二次曲线系在圆锥曲线中的应用+教案设计-2022届高三数学二轮复习微专题

微专题：二次曲线系在圆锥曲线中的应用
一、内容分析
1.本专题在高考中的地位
圆锥曲线是高中数学的重要内容，是高考数学中的必考内容，直线与圆锥曲线的关系是高考中的热点、难点，在高考试卷中，一般在解答题倒数第二题位置出现，难度系数大；圆锥曲线问题除了考察学生的运算能力，还考察学生的分析问题和解决问题的能力，历年高考学生得分率也较低，因此需要加大学生对这块处理能力的培养.
2.考向分析
直线与圆锥曲线相交问题，一直是高考数学的热点；以大学内容或经典结论为背景出题是高考命题的趋势.
二、目标分析
1.知识目标
（1）理解并掌握如何将两相交直线表示成二次曲线；
（2）掌握当两相交直线与圆锥曲线相交时，过四交点的曲线的曲线方程的表示方法；（3）理解并掌握二次曲线系解决圆锥曲线中多共点问题的思想与步骤.
2.学情分析
本人所带高三（13）班是一个数理化组合班，学生基础相对较好，有一定的思维能力，但是每次考试，圆锥曲线解答题得分率并不高，得满分者寥寥无几，说明学生对直线与圆锥曲线的掌握其实并好；所以本节课，将引导学生理解并掌握这种处理直线与圆锥曲线相交问题的技巧。

3.重点难点
重点：运用二次曲线系解决两相交直线与圆锥曲线有公共点问题；
难点：运用二次曲线系解决圆锥曲线问题的类型，思想和步骤；
4. 学科素养
二次曲线系其实是一种数学模型，所以在培养学生逻辑推理和数学运算能力的同时，也要培养学生数学建模能力；
5．教法学法
二次曲线系是解决圆锥曲线问题的一种新的思路，所以本次课，主要采用讲授法；但对一种新方法学生掌握一般有一个过程，所以在教学过程中，我采用循序渐进的方法，先采用曲线系方法处理直线与圆，圆与圆的位置关系问题，再慢慢引导学生上升到运用曲线系方法处理直线与圆锥曲线关系问题.
三、教学过程
（一）提出问题
圆锥曲线是高中数学的重要内容，是高考数学中的必考内容，直线与圆锥曲线的位置关系是高考中的热点、难点，在高考试卷中，一般在解答题倒数第二题位置出现，难度较大，历年高考学生得分率也较低；
今天我们来探究一种处理直线与圆锥曲线位置关系问题的新方法.
引例【2021年新高考Ⅰ卷21】在平面直角坐标系xoy中，已知点1(17,0)
F-
2(17,0)
F，点M满足
122
MF MF
-=.记M的轨迹为C. （1）求C的方程；
（2）设点T在直线
1
2
x=上，过T的两条直线分别交C于,A B两点和,P Q
且TA TB TP TQ
=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
1. 什么是曲线系？
曲线系是指一类有共同特征和属性的曲线，我们用同一种方程形式表示出来，并引入一个参数去区分这些曲线，这就是曲线方程.
我们见过的曲线系有：
2. 常见曲线方程
（1）与已知直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为0Ax By m ++=（m 为参数） （2）与已知直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=（m 为参数） （3）与圆2
2
2
()()x a y b r -+-=有相同圆心的圆的方程2
2
()()x a y b m -+-=（m 为参数且0m >）
（4）与椭圆22
221x y a b
+=共焦点的椭圆方程为222
21x y a b λλ+=++ （5）与双曲线22
221x y a b
-=共焦点的双曲线方程为222
21x y a b λλ-=+- （6）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程为22
22x y a b
λ-=（0λ≠）
（7）等轴双曲线系22
x y λ-=（0λ≠）
直线与圆锥曲线相交时，我们还会用到共交点曲线系方程. 3.共交点曲线系方程
已知11:(,)0C F x y =，22:(,)0C F x y =，过12,C C 交点的曲线系方程为
12(,)(,)0F x y F x y λμ+=.
说明：
（1）1C 和2C 可以是直线，也可以是曲线（直线其实也是曲线）； （2）为什么此方程可以表示过12,C C 交点的曲线方程？
证明：设00(,)P x y 是12,C C 交点，则100(,)0F x y =，200(,)0
F x y =100200(,)(,)0F x y F x y λμ∴+=
（2）实际应用过程中，过12,C C 交点的曲线系方程可设为为12(,)(,)0F x y F x y λ+=或者
12(,)(,)0F x y F x y λ+=（虽有局限但不影响解题）
4.简单应用举例： （1）【选择性必修一P98第8题】 求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆
22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点的圆的方程.
解析：此题用常规方法需要解方程求圆心坐标和半径，如果用曲线系做就比较简单 设所求圆的方程为2
2
2
2
64(628)0x y x x y y λ++-+++-=， 化成标准方程为：得圆心坐标为，7λ=
（2） 求经过直线240x y ++=和22
2410x y x y ++-+=的交点，且过原点的圆的方程.
解析：设所求圆的方程为22
241(24)0x y x y x y λ++-++++=，
1
4
λ=
这里只是曲线系方程的简单应用，可见在处理两圆相交和直线与圆相交的问题时，共交点曲线系方程带来了很大的方便，那么在处理直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）相交的问题或者圆与圆锥曲线相交的问题时，能否也可以使用共交点曲线系方程呢？这就是我们今天要重点探究的问题—二次曲线系的应用.
5. 二次曲线
二次曲线方程一般形式：22
0Ax By Cxy Dx Ey F +++++=（A B C D E F 、、、、、不
全为0） 说明：
(1) 我们高中阶段所研究的圆锥曲线都是二次曲线，一般二次曲线方程中含有六个参数，
要确定一条二次曲线，一般要五个点，四个点，得到的是二次曲线系；三个点或两个点，曲线无法确定；
(2) 二次曲线除了可以表示圆、椭圆、双曲线、抛物线还可以表示两条相交直线，即双直
线二次曲线. (3) 双直线二次曲线
已知两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，那么这两条相交直线可以表示为111222()()0A x B y C A x B y C ++++=；
(4) 过两二次曲线交点的曲线系方程：
已知11:(,)0C F x y =，22:(,)0C F x y =，过12,C C 交点的曲线系方程为
12(,)(,)0F x y F x y λμ+=.
实际应用过程中，过12,C C 交点的曲线系方程可设为为12(,)(,)0F x y F x y λ+=或
12(,)(,)0F x y F x y λ+=
下面我们来看二次曲线系的应用 （二）解决问题
引例 【2021年新高考Ⅰ卷21】在平面直角坐标系xoy 中，已知点1(17,0)F -，2(17,0)F ，点M 满足122MF MF -=.记M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线1
2
x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 点，且TA TB TP TQ =，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
解析：
（1） 由题，12122217MF MF F F -=<=由双曲线定义可知:
M 的轨迹为以1(17,0)F -，2(17,0)F 长22a =的双曲线的一支（右支），M 的轨迹C 的方程为2
2
1(0)16
y x x -=>. （2）解法一：由题，设1(,)2T m ，设直线11:()2AB y k x m =-+，21
:()2
PQ y k x m =-+,
解法二：（二次曲线系）
TA TB TP TQ
=,,,
A B Q P
⇔四点共圆
由题，设
1
(,)
2
T m，设直线
1
1
:()
2
AB y k x m
=-+，
2
1
:()
2
PQ y k x m
=-+,
AB PQ方程为：
12
11
[()][()]0
22
k x m y k x m y
-+--+-=
过,,,
A B Q P四点的曲线方程为
2
2
12
11
[()][()][1]0
2216
y
k x m y k x m y x
λ
-+--+-+--=
2
222
1212
111
()()()()()()[1]0 22216
y k k x k x m y k x m y m y x
λ
⇔-+--+--+-+--=
2
222
1212
11
()()()()()[1]0
2216
y
k k x k k x m y m y x
λ
⇔-++--+-+--=
,,,
A B Q P四点共圆, ∴上方程定可以化成圆的一般方程形式，一定不会含由xy项，
12
k k
∴+=
思考：
这种解法的关键是什么？什么情况下可以用这种方法呢？有何优点？
经验总结：
1.两条相交直线可视为二次曲线，该二次曲线可用一个方程表示；
2.二次曲线系的适用条件：当两相交直线与圆锥曲线相交形成有四个交点时，或圆锥曲线
上存在四个点时，这四个点在三条二次曲线上(点的三重身份)，这种方法的实质是用其中的两条二次曲线表示第三条二次曲线；
3.二次曲线系是一种程序性方法，模式固定、易于操作.其解题步骤：设（曲线系方程）
→对（系数对应相等）→求（关键值）；
4. 本题的命题背景是四点共圆，有结论：
非圆二次曲线上四点,,,A B C D 共圆则0AB CD k k +=,
0BC AD k k +=,0AC BD k k +=,反之也成立.
（三）课堂练习
【2022年湖北省八市3月联考21】设椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左、右顶点分别为
A ,
B ，上顶点为D ，点P 是椭圆
C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率
3
2
e =
，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程；
:4
x +:x x
t t
++即 由222(,)22022x my t m t t M x y m m =+⎧----⇒⎨-+=--⎩ 2
222242422
BP t t m k m t m t m ++-=
=++-+
- 22
:(2)(2)0424424
t t BP y x x y m t m t ++∴=---=+-+-即
2
:(22)((2))0424
t AD BP x y x y m t +-+--=+-
:(1)0x
AB DP y y t
+-=
过四点ADPB 的曲线方程为2(22)(
(2))(1)0424t x
x y x y y y m t t
λ+-+--++-=+- 整
理
得
2222(2)4(2)4(2)
(2)[1][2]0
424424424424
t t t t x y xy y m t t m t m t m t λλλ+++++++--+---=+-+-+-+-
因为四点ADPB 在椭圆C 上，所以该曲线可以表示椭圆C ,与椭圆C 方程22
440x y +-=比对
应该满足：
2(2)10424t t m t λ
+--
=+-，4(2)
2424
t m t λ++=+-同时成立
消去λ 得(2)(2)0t t m ++-=，又20t +=不恒为0，202t m t m ∴+-=∴=-+ :22(1)MN x my m x m y ∴=-+-=-即MN ∴过定点21（，）
（四）课堂小结 1. 双直线二次曲线：
已知两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，那么这两条相交直线可以表示
为111222()()0A x B y C A x B y C ++++=；
2.二次曲线系是用来解决圆锥曲线中多共点问题：
适用条件：两相交直线与圆锥曲线相交有四个交点，或圆锥曲线上存在四个点，这四个点在三条二次曲线上(点的三重身份)，这种方法的实质是用其中的两条二次曲线表示第三条二次曲线；（程序化方法）
3. 两曲线有公共点时，会用共交点曲线系方程表示过交点的曲线；
4. 二次曲线系解题步骤：设（曲线系方程） →对（系数对应相等）→求（关键值）；
5.结论：非圆二次曲线上四点
,,,A B C D
共圆则0AB CD k k +=,0BC AD k k +=,
0AC BD k k +=,反之也成立.
（五）课后练习
1. （2016年四川文）已知椭圆22
221(0)x y E a b a b +=>>：的一个焦点与短轴的两个端点是正
三角形的三个顶点，点1
(3,)2
P 在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设不过原点O 且斜率为1
2
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ,D ，证明:
MA MB MC MD =
2. 【2020年课标1卷理科20】已知A ,B 分别为椭圆22
21(1)
x E y a a
+=>：的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = .P 为直线6x =上的动点，
P A 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D. （1）求E 的方程； （2）证明直线CD 过定点.
四、板书设计
C
D
A
B
G
P
C
D
M
B
A
O
标题：1.曲线系
2.共交点曲线系:
3.二次曲线系
4.双直线二次曲线多媒体
小结：
1.
2.
3．
4．
五、教学反思
二次曲线系是解决直线与圆锥曲线位置关系的一种新的方法，它主要是用来处理直线与圆锥曲线多交点问题，只要是两相交直线与圆锥曲线有公共点，或圆锥曲线上有四个点的问题，一般都可以采用这种方法解题，因此此方法的实用性较高，此方法与常规方法相比，具有可操作性强、运算量小等特点，当然前提时学生对圆、椭圆、双曲线和抛物线这几种特殊曲线的标准方程要熟悉，另外某些问题采用此方法还可以很快得出结论，这对于我们学生在处理定点、定值问题的时候，能很快得出结果带来了方便。

当然，这种方法与常规方法相比，究竟哪一种方法好，这需要学生自己去比较和体会。

那么在高考中，学生能否使用这种方法呢？或者说学生用这种方法解题，阅卷老师会不会扣分呢？我个人认为，相交直线系，相交圆系本身就是一种常见的解题方法，现在无非就是上升到直线与圆锥曲线，原理还是一样的，应该可以使用.。