2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第六章数列第4讲含解析

基础巩固题组
（建议用时:40分钟）
一、选择题
1.等差数列｛a n}的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项和为S n，则数列错误!的前10项的和为( ）
A。

120 B。

70 C.75 D。

100
解析因为错误!＝n＋2，所以错误!的前10项和为10×3＋错误!＝75。

答案C
2.数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋（－1)n－1·n，则S17＝（）
A.9
B.8 C。

17 D.16
解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3)＋(－4＋5）＋（－6＋7)＋…＋（－14＋15)＋(－16＋17）＝1＋1＋1＋…＋1＝9。

答案A
3。

数列｛a n}的通项公式为a n＝(－1）n－1·(4n－3),则它的前100项之和S100等于（）
A.200
B.－200
C.400
D.－400
解析S100＝(4×1－3）－（4×2－3)＋（4×3－3）－…－（4×100
－3)＝4×［(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100）］＝4×（－50)＝－200。

答案B
4。

（2017·高安中学模拟）已知数列5，6,1，－5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于（）
A。

5 B.6 C.7 D.16
解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6,1,－5,－6,－1,5，6,发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6,前6项和为5＋6＋1＋（－5)＋（－6）＋（－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7。

故选C.
答案C
5.已知数列{a n｝满足a1＝1,a n＋1·a n＝2n(n∈N＊),则S2 016＝（）
A.22 016－1
B.3·21 008－3
C。

3·21 008－1 D。

3·21 007－2
解析a1＝1，a2＝错误!＝2，又错误!＝错误!＝2。

∴错误!＝2.∴a1,a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6,…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015）＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝错误!＋错误!＝3·21 008－3。

故选B。

答案B
二、填空题
6。

（2017·保定模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________。

解析由题意知所求数列的通项为错误!＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为错误!－n＝2n＋1－2－n。

答案2n＋1－2－n
7.(2016·宝鸡模拟）数列｛a n｝满足a n＋a n＋1＝错误!（n∈N*），且a1＝1，S n是数列｛a n}的前n项和，则S21＝________。

解析由a n＋a n＋1＝错误!＝a n＋1＋a n＋2，∴a n＋2＝a n，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋（a20＋a21）
＝1＋10×错误!＝6.
答案6
8。

(2017·安阳二模）已知数列{a n}中，a n＝－4n＋5，等比数列{b n｝的公比q满足q＝a n－a n－1(n≥2)且b1＝a2，则｜b1|＋｜b2｜＋｜b3|＋…＋|b n|＝________。

解析由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴b n＝(－3）×(－4）n－1，
∴｜b n ｜＝3×4n －1，即｛｜b n |}是以3为首项,4为公比的等比数列，∴｜b 1|＋｜b 2｜＋…＋|b n ｜＝错误!＝4n －1。

答案 4n －1
三、解答题
9。

(2016·北京卷）已知{a n ｝是等差数列，｛b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1,a 14＝b 4。

(1)求｛a n ｝的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列｛c n ｝的前n 项和。

解 (1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列｛b n }的公比为q ， 由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9
得错误! ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，
又a 1＝b 1＝1,a 14＝b 4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1）d ＝27，解得d ＝2.
∴a n ＝a 1＋（n －1)d ＝1＋（n －1)×2＝2n －1（n ＝1，2，3,…).
（2）由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列｛c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1
＝错误!＋错误!＝n 2＋错误!。

10.(2017·贵阳一模）已知数列{a n｝的前n项和是S n，且S n＋错误!a n ＝1(n∈N*）。

（1)求数列｛a n}的通项公式;
(2）设b n＝log错误!（1－S n＋1）（n∈N＊)，令T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!，求T n。

解(1)当n＝1时，a1＝S1，
由S1＋错误!a1＝1，得a1＝错误!，
当n≥2时,S n＝1－错误!a n,S n－1＝1－错误!a n－1，
则S n－S n－1＝错误!（a n－1－a n），即a n＝错误!（a n－1－a n）,
所以a n＝错误!a n－1(n≥2).
故数列｛a n}是以错误!为首项,错误!为公比的等比数列.
故a n＝错误!·错误!错误!＝2·错误!错误!（n∈N＊）.
（2)因为1－S n＝错误!a n＝错误!错误!.
所以b n＝log错误!（1－S n＋1）＝log错误!错误!错误!＝n＋1，
因为错误!＝错误!＝错误!－错误!，
所以T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＝错误!.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n｝的通项公式为a n＝错误!（n∈N*），其前n项和为S n，则在数列S1，S2,…，S2 016中，有理数项的项数为（)
A.42 B。

43
C.44
D.45
解析a n＝错误!
＝错误!
＝错误!－错误!。

所以S n＝1－错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!，
因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3,8,15,…的通项公式为n2－1(n≥2），所以n2－1≤2 016，且n≥2，
所以2≤n≤44,所以有理项的项数为43.
答案B
12.(2017·济南模拟）在数列{a n}中，a n＋1＋（－1）n a n＝2n－1，则数列{a n}的前12项和等于( ）
A。

76 B.78
C。

80 D。

82
解析因为a n＋1＋（－1)n a n＝2n－1，所以a2－a1＝1，
a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11
＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40,
所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝（a1＋a3）＋(a5＋a7）＋(a9＋a11)＋(a2＋a4）＋（a6＋a8）＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78。

答案B
13.设f(x）＝错误!，若S＝f错误!＋f错误!＋…＋f错误!，则S＝________。

解析∵f(x）＝错误!，
∴f(1－x）＝
41－x
41－x＋2
＝错误!,
∴f(x)＋f（1－x)＝错误!＋错误!＝1。

S＝f错误!＋f错误!＋…＋f错误!，①
S＝f错误!＋f错误!＋…＋f错误!,②
①＋②得，
2S＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝2 014，∴S＝错误!＝1 007。

答案 1 007
14。

(2015·山东卷）已知数列{a n｝是首项为正数的等差数列，数列错误!的前n项和为错误!.
（1)求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（a n＋1）·2a n，求数列｛b n}的前n项和T n。

解（1）设数列{a n｝的公差为d，
令n＝1,得错误!＝错误!,
所以a1a2＝3。

①
令n＝2，得错误!＋错误!＝错误!,
所以a2a3＝15。

②
解①②得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1。

(2）由(1）知b n＝2n·22n－1＝n·4n，
所以T n＝1×41＋2×42＋…＋n×4n,
所以4T n＝1×42＋2×43＋…＋n×4n＋1，
两式相减，得－3T n＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1
＝错误!－n·4n＋1＝错误!×4n＋1－错误!。

所以T n＝3n－1
9
×4n＋1＋错误!＝错误!.。