空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

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环节一创设情境引入课题根据功的计算,我们定义了 平面向量的数量积运算, 一旦 定义出来,我们发现这种运算 非常有用,它能解决有关长度 和角度问题,在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算,现在我们 类比平面向量数量积的运算,学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置:教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测,作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能,请举出反例.
设a是非零向量,且b≠c,求证:a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求:(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
(4)EF·BC; (5)FG·BA; (6)GE·GF.
B
4.如图,已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点,求:(1)AB·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC; (4)EF ·BC; (5)FG ·BA; (6)GE · GF.(2)AD·DB=c.(AB-AD)=c·(a-c)=a.c-c B
环节四辨析理解深化概念例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).(2)ACi²=(AB+AD+AA)²=AB²+AD²+AA'²+2(AB·AD+AB·AA'+AD ·AA)=5²+3²+7²+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)=98+56 √2所以AC'≈13.3
2.如图,已知平行六面体ABCD-A'B'CD', 化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:(1)AB+BC; (2)AB+AD+CC';
(2)AB+AD+CC⁷=(AB+AD)+CCi=AC+CCi=AC'
(1)AB+BC=AC;
(第2题)
2.如图,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D', 化简下列表达式,并在图中
<a,by=<b,a), 如 ,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b.
特别地,零向量与任意向量的数量积为0.由向量的数量积定义,可以得到: a ⊥b⇔a.b=0,a·a=a a cos(a,a)=a²a·a也记作a²
已知两个非零向量a,b,则a b cos 叫做a,b的数量积(inner product),记作a·b,即
环节五概念应用巩固内化由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,空 间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来,因 此,立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.例3如图1.1-13,m,n 是平面α内的两条相交直线,如果l⊥m,l⊥n,
求证: ll a.
(1) (2) (3)
与平面β所成的角。
图1.1-11
空间向量的数量积满足如下的运算律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b.a(交换律)(a+b)·c=a·c+b·c (分配率)
环 节 一 创 设 情 境 引入课题问题1:类比平面向量的数量积,你能得出空间向量的数量积相关知识?
请同学们类 比平面向量 的数量积运 算研究空间 向量数量积 运算,小组 合作完成表 格.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的 夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.如图1.1-10,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量a,b的夹角,记作(a,b).通常规定,0≤(a,b)≤π,这样,两个向量的夹角是唯一确定的,且
环节二观察分析 感知概念问题2:根据平面向量数量积的学习经验,为了研究数量积的运算律, 需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
问题3:下面我们分情况展开空间向量投影的研究. 如图1(1),如何定义并画出空间向量 向 向 量 股 影 ?
(1)
如图1.1-11(1),在空间,向量a 向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c, ,向量c 称为向量a在向量b上
夹角
对非零向量
a,b,作OA=a,OB=b
,则∠AOB,π]
叫做a与b的夹角,记作 a,b),(a,
特例: 当 时,则a·b=0⇔a⊥b.
数量 积
两个非零向量a,b,则|allb|cos(a,b>叫.做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=数量积|a||b|cos(a,b>
特例:a·a=a²=|al² .
3.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求:(1)AA'·AB; (2)AB '的长; (3)AC'的长.(1)AA ·AB=AA(2)∵AB'=AB+AA',
4.如图,已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点,求:(1)AB ·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC;
设AB=a,AC=b,AD=c.∵ 四面体ABCD的各棱长均为aA∴∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°
(第4题)
(第4题)
5.如图,在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中,AC 与BD 的交点为M, 设A₁ B₁ =a,A₁ D₁ =b,A₁A=c, 则下列向量中与B₁ M 相等的向量是(A)
(1) (2) (3)
图1.1-11
如图1.1-11(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线,垂足分别为A',B', 得到向量A'B',向量A'B称为向量a 在 平面上β的投影向量.这是,向量a,向量A'B的夹角就是向量a 所在直线
1.1.2空间向量的数量积运算
学习目标1. 掌握空间向量的夹角的概念,培养数学抽象的核心素养.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律,提升数学抽象的核心素养。3. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,培养直观想象的核心素养.4. 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题,强化数学运算的核心素养.
∴ACi²=AB²+AD²+AA'²+2AB·AD+2AB·AA'+2AD·AA'
∴AC= √85,即AC'的长为√85.
(3)∵AC'=AB+AD+AA',
4.如图,线段AB,BD 在平面α内,BD⊥AB,AC⊥a, 且AB=a,BD=b,AC=c, 求 C,D 两点间的距离.∵CD=CA+AB+BD,∴CD²=CA²+AB²+BD²+2CA ·AB+2CA ·BD+2AB·BD=a²+b²+c²,∴CD=√a²+b²+c²,
环节六归纳总结反思提升课堂小结1.空间向量的夹角(1)两向量的夹角是唯一确定的(2)夹角范围(3)特殊夹角及对应两向量的位置关系2.空间向量的数量积的定义与几何意义3.空间向量数量积的性质:证明向量垂直的方法;计算向量长度的 方法。4. 空间向量数量积的运算律。
问 题7.请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题:1. 本节课学习的概念有哪些?2.在解决问题时,用到了哪些数学思想?

环节四辨析理解深化概念例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).
(1)AB·AD=AB AD cos(AB,AD)=5×3×cos60°=7.5,
标出化简结果的向量:(3)
2.如图,已知平行六面体ABCD-A'Bຫໍສະໝຸດ CD',标出化简结果的向量:
(4)设F 为AC'上靠近点A的三等分点,
化简下列表达式,并在图中
(第2题)
3.证明:如果向量a,b 共线,那么向量2a+b 与a 共线.由向量a,b共线,若a为零向量,则结论成立;若a为非零向量,则存在实数λ,使b=λa,从而2a+b=(2+λ)a,∴a,b共线.综上,向量2a+b 与a共线.
即C,D 两点间的距离为Ja²+b²+c².(第4题)
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D '中,E,F 分别为棱AA',AB的中点.(1)写出与向量BC 相等的向量;(2)写出与向量BC 相反的向量;(3)写出与向量EF 平行的向量.(1)与向量BC 相等的向量有AD,A'D,B'C;(2)与向量BC相反的向量有CB,DA,D'A',CB';(3)与向量EF平行的向量有A'B,BA',D'C,CD',FE.
分析:要证明l⊥a,就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义).如果我们能在g和m,n 之间建立某种联系,并由l⊥m,l⊥n, 得到ll g,那么就能解决此问题.
图1.1-13
证明:在平面α内作任意一条直线g, 分别在直线l,m,n,g 上取非零向量i,m,n,g.因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,将上式两边分别与向量i 作数量积运算,得i·g=xi.m+yi.n.因为i.m=0,i.n=0, 所以i.g=0. 所以⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥a.
= √ 16+2×10+25= √61,即AB'的长为√61;(第3题)
3.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求:(1)AA'·AB; (2)AB '的长; (3)AC '的长.
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