高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示优化训练 苏教版必修4

2.1 向量的概念及表示
5分钟训练（预习类训练,可用于课前）
1.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.请指出下列哪些量是向量.
(1)重力;(2)速度;(3)高度;(4)位移;(5)面积;(6)体积.
思路解析:既有大小又有方向的量叫向量，如位移、速度、力等.只有大小没有方向的量叫数量，如高度、面积、体积等.
答案:(1)(2)(4)
2.如图2-1-1所示，在正六边形ABCDEF中与向量EO相等的向量有哪些？
图2-1-1
思路解析:长度相等、方向相同的向量是相等向量或同一向量；相等向量用同向且等长的有向线段表示.
解:在正六边形中,||=|OB|=|DC|=|FA|.
又∵AF∥EB∥DC且与FA、OB、DC方向相同,
∴与EO相等的向量有FA、OB、DC.
3.下列说法中正确的是( )
A.单位向量都是相等向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
思路解析:方向相同或相反的非零向量称为平行向量或共线向量.零向量是长度等于0的向量，零向量的方向不确定.长度相等且方向相同的向量是相等向量或同一向量，单位向量的长度都是1，但单位向量的方向未必都相同，只有方向相同的单位向量才是相等向量.
答案:C
10分钟训练（强化类训练,可用于课中）
1.下列命题中正确的是( )
A.若|a|=0，则a=0
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若|a|=|b|，则a、b是平行向量
D.若a与b平行，则a=b
思路解析:模为零的向量是零向量，A对；模相等的向量不一定相等或平行，B、C均错；平行向量和相等向量是不同的概念，D错.
答案:A
2.下列说法中错误的是( )
A.零向量的长度为零
B.零向量与任一向量都是共线向量
C.零向量没有方向
D.零向量的方向是任意的
思路解析:只要是向量就有方向，零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错. 答案:C
PQ相3.如图2-1-2所示，在正△ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量
等的向量是( )
图2-1-2
QR B.AR与RC
A.PR与
C.RA与CR
D.PA与QR
思路解析:向量相等要求模相等，方向相同，因此AR与RC都和PQ是相等的向量. 答案:B
4.如图2-1-3所示，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.
图2-1-3
(1)用有向线段表示与向量AB相等的向量；
(2)用有向线段表示与向量AB共线的向量.
思路解析:用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑.
解:(1)与向量AB相等的向量是CE,DC;
(2)与向量AB共线的向量是DE，DC,CE.
5.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量.
思路解析:向量有两个要素:一是大小，二是方向.两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才称为相等的向量,即a=b就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量.所以判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等，方向是否相同.
解:有下列两种情况，这两个向量一定相等.
(1)两个长度相等的向量的方向相同；
(2)两个长度相等的向量都为零向量.
6.中国象棋中规定:马走“日”字，象走“田”字.如图2-1-4所示，在中国象棋的半个棋盘(是由4×8个大小相同的正方形组成的)中，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量1AA ,2AA 表示马走了“一步”,试在图中画出马在B 、C 处走了一步的所有情况.
图2-1-4
思路解析:此题中，马在A 处有两条路可走，在B 处有三条路可走，在C 处有八条路可走，可谓“八面威风”.解题时，应做到不重不漏.根据规则，作出符合要求的所有向量. 解:如图，以点C 为起点作向量(共8个)，以点B 为起点作向量(共3个).
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刀法
中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥，把裁判放出的苍蝇拦腰砍为两段，裁判给了他80分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90分，他把苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀一挥，裁判给了他100分，另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来给他们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！ 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）
1.下列结论中正确的是( )
A.向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C.有向线段
AB 和BA 是同一向量 D.有向线段AB 和BA 的大小相等
思路解析:向量可以用有向线段表示，但是向量的表示方法是多种多样的，A 错；表示一个向量的有向线段有无数个，B 错；有向线段
AB 和BA 方向不同，它们不是同一个向量，C 错；有向线段AB 和BA 的大小相等方向相反，D 对.
答案:D
2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功，其中不是向量的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
思路解析:本题关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是
由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案:D
3.下列说法中正确的是( )
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为零
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析:零向量和任意向量平行，A错；长度为零的向量叫做零向量，B对；相等的向量是长度相等且方向相同的向量，C错；共线向量都可以移动到一条直线上，但是它们不一定在一条直线上，D错.
答案:B
4.下列说法中不正确的是( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其中点必相同
思路解析:两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案:D
5.下列说法:
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB与CD是共
线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当AB=DC 时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析:①正确；
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立；
AB和DC相等.
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC且AB=DC，即
答案:C
6.下列命题:①若向量a的模小于向量b的模，则a<b;②质量、动量、功、加速度都是向量;
③a与b平行，则a与b方向相同或相反;④零向量与任何向量都平行.
其中正确命题的个数为_____________________.
思路解析:向量不能比较大小，①错；质量、功是标量，不属于向量，②错；③没有考虑零向量，不正确；零向量的方向是任意的，所以它与任意向量平行，C对.
答案:1
7.下列命题:①单位向量都相等；②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等；④与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.其中正确命题的个数为_________________.
思路解析:单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，①错；同理②错；共线的单位向量有可能方向相反，③错；与一非零向量共线的单位向量有两个，它们与这个向量方向相同或相反，④错.
答案:0
8.如图2-1-5所示，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-5
DF、DE长度相等的向量；
(1)分别写出图中与向量
DE、FD相等的向量；
(2)分别写出图中与向量
DE、FD共线的向量.
(3)分别写出图中与向量
思路解析:长度相等的向量，方向可以是不同的，因此它们不一定是相等向量，而相等向量必须是长度相等且方向相同，即通过平移可以重合的向量.共线向量也是平行向量，这与几何中线段的共线不同.
解:(1)|DF|=|EF|=|EC|=|AE|=|AD|=|DB|；
|DE|=|BF|=|FC|.
(2)DE=FC=BF;FD=CE=EA.
(3)DE∥FC∥BF∥BC;FD∥CE∥EA∥CA.
9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西偏南45°或南偏西45°方向飞行1 0002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?
思路解析:本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解:根据所给条件作图(如右图所示)，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2 000 km.
又∵∠ACD=45°，CD=1 0002 km.
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=1 0002 km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1 0002 km.。