2019届高二数学人教B版选修2-1练习：3-2-4二面角及其度量b

04课后课时精练
一、选择题
1．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是()
A．相等B．互补
C．相等或互补D．不能确定
解析：当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时，这两个二面角的大小关系是不能确定的．
答案：D
2．已知二面角α－l－β的大小为60°，m、n为异面直线，且m ⊥α，n⊥β，则直线m、n的夹角为()
A．30°B．60°
C．90°D．120°
解析：根据二面角的定义及异面直线夹角的定义．
答案：B
3．[2014·南宁高二联考]如图，已知平面α内有一个以AB为直径的圆，P A⊥α，点C在圆周上(异于点A、B)，点D、E分别是点A 在PC、PB上的射影，则()
A．∠ADE为二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED为二面角A－PB－C的平面角C．∠DAE为二面角B－P A－C的平面角D．∠ACB为二面角A－PC－B的平面角
解析：因为BC⊥平面P AC，所以AD⊥BC，又AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.
又PB⊥AE，所以PB⊥DE，
即∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
答案：B
4．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝
3 2
a，则二面角A－BC－D的大小为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：如图取BC的中点为E，连结AE、DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝3
2a，又AD＝
3
2a，
∴∠AED＝60°，即二面角A－BC－D的大小为60°. 答案：C
5．[2014·辽宁高二检测]如图，二面角α－l －β的平面角为120°，A 、B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 等于( )
A. 2
B. 3 C ．2
D. 5
解析：∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， ∴CD →2
＝1＋1＋1＋2 CA →·BD → ∴CD →
2＝3＋2×1×1·cos60°＝4 ∴|CD →
|＝2.故选C. 答案：C
6．等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C －BM －A 的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：如图，由AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，得AC＝ 2.
因为M为AC中点，
所以MC＝AM＝2
2
，
且CM⊥BM，AM⊥BM.
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝2
2.
∴∠CMA＝90°，故选C.
答案：C
二、填空题
7．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m＝(－1,2,0)，n＝(1,0，－2)，且m、n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为________．
解析：设二面角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|
＝|m·n| |m|·|n|＝1
5·5
＝1
5
，
sin θ＝1－cos2θ＝24 5.
答案：24
5
8．△ABC 是正三角形，P 是△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ，若S △P AB ∶S △ABC ＝2
3，则二面角P －AB －C 的大小为________．
解析：P A ＝PB ＝PC .P 在面ABC 射影O 为△ABC 的中心． S △OAB ＝13S △ABC ，又S △P AB ＝2
3S △ABC . ∴cos θ＝S △OAB S △P AB ＝1
2.∴θ＝60°.
答案：60°
9．[2014·深圳高二检测]如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1－A 1B －E 的余弦值为(
)
A. －33
B. －3
2 C. 33
D. 32
解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识．设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →
＝(0,2，－
2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1
BE 的法向量，则⎩⎨⎧
A 1E →·m ＝0，
A 1
B →
·
m ＝0，
所以⎩⎨
⎧
－x ＋y ＝0，
2y －2z ＝0，
所以⎩⎨
⎧
y ＝x ，y ＝z ，
取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以
平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →
＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA
→
|m ||DA →|
＝
13＝3
3
，又二面角B 1－A 1B －E 为锐二面角，所以二面角B 1－A 1B －E 的余弦值为3
3，故选C.
答案：C 三、解答题
10．[2014·临汾高二检测]如图，在四面体P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝AC ＝PC ，求二面角B －AP －C 的正切值．
解：如图，过B 作BM ⊥AC 于M ，过M 作MN ⊥AP 于N ，连接BN ，由三垂线定理知：BN ⊥P A
.
∴∠MNB 为所求二面角的平面角，设AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝1. ∴BM ＝32，MN ＝24. ∴tan ∠MNB ＝BM MN ＝3
2
24
＝ 6.
即所求二面角B －AP －C 的正切值为 6.
11．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ＝DA ＝AB ＝2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点．
(1)求证：DM ⊥EB ；
(2)求二面角M －BD －A 的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系．
并设EA ＝DA ＝AB ＝2CB ＝2，则
(1)证明：DM →＝(1,1，－32)，EB →
＝(－2,2,0)， 所以DM →·EB →＝0，从而得DM ⊥EB ； (2)设n 1＝(x ，y ，z )是平面BDM 的法向量，
则由n 1⊥DM →，n 1⊥DB →及DM →＝(1,1，－32)，DB →
＝(0,2，－2)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·DM →＝x ＋y －32z ＝0，
n 1
·
DB →＝2y －2z ＝0.可以取n 1＝(1,2,2)．
显然，n 2＝(1,0,0)为平面ABD 的法向量．
设二面角M －BD －A 的平面角为θ，则此二面角的余弦值 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝13
.
12．[2014·天津高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．
(1)证明：BE ⊥DC ；
(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．
解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得
E (1,1,1)．
(1)证明：向量BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →
＝0. 所以BE ⊥DC .
(2)向量BD →＝(－1,2,0)，PB →
＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量．
则⎩⎨⎧
n ·BD →＝0，
n ·
PB →
＝0，即⎩⎨
⎧
－x ＋2y ＝0，
x －2z ＝0.
不妨令y ＝1，可得n ＝
(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有
cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →
|n |·|BE →|
＝26×2＝3
3
. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3
3.
(3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →
＝
(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →
，0≤λ≤1.
故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，
得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量， 则⎩⎨⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.
不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则
cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1
＝－31010. 易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.
解法二：(1)证明：如图，取PD 的中点M ，连结EM ，AM .
由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，
又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .
因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，
从而CD ⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .
(2)连结BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD .所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．
依题意，有PD ＝22，而M 为PD 的中点，可得AM ＝2，进
而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12
，因
此sin ∠EBM ＝33.
所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33.
(3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG .所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．
在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理
可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010.
所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010.。