯L 变暗 解析：
变暗
即电流表示数变小，灯＜＇＜＇
，此时＇＜＞，＇串联，电流表示数与断路，灯断开时，、开关，数为表示两端为电源电压，电流并联，灯与短路。

灯闭合时，、开关分析判断。

，能正确使用欧姆定律考查开关对电路的影响灯
＇灯＇灯并
串串
灯并L I I U U R U I I I R R R U
I R L R S S R U
I R U I L R L R S S L
1221L
2121∴=
∴===
答：B 5．（2001 厦门市）如图所示的电路中，电源电压为6伏，保持不变。

此时R 1=10欧，R 2=5欧，经过R 1的电流I 1=0.4安，则流经R 2的电流I 2=______安，干路电流I=______安。

解析：
安干路安得由并联电路的特点2.1I I I 8.05
10
4.0R R I I R I R I 2121122
211=+==⨯==
= 答：0.8安，1.2安 6．（2001 河北省）如图所示，电源电压保持不变，闭合开关后，灯L 能够发光，在滑片P 向右滑动过程中，下列判断正确的是（ ）
A ．灯L 变亮，电压表V 的示数变大。

B ．灯L 变暗，电压表V 的示数变小。

C ．电流表A 1的示数变大，电流表A 2的示数变小。

D ．电阻R 0上电流变大，电压表V 的示数变大。

解析：
变亮。

）增大，灯（的电流）增大，灯（）减小，电压表示数（两端电压）减小，（增大，干路电流增大。

向右滑中，路，滑片串联的典型串、并联电并联后，与与电路为处理。

掉电压表，两端作断路连接，作短路处理；去用导线。

去掉电流表，将两端电路中时可作简化处理若干电流表，电压表在关键。

律，是解决这类问题的联电路的特点和欧姆定电路结构，应用串、并正确分析部电压、电流的变化。

影响整体电流变化和局到整体电阻变化，从而、影响
路分析，局部电阻变化的影响，能正确进行电考查滑动变阻器对电路总
总L R U
I L U U V IR U R R U
I R R P R R L L
1202020=
-===
答：A 、C
7．(2004年，北京东城区)有两个定值电阻R １和R ２．若把它们并联起来接在电源两端时，通过电阻R １的电流I １与通过电阻R ２的电流I 2之比为I １∶I 2 =4∶5；若将它们串联起来接在同一电源两端时，下列判断正确的是 ( ) A ．电阻R １两端的电压与电阻R 2两端的电压之比为4 : 5 B ．通过电阻R １与通过电阻R 2的电流之比为 4 : 5 C ．通过电阻R １与通过电阻R 2的电流之比为1 : 1 D ．通过电阻R １与通过电阻R 2的电流之比为 5 : 4 答案：C
8．(2003年，威宁市)一只阻值为10Ω的电阻与一只阻值为10 k Ω的电阻并联后的总电阻的阻 值 ( ) A ．近似等于l0 k Ω
B ．大于10 Ω，小于10 k Ω
C ．近似等于10 Ω
D ．大于100 Ω，小于1 k Ω 答案：C 9．（2003年，四川省）如图所示的电路中，电源电压保持不变，电流表标有“0～0.6A ～3A ”，a 、b 为两个接线柱。

现将两只阻值相同的电阻按串联或并联方式连接后接在a 、b 两点间。

当第1次电阻以某种连接方式接入时，电流表选0～0.6A 量程即可；当第2次电阻以另一种连接方式接人电路时，电流表必须换为0～3A 量程。

则关于电阻的连接方式以及两次电流表的示数关系，下列判断正确．．
的是：（ ）
A ．第l 次两只电阻以串联方式接入，两次电流表示数之比为I 1 : I 2=1 : 4
B ．第1次两只电阻以串联方式接入，两次电流表示数之比为I 1 : I 2=1 : 2
C ．第1次两只电阻以并联方式接入，两次电流表示数之比为I 1 : I 2=1 : 4
D ．第1次两只电阻以并联方式接入，两次电流表示数之比为I 1 : I 2=1 : 2 答案：A 10．(2004年，本溪市)如图电路，闭合开关S ，当滑片P 向下滑动时，图中电压表V 示数 ，电流表A 1的示数 ，电流表A 2的示数 (填“变大”、“变小”或“不变”)
答案：不变，减小，不变
11．(2004年，上海市)在图所示的电路中，电源电压保持不变．当电键S由断开到闭合时，电流表的示数将，电压表与电流表示数的比值将．(填“变大”、“不变”或“变小”)
答案：变大，不变
12．（2005年镇江市）如图所示，已知电阻R1=3Ω、R2=6Ω，电流表A的示数是0.6A，则电流表A1的示数是（）A．0.6A B．0.4A C．0.2A D．0.1A
答案：B
13．（2005年，南京市）有两个阻值不同的定值电阻R1、R2，它们的电流随电压变化的I—U图线如图所示．如果R1、R2串联后的总电阻为R串，并联后的总电阻为R并，则关于R串、R并的I—U图线所在的区域，下列说法中正确的是（）
A．R串在Ⅱ区域，R并在Ⅲ区域B．R串在Ⅲ区域，R并在Ⅰ区域
C．R串在Ⅰ区域，R并在Ⅱ区域D．R串在Ⅰ区域，R并在Ⅲ区域
答案：D
14．（2005年，金华市）如图所示的电路中，电源电压恒为24伏特，电阻R1＝R2＝120欧姆，两只电流表的量程均为0—0.6安培。

当闭合开关时，两只电流表的示数均为0.2安培。

若故障由这两个电阻中的其中一个引起，则出现的故障是（）
A.R2短路
B.R2断路
C.R1短路
D.R1断路
答案：D
15．（2005宿迁市）如图，下列四个等式中，符合并联电路特点的是：（）
A．I = I1﹢I2
B ．U = U 1﹢U 2
C ．R = R 1﹢R 2
D ．2121R R I I
答案：A 16．（2005年，宿迁市）如图，电源电压保持不变，电阻R 1 = R 2 = R 3 = 10Ω。

要使R 2、R 3并联，应闭合开关 ，此时电流表的示数为I 1；要使R 1、R 2串联，开关S 1、S 2应 (填“断开”或“闭合”)，此时电流表的示数为I 2；则I 1︰I 2 = 。

答案：S 1 S 2 断开 4 ：1。