七年级上册数学 期末试卷中考真题汇编[解析版]

七年级上册数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点.
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【答案】（1）解：∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= AC=5厘米，CN= BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= AC，CN= BC，
∴MN=CM+CN= AC+ BC= a；
（3）解：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t= ；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t= ；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或 .
【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义得出CM,CN的长，进而根据MN=CM+CN即可算出答案；
（2）方法同（1）；
（3）分类讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ
的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中
点；分别根据线段中点将线段分成的两条线段相等，列出方程，求解即可。

2．如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝18cm，AC＝4CD．
（1）图中共有________条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AB上，且EA＝2cm，求BE的长．
【答案】（1）解：图中有四个点，线段有．
故答案为：6；
（2）解：由点D为BC的中点，得
BC＝2CD＝2BD，
由线段的和差，得
AB＝AC+BC，即4CD+2CD＝18，
解得CD＝3，
AC＝4CD＝4×3＝12cm
（3）解：①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得
BE＝AB﹣AE＝18﹣2＝16cm，
②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得
BE＝AB+AE＝18+2＝20cm．
综上所述：BE的长为16cm或20cm．
【解析】【分析】（1）线段的个数为，n为点的个数.（2）由题意易推出CD的长度，再算出AC＝4CD即可.（3）E点可在A点的两边讨论即可.
3．如图 1，射线 OC在∠AOB的内部，图中共有 3个角：∠AOB、∠AOC 和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC是∠AOB的奇妙线.
（1）一个角的角平分线________这个角的奇妙线.（填是或不是）；
（2）如图 2，若∠MPN＝60°，射线 PQ绕点 P从 PN位置开始，以每秒 10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于 180°时停止旋转，设旋转的时间为 t（s）.
①当 t为何值时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P以每秒 5°的速度逆时针旋转，并与 PQ同时停止旋转.请求出当射
线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值.
【答案】（1）是
（2）解：①∠MPN=60，∠QPM=10t－60，∠QPN=10t(最大角)，
当∠MPN=2∠QPM时，60=2(10t－60)，解得t=9；
当∠QPN=2∠MPN时，10t =2×60，解得t=12；
当∠QPM=2∠MPN时，10t－60=2×60，解得t=18；
综上，当t的值是9或12或18时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线.
②∠QPN=10t，∠QPM=60－10t+5t=60－5t，∠MPN=60+5t(最大角)，
当∠QPM=2∠QPN时， 60－5t =2×10t ，解得t= ；
当∠MPN=2∠QPN时，60+5t =2×10t，解得t=4；
当∠QPN=2∠QPM时，10t =2×(60－5t)，解得t=6；
综上，当射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值为或4或6.
故答案为：(1)是；(2) ①当t的值是9或12或18时，射线PM是∠QPN 的奇妙线；②当
射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值为或4或6.
【解析】【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据奇妙线定义列方程求解即可；②分3种情况，根据奇妙线定义列方程求解即可.
4．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.
（1）在图①中， ________度；
（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若
，求的度数；
（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设∠BON=α，
∵∠BOC=60°，
∴∠NOC=60°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，
∵∠NOC= ∠MOA，
∴60°-α= （90°-α），
解得：α=54°，
即∠BON=54°；
（3）3或21
【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，
∴∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON=30°或∠BON=210°，
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，
故答案为：3或21.
【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．
5．（探索新知）
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝________；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC________DB；
（3）（深入研究）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．
【答案】（1）3π+3
（2）=
（3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，
x+πx=π+1，解得x=1，
∴MN=π+1-1-1=π-1
（4）解：设点D表示的数为x，
如图3，若CD=πOD，则π+1-x=πx，解得x=1；
如图4，若OD=πCD，则x=π（π+1-x），解得x=π；
如图5，若OC=πCD，则π+1=π（x-π-1），解得x=π+ +2；
如图6，若CD=πOC，则x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；
综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1
【解析】【解答】（1）解：∵AC=3，BC=πAC，
∴BC=3π，
∴AB=AC+BC=3π+3
（ 2 ）解：∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC=πAC，AD=πBD，
∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，
∵AB=AC+BC=AD+BD，
∴x+πx=y+πy，
∴x=y
∴AC=BD
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.
6．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝36°.
（1）若OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，如图（a)所示，求∠AOE的度数：
（2）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝60°，如图(b）所示，求∠AOE的度数：
（3）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝(n≥2，且n为正整数)，如图(c)所示，请用n含的代数式表示∠AOE的度数________(直接写出结果).
【答案】（1）解：∵∠BOC＝36°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝72°，
∵∠DOE＝90°，则∠AOE＝90°−72°＝18°；
故答案为：18°
（2）解：设∠AOD＝x，
则∠DOC＝2x，
∠BOC＝180°−3x＝36°，
解得：x＝48°，
∴∠AOE＝60°－x＝60°−48°＝12°
（3） .
【解析】【解答】（3）设∠AOD＝x，则∠DOC＝（n−1）x，∠BOC＝180°－nx＝36°，
解得：x＝，
∴∠AOE＝－＝．
【分析】（1）利用角平分线的性质得出∠AOD＝∠DOC＝72°，进而得出∠AOE的度数；（2）设∠AOD＝x，则∠DOC＝2x，∠BOC＝180°−3x＝36°，得出x的值，进而得出∠AOE 的度数；（3）利用（2）中作法，得出x与α的关系，进而得出答案．
7．
（1）如图1，点在线段上，，，点，分别是线段，的中点.求线段的长；
（2）点在线段上，若，点，分别是线段，的中点.你能得出的长度吗?并说明理由.
（3）类似的，如图2，是直角，射线在外部，且是锐角，是的平分线，是的平分线.当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗?为什么?
【答案】（1）解：，分别为线段，中点，
，，
.
（2）解：由（）知：，，
∵
（3）解：是平分线，是平分线，
，，
∴，
∵，
∴
当的大小发生改变，的大小不发生改变，恒为 .
【解析】【分析】（1）根据是的中点得，再根据为的中点可得
的长，继而MN=MC+CN可得答案；（2）由是中点，是中点可得
、，再根据即可得.（3）根据角平分线的定义可得
、 = ，然后根据进行计算即可得解；
8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t
即t=6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°
即t=15；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°
即t=24；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°
即t=33．
故t的值为6、15、24、33．
（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；
（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．
9．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD 交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH＝，∠ADC＝ .
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则＝________，＝________；
②试探究与的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出与的关系.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠BAC,EH⊥AB.
∴∠EFC=∠AFH=90°－∠BAC,∠FEC=90°－∠ABC,
∴∠EFC＝∠FEC.
（2）35°；70°；解：② , 理由如下: 由(1)可知:
, 又∵ , ∴ . ∴ .
（3）解：图形如下:
∵∠ABC＝∠BAC,∠BHE=90°－∠ABC,∠F=90°－∠BAC，
∴ .
又∵，
∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°，
即 .
.
∵2∠EAC=∠DAC, ，
∴ .∴即 .
∴ .
【解析】【解答】解：(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,
∴∠ =∠AFH－∠EAC=90°－∠BAC－∠EAC=90°－30°－25°=35°.
∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,
∴∠ =180°－∠ACB－∠CAD=180°－60°－50°=70°.
故答案为:35°,70°.
【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求
解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
10．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；
（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，
∴a=-2，
方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得，，
不等式组的最大整数解是5，
则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）
（2）解：作MH∥AD，
∵AD∥BC，
∴MH∥BC，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠OAD，
∴∠ADO+∠BCA=90°，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，
∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，
∴∠ADM+∠BCM=45°，
∵MH∥AD，MH∥BC，
∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，
∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；
（3）解：存在，
连AB交y轴于F，
设点D的纵坐标为y D，
∵S△ADE≤S△BCE，
∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，
∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），
∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），
S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，
由题意得，4-2y D≤14，
解得，y D≥-5，
∵D在y轴负半轴上，
∴y D＜0，
∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的
解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
11．在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．
（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；
①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与________全等，判定它们全等的依据是________；
②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=________°；
（2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．
【答案】（1）△BMF；SAS；60
（2）证明：由①知，∠BFE=60°，
∴∠CFD=∠BFE=60°
∵△BEF≌△BMF，
∴∠BFE=∠BFM=60°，
∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，
∴∠CFM=∠CFD=60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCM=∠FCD，
在△FCM和△FCD中，，
∴△FCM≌△FCD（ASA），
∴CM=CD，
∴BC=CM+BM=CD+BE，
∴BE+CD=BC．
【解析】【解答】解：（1）解：①在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示：
∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC，
在△BEF和△BMF中，，
∴△BEF≌△BMF（SAS），
故答案为：△BMF，SAS；
②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠FBC+FCB= （∠ABC+∠ACB），
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×120°=120°，
∴∠EFB=60°，
故答案为：60；
【分析】（1）①由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF；②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；（2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论．
12．
（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC=60cm，M、N分别为AB、BC的中点.
①若BC=20cm，则MN=________cm；
②若BC=acm，则MN=________cm.
（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC 内，且∠MON=30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由.
【答案】（1）30；30
（2）解：平分
理由：∵OM分别平分∠AOB，
∴∠BOM= ∠AOB
= （∠AOC+∠BOC）
=30°+ ∠BOC.
又∵∠BOM=∠MON+∠BON=30°+∠BON，
∴∠BON= ∠BOC.
∴ON平分∠BOC.
【解析】【解答】解：（1）①∵BC=20，N为BC中点，
∴BN= BC=10.
又∵M为AB中点，
∴MB= AB=40.
∴MN=MB-BN=40-10=30.
故答案为30；
②当BC=a时，AB=60+a，
BN= a，MB= AB=30+ a，
∴MN=MB-BN=30.
故答案为30；
【分析】（1）①由已知得到AB=80，根据线段中点求出MB和BN的值，计算MB-BN即可得结果；②分别用a表示出BN、MB，根据MN=MB-BN计算即可；（2）根据OM分别平分∠AOB，用∠BOC表示出∠BOM，再用∠BON表示出∠BOM，两个式子进行比较即可得出结论.
13．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点
放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？
【答案】（1）30
（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°
∴∠BOD的度数为65°
【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30；
【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝∠AOE＝∠COA，根据角的和差及平角的定义得出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出5x+90°+x+60°＝180°，求解算出
x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

14．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.
【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；
②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC
（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°
（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.
即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.
15．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE.
（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°.
（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系.
（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数.
【答案】（1）证明：如图1，过点E作
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：∵BF、EG分别平分、
∴
设
∵
∴
∴
由（1）知，
即
∴；
（3）解：∵CN、BF分别平分、
∴
设
由（1）知：
即
如图3，过M作
则
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出
，进而得出答案；（2）设
，由平行线的性质得出
，由（1）知
，即可得出答案；（3）设
，由（1）知，过M 作，由平行线的性质得出，求出
，即可得出答案.。