6讲2.6初等矩阵 PPT课件

20
2.6.3 矩阵等价的充要条件
*定理2.4 A可逆 初等阵 P1, , Pk 使:
证 显然
A可逆
A P1 Pk
r(A)=n A 初E
即存在初等阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2, , Qt
使 P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E
A

P P 1 1 s s1
P11 EQt1Qt11

A
E

列

E A1

26
例3 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:
0 2 1
A


1
1
2

1 1 1
解 先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵
27
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
[A
E]


1
1
2
0 1 0 0 2 1 1 0 0
a24


a21
a22
a23
a24




2

a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34 3
3 6
31
预习完 2.8
(^-^) Bye!
32
例6
将
A
1 1
1
1

表示成为初等方阵
之积.
解
A

1 1
1
1


1 0
1
2


1 0
1
1


E
33
E(1,2(1))E(2(1))E(2,1(1))A E
A

E
1
(2,
2
1(1))E
15
1 0 k
AE
(1,
3(k
))

a11

a21
a12 a22
a13 a23

0 0
1 0
0


1

a11 a21
a12 a22
ka11 a13
ka21

a23

16
例2 计算
0 1 0
1 0 0
04 0 1
ab11 c1
令 P P1P2 Ps , Q Q1Q2 Qt
P, Q 是初等阵之积,故可逆且使
PAQ B
22
推论2 设A 是mn阶矩阵,P 是m阶可逆阵, Q 是n 阶可逆矩阵,则
r(PA) r(AQ) r(PAQ) r(A)
因为初等变换不变秩.
推论3 设A 是可逆矩阵, 则 A 行 E
E 1(i, j) E(i, j)
E1(i()) E(i( 1 )), 0

E1(i, j(k)) E(i, j(k))
11
性质2 初等矩阵转置还是初等矩阵.
ET (i, j) E(i, j)
ET (i()) E(i()), 0
ET (i, j(k)) E( j,i(k))
9
3. (消法)将单位矩阵 E 的第 j行的 k 倍加到
第 i 行:Leabharlann 1
1
k
E (i,
j(k ))



1


第i行

第j行




1
第i 列 第j列
或看作是将 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列.
10
2.6.2 初等矩阵的性质
性质1 初等阵可逆且逆还是初等矩阵.
b11 b13 b12
b21
b23
b22

b31 b33 b32
13
1 0 0 a11 a12
E(2())A 0 0 a21 a22
0 0 1 a31 a32
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a1n
a2n
a2 b2 c2
a3 b3 c3

1 0 0
0 0 1
07 1 0
a1 a3 a2
解 原式


b1 c1
b3 c3
b2 c2

17
总结: 对一般情况我们有:
A ri rj B E(i, j) A = B
A ri B E(i()) A = B ( 0)
（r Ann）= n A En ,称A为满秩阵.
（r Amn） m
A （Em
0m(
）,
nm)
称A为
行满秩.
（r Amn）
n

A

En

0(mn)n

,称A为列满秩.
2
a1b1
例3
A


a2b1

a1b2 a2b2
a1bn
a2bn

，（ r A）
A rikrj B E(i, j(k))A = B A ci cj B AE(i, j) B
A ci B AE(i( )) B ( 0)
A cj kci B AE(i, j(k)) B
18
初等阵与一次初等变换的关系
A一次行 B 存在相应初等阵P 使:
1 0 0
P2

0

1
1 0
0
1

(B) AP2P1 (D) P2P1A
29
注 可用初等变换法求解矩阵方程
AX B, A 可逆
方法为： ( A B) 行 (E A1B)
例5 用初等变换法解矩阵方程 AX B
5 1 5 8 5
其中 A 3 3
2

Pi1, Qj 1 仍是初等阵.
( A可分解为初等阵的积)
Q11
21
推论1 设A, B都是mn阶矩阵,则
AB m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q 使
PAQ B
证 A B A初 B
存在初等阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2 , , Qt
使 P1P2…Ps AQ1Q2…Qt=B
(2)存在可逆矩阵P,
Q
使
PAQ


Er 0
0 0
.
(3)如果AMn, 则 A可逆 AE .
A可分解为初等阵的积: A P1 Pk .
A可经初等行变换化为E: Pk1 P11A E.
A可经初等列变换化为E:APk1 P11 E. 24
2.6.4 求逆矩阵的初等变换法
n,（r A）= n
Ann，（r A*） 1,（r A）=n 1
0,（r A）< n 1
4
2.6 初等矩阵
本节内容提要
初等矩阵与初等变换的关系 矩阵等价的充要条件 求逆矩阵的初等变换法
5
问题:为什么要引入“初等矩阵” 呢？
如果对于单位矩阵E进行一次初等变 换,它会变成什么样? 如果矩阵A经过一次初等变换变为B, 那么A与B间如何建立等量关系?






1 0 1
1
第i 列




1

第i 行



1 0


第j 行
1


第 j 列 1
8
2. (倍法)给单位矩阵 E 的第 i 行乘以 ( 0).
( 或给 E 的第 i 列乘以 ):
1



E
(i(
))






1

1
第i列





第i行



1
复习 矩阵的初等变换
矩阵的三种初等行变换: 换法变换: rirj
倍法变换：ri (0)ri
消法变换: krj+riri 矩阵的三种初等列变换：
换法变换: cicj
倍法变换：ci ( 0)ci
消法变换：kcj+cici
1
注
n方阵A可逆 （r A） n A 0
证 A可逆,则A1可逆,所以存在初等阵 P1, P2 , , Ps , 使 A1 P1P2 Ps
A1A P1P2 Ps A E
23
总结 设A, B都是mn阶矩阵.
(1)ABA, B具有相同的等价标准形.
存在可逆矩阵P, Q 使 PAQ B
r(PA) r(AQ) r(PAQ) r(A)
A一次列 B
PA=B 存在相应初等阵Q使:
AQ=B
19
初等阵与初等变换的关系
A行B
A 列B
A初 B （ A B ）
存在初等阵P1 P2…Ps使: P1P2…PsA=B
存在初等阵Q1 Q2…Qt使: AQ1Q2…Qt=B
存在初等阵P1 P2…Ps Q1 Q2…Qt使:
P1P2…PsAQ1Q2…Qt=B
a21
a22
a23
A


a21 a31
a22 a32
a23 a33
,
B


a11 a31 a11
a12 a32 a12
a13 a33 a13

0 1 0
P1

1

0
0 0
0,
1

则 B =( ).
(A) AP1P2 (C) P1P2A
a24


a21
a34 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34



A11 A21
A12
A22

37
按列分块.例如:
a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14
A a21
性质3
用初等矩阵左乘一个矩阵,相当于 对它进行一次相应的初等行变换. 用初等矩阵右乘一个矩阵,相当于 对它进行一次相应的初等列变换.
12
例1
b11 b12 b13 1 0 0
AE(2,3) b21
b22
b23

0
0
1
b31 b32 b33 0 1 0
6
2.6.1 初等矩阵的概念
定义 单位矩阵E经过一次初等变换所得 到的矩阵称为初等矩阵:
E(i, j), E(i()), E(i, j(k)) 其中 0
7
1. (换法)交换单位矩阵E 的第 i 行与第 j 行
（或交换E 的第 i 列与第 j 列）:
1






E(i,
j)





a3n
a1n

a2n

a3n
14
1 0 k a11 a12
E(1,3(k))A 0
1
0 a21
a22

0 0 1 a31 a32
a11 ka31


a21
a31
a12 ka32
a22

a32
由A可逆，有 P1 Ps A E
可得
P1 Ps E A1
说明A仅经过初等行(列)变换可化为 En . 完全相同的变换可以把 En化为 A-1 .
25
由此可得到求逆矩阵的初等变换法:
*方法1 构造一个n(2n)矩阵:
A E 行 E A1
方法2 构造一个 (2n) n矩阵:
1
(2(
1
))
E
1
(1,
2(1))
2
E(2,1(1))E(2(2))E(1,2(1))

1 1
0 1 1 0
0 1 2 0
1
1

34
2.7 分块矩阵
本节内容提要
分块矩阵的运算 分块矩阵的初等变换
35
2.7.1 分块矩阵的概念
处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小
a22
a23
a24


a21
a22
a23
a24


1
2
3
4
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34
38
按行分块.例如:
a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14 1
A a21
a22
a23
矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块. 定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵. 矩阵分块的三个原则:
• 体现原矩阵特点. • 根据问题需要.
• 能够把子块看作元素进行运算.
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常用分块方式
分成四块.例如:
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a11
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
1
0
0
1 2
3 2

5 2

A1

1
1 1
3 1
5 1
0 1 0 1 1 1 ,

2 2 2
2 0 2 2
0 0 1 0
1
1

可验证 AA1 E
28
例4 a11 a12 a13

1

anb1
anb2
anbn

并求 An
其中 ai 0，bj 0.
a1
解
可求
r
(
A)

1,

A

a2

b1
b2
bn
an

An (a1b1 a2b2 anbn )n1 A
3
思考
A44，（r A） 2，（r A*）？ 0 Ann，（r A）< n 1，（r A*） ？ 0
,
B

3
9

1 2 1 0 0
解 可验证A可逆. 30
5 1 5 8 5
( A B) 3 3 2
3
9

1 2 1 0 0
1 0 0 1 4 0 1 0 2 5
0 0 1 3 6
1 4
故 X A1B 2 5