2023-2024学年浙江省绍兴区上虞区高二下学期6月学考适应性考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要2023-2024学年浙江省绍兴区上虞区高二上学期6月学考适应性考
试数学试题
求的。

1.已知集合，，则
( )
A. B. C.
D.
2.函数的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
3.设命题p ：，则p 的否定为( )
A. B. C. D.
4.设，则
( )
A. B. C.
D. 5.已知向量，，若
，则实数
( )A. B.
C. D.
6.若数据的平均数为，方差为
，则
的平均数和方差分别为
( )A.
B.
C.
D. 7.为得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移
个单位
8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中
，若
或
，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人
玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.
B.
C.
D.
9.科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时( )
A. 智力曲线I处于最低点
B. 情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期
C. 智力曲线I与情绪曲线E相交
D. 情绪曲线E与体力曲线P都关于对称
10.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( )
A. 两个角均为锐角
B. 一个角为，一个角为
C. 两个角均为
D. 两个角均为
11
.已知定义在R上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则等于( )
A. B. C. D.
12.在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，，
，则该三棱锥的外接球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.关于复数为虚数单位下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若zi为纯虚数，则
D.
14.已知函数，函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 是偶函数
D. 是偶函数
15.下列命题中，正确的是( )
A. 若事件A，B互斥，则
B. 若事件A，B相互独立，则
C. 若事件A，B，C两两互斥，则
D. 若事件A，B，C两两独立，则
16.如图，正方体的棱长为分别为棱的中点，过三点的平面截正方体，得到截面多边形，则下列说法正确的是( )
A. 多边形是一个六边形
B. 多边形的周长为
C.
平面DMN
D. 截面多边形在顶点D处的内角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

17.已知函数，则__________；__________.
18.某班共有学生40人，将一次数学考试成绩单位：分绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有__________人.
19.已知实数，，，则的最小值为__________.
20.已知两单位向量满足：对任意的，有恒成立.若，则对任意的，的取值范围是__________.
四、解答题：本题共3小题，共50分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.本小题分
已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且求角A；
若，，求的面积．
22.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，设分别为棱
的中点，且
求证：平面平面ABC；
求平面PBC与平面PAC所成角的正弦值.
23.本小题分
已知函数，
当时，求函数的单调递增区间不必写明证明过程；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查并集运算，属于基础题.
应用集合的并集运算求集合即可.
【解答】
解：由题知 .
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的定义域，属于基础题.
根据对数的真数大于零可得出关于x的不等式，即可解得函数的定义域.【解答】
解：由对数的真数大于零得，解得，
因此，函数的定义域为 .
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.
本题根据题意直接写出命题p的否定即可.
【解答】
解：因为命题p：，
所以p的否定：，
故选：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题.
根据诱导公式即可求解.
【解答】
解：，
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题.
依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【解答】
解：，且，
则，解得 .
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查方差的性质，是较易题.
利用平均数、方差性质求新数据的平均数、方差.
【解答】
解：的平均数为，
方差的性质知： .
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数的图象变换，属于基础题.
根据函数图象变换的原则，即可求得.
【解答】
解：因为将函数的图象向左平移个单位，
则 .
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于一般题.
根据题意利用列举法结合古典概型运算求解.
【解答】
解：甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示：
，
，
，
，
，
总共有36种，
符合条件的有，共11种，
所以他们“心有灵犀”的概率为 .
故选：
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求正弦型函数的对称轴、对称中心、周期性，属于中档题.
由已知得第322天时，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲线I位于周
期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．
【解答】
解：第322天时，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲线I位于周期处，
情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，
A项，，则智力曲线I不处于最低点，故A错误；
B项，情绪曲线E位于周期处，可能是上升期，也有可能是下降期，故B错误；
C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误；
D项，位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确.
故选：
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线的概念及判定，是较易题.
根据异面直线和直线与平面所成角的概念逐个分析可得答案.
【解答】
解：对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；
对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；
对于C，可能两个角均为，故C不正确；
对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这
两个角不可能均为，故D正确.
故选：
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，对数式的化简求值与证明以及周期函数的概念，属于一般题.
由奇、偶函数的定义，推得的最小正周期为4，运用对数的运算性质和已知区间上的函数的解析式以及周期函数的性质，计算可得所求值．
【解答】
解：由定义在R上的函数满足：为奇函数，为偶函数，
可得，令，
则，故，
可得的最小正周期为4，
由于，则，
当时，，
所以
，
则
.
故选：A
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的切、接问题，线面垂直的判定，是较难题.
设CD中点为M，连接AM，过点M作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在MN上，再设外接球的半径为R，球心为O，CM中点为P，连接BP，再根据几何关系得
，进而代入数据计算即可得答案
【解答】
解：设CD中点为M，连接AM，因为是以CD为斜边的等腰直角三角形，
所以，，
过点M作，
因为平面平面BCD，平面平面，平面BCD，平面ACD，
所以平面ACD，平面BCD，
所以三棱锥的外接球的球心在MN上，设外接球的半径为R，
则由得，由得，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
设球心为O，CM中点为P，连接BP，
则，
所以，
即，解得，
故选：B
13.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类、模及其几何意义，属于中档题.
通过复数的乘法运算可得，故选项A可判定；利用复
数的几何意义可判断选项B；利用纯虚数的概念可得，故选项C可判定；
特殊值代入可判定选项
【解答】
解：，故选项A错误；
，由几何意义可得到的距离为2，
进而可得，，即，故选项B正确；
且为纯虚数，则，故选项C正确；
，可取则，
，，故选项D错误.
故选：
14.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断或证明，属于中档题.
求出函数 的定义域，结合奇偶函数的定义，逐项判断作答.
【解答】
解：函数
的定义域为R ，函数 的定义域为
，
，
对于，函数 的定义域为
，
，所以
是偶函数，A
正确；
对于B ，函数 的定义域为
，
，所以
是
奇函数，B 正确；
对于C ，函数 的定义域为
，
，所以
是
奇函数，C 错误；
对于D ，函数 的定义域为
，
，所以
是偶
函数，D 正确.故选：
15.【答案】ABC 【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，是中档题.
利用互斥事件的概率加法公式判断选项AC ；利用独立事件的乘法公式判断选项B ；举反例判断选项【解答】
解：对于A ，根据互斥事件的概率加法公式即可判断A 正确；
对于B ，若事件A ，B 相互独立，则 ，
也相互独立，
所以
，故B 正确；
对于C ，根据互斥事件的概率加法公式即可判断C 正确；
对于D ，例如，从1，2，3，4中随机选出一个数字，记事件 “取出的数字为1或2”，
“取
出的数字为1或3”， “取出的数字为1或4”，
则 “取出的数字为1”，
显然
，
，
满足，，，
所以事件A，B，C两两独立，但是，故D错误.
故选：
16.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的截面问题，考查线面垂直的判定，属于较难题.
根据正方体的结构特征可得截面图形为五边形MNEDF，即可求解AB，根据线面垂直的判断得矛盾，即可
求解C，根据余弦定理即可求解
【解答】
解：延长相交于Q，连接DQ交BC于E，连接NE，
则由可得
又，
取，连接，过M作且MF交于点F，则，连接DF，
由于，又，
所以，四边形为平行四边形，
故，又，所以，
因为，
，
所以，，
则五边形MNEDF即为截面多边形，故A错误；
由于可知，
所以五边形MNEDF的周长为
，故B正确；
由于且平面，
所以平面，
平面，所以，
若平面DMN，平面DMN，
则MF，，故，
平面，
故平面，这显然是不成立的，
故与平面DMN不垂直，故C错误；
连接，由于，
所以四边形均为平行四边形，
则
，故D正确，
故选：BD
17.【答案】；2
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于一般题.
利用函数的解析式可求得、的值.
【解答】
解：因为，
则，
.
故答案为：； 2 .
18.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图，属于基础题.
先求出a，然后求出成绩不低于85分的人的频率即可得成绩不低于85分的人数.【解答】
解：由频率分布直方图的频率和为1，可得：
，解得： .
故成绩不低于85分的人的频率为，
所以成绩不低于85分的人数有 .
故答案为：
19.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围以及基本不等式成立条件，属于一般题.
由已知条件变形，得出积为定值，然后由基本不等式求得最小值．
【解答】
解：因为实数，，，
则
，
当且仅当即，时等号成立，
所以的最小值为
故答案为：
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，向量数量积的坐标运算，属于较难题.
根据数量积的运算律及一元二次不等式恒成立得到，即可求出与的夹角，不妨设
、，，即可求出点C在以坐标原点为圆心，
半径的圆上，设，根据平面向量共线定理得到D在直线AB上，则
，将问题转化为圆上的点与直线AB上的点的连线段的长度问题，求出圆心到直线的距离，即可求出最小值.
【解答】
解：因为对任意的，有恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
又、为单位向量，所以恒成立，
所以，
所以，所以，设与的夹角为，则
，
又，所以 .
不妨设、，，
因为，所以，所以点C在以坐标原点为圆心，半径的圆上，
设，则D在直线AB上，
又直线AB的方程为，即，
所以，
所以，
又O到直线AB的距离，所以，
即的取值范围是 .
故答案为：
21.【答案】解：因为向量，，且，
所以，由正弦定理得，
又，则，即，
又，所以；
由余弦定理的，
整理得，解得或舍，
所以的面积 .
【解析】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题.
利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角A；
根据余弦定理求得边长c，再利用面积公式求解即可.
22.【答案】解：因为分别为棱的中点，所以，，又
，所以，
因为，分别为棱的中点，所以
又，
所以，所以，又平面ABC，平面ABC，
，
平面ABC，又平面DEF
所以平面平面ABC .
连BE，则由，所以，
平面ABC，平面ABC，
所以BE，又，平面PAC，平面
PAC，
平面PAC .
又平面PAC，
所以，
过点B作，垂足为H，连EH，
又，平面BEH，
所以平面BEH，又平面BEH，
所以，
则是二面角的平面角
在等腰直角三角形ABC中，，E为AC的中点，，，
，
由于，
所以，可得，
所以，
所以 .
所以平面PBC与平面PAC所成角的正弦值为
【解析】本题考查面面垂直的判断、二面角，属于中档题.
根据中位线及勾股定理得出线面垂直，再应用面面垂直判定定理得证；
根据线面垂直，作面面交线的垂线得出二面角，计算即得正弦值.
23.【答案】解：；
当时，，对于，，故为偶函数；
当时，，故不是奇函数；
又，，显然，即，故不是偶函数，
综上所述，当时，是偶函数，当时，既不是偶函数又不是奇函数.
ⅰ
当时，“在恒成立”等价于“在
恒成立”，也就是恒成立，
若，则，所以，
故，当，时，取到 3 ；
若，则，所以，
于是，当，时，取到 10 .
ⅱ
当时，“在恒成立”等价于“在
恒成立”.
①当时，，；
②当时，，；
当时，，故， .
综上所述，的最大值为 10 .
【解析】本题考查一元二次函数的图象与性质、判断或证明函数的奇偶性、一元二次不等式存在性或恒成立问题，属于困难题.
根据二次函数的性质即可求解；
根据奇偶性的定义和性质及可求解；
根据分情况讨论去掉绝对值，讨论a的取值范围，即可通过求解函数最值求解.。