2019秋九年级数学下册第三章圆周周测15全章新版北师大版

第三章圆
1．如图3－Y－1，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为( ) A．30° B．50° C．60° D．70°
3－Y－1
3－Y－2
2．如图3－Y－2，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是( )
A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．如图3－Y－3，已知直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O 上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( )
A．54° B．36° C．30° D．27°
3－Y－3
3－Y－4
4．如图3－Y－4，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
5 如图3－Y－5，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD 的长为( )
A.6
5
B.
8
5
C.
7
5
D.
2 3
5
3－Y－5
3－Y－6
6．如图3－Y－6，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.
7．如图3－Y－7，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．
︵8．如图3－Y－8，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则BC
的长为________．
3－Y－7
3－Y－8
9．如图3－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．
3－Y－9
3－Y－10
10．如图3－Y－10，直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为________．
11．如图3－Y－11，已知⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE＝CE，延长BE交⊙O于点F，连接FC，若正方形的边长为1，求弦FC的长．
图3－Y－11
12．如图3－Y －12，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，E 是BC 的中点，连接BD ，DE.
(1)若AD AB ＝1
3，求sin C ；
(2)求证：DE 是⊙O 的切线．
图3－Y －12
13．如图3－Y －13，△ABC 内接于⊙O，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的⊙O 的切线交于点D.
(1)若AC ＝4，BC ＝2，求OE 的长；
(2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．
图3－Y －13
14．如图3－Y －14，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F.
(1)求∠AFE 的度数；
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
图3－Y －14
15．如图3－Y－15，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.
(1)求证：四边形ACBP是菱形；
(2)若⊙O的半径为1，求菱形ACBP的面积．
图3－Y－15
1．C [解析] 如图，连接BD ，
∵∠ACD ＝30°，∴∠ABD ＝30°. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝60°. 故选C.
2．C [解析] 如图，连接OA ，设CD ＝x ，
∵OA ＝OC ＝5，∴OD ＝5－x . ∵OC ⊥AB ，
∴由垂径定理，得AD ＝4，
由勾股定理，得52＝42＋(5－x )2
， ∴x ＝2，∴CD ＝2. 故选C.
3．D [解析] ∵AD 为⊙O 的切线， ∴AD ⊥OA ，即∠OAD ＝90°.
∵∠ODA ＝36°，∴∠AOD ＝54°， ∴∠ACB ＝1
2
∠AOD ＝27°.
故选D.
4．C [解析] 过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C .∵OB ＝13 cm ，CD ＝8 cm ，∴OD ＝5 cm.在Rt △BOD 中，BD ＝OB 2
－OD 2
＝12 cm ，∴AB ＝2BD ＝24 cm.
5．B [解析] 如图，连接BD .
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ， ∴cos A ＝cos ∠BOC .
∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，
∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝2
5
，
∴cos A ＝2
5
.
又∵cos A ＝AD AB
，AB ＝4， ∴AD ＝8
5.故选B.
6．50
7．3 3 [解析] 如图，连接OB ，
∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形， ∴∠BOM ＝360°
6×2＝30°，
∴OM ＝OB ·cos ∠BOM ＝6×
3
2
＝3 3. 故答案为：3 3. 8.7
3
π [解析] 连接OC ，如图，
∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠CAO ＝60°，
∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝130°－60°＝70°， ∴BC ︵的长为70×π×6180＝73π.
故答案为：7
3
π.
9.14 [解析] 连接OD ，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，如图所示．
则CE ＝DE .
∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，M 是OA 的中点， ∴OD ＝OA ＝2，OM ＝1. ∵∠OME ＝∠CMA ＝45°， ∴△OEM 是等腰直角三角形， ∴OE ＝
22OM ＝22
.
在Rt△ODE中，由勾股定理，得DE＝22－（
2
2
）2＝
14
2
，
∴CD＝2DE＝14.
故答案为：
14.
10．2π－4 [解析] 如图，连接OB，OD.∵直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，∴AB⊥OB，PC⊥OD.
∵AB⊥CD，∴四边形BODP是矩形．又OB＝OD，∴四边形BODP是正方形．∴⊙O的半径
r＝
2
2
BD＝2 2.
∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝
1
4
×π×(2 2)2－
1
2
×2 2×2 2＝2π－4. 11．解：如图，连接BD，则BD为⊙O的直径．
∵CE＝
1
2
×1＝
1
2
，∴BE＝（
1
2
）2＋12＝
5
2
.
在Rt△ABD中，BD＝12＋12＝ 2.
∵∠DBE＝∠FCE，∠CFE＝∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴
BD
FC
＝
BE
CE
，∴
2
FC
＝
5
2
1
2
，∴FC＝
10
5
.
12．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABD.
∵
AD
AB
＝
1
3
，∴sin∠ABD＝
1
3
，∴sin C＝
1
3
.
(2)证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC ＝90°.
∵E 为BC 的中点，∴DE ＝BE ＝CE ， ∴∠EDB ＝∠EBD .
∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD . ∵∠ABC ＝90°，
∴∠EDO ＝∠EDB ＋∠ODB ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABC ＝90°， ∴OD ⊥DE .
∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．
13．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.
在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝42
＋22
＝2 5，
∴AO ＝12AB ＝1
2×2 5＝ 5.
∵OD ⊥AB ，
∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AOE ∽△ACB ，
∴
OE BC ＝AO AC ，∴OE ＝BC ·AO AC ＝2 54＝52. (2)∠CDE ＝2∠A .理由如下： 如图所示，连接OC .
∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A . ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD ，
∴∠OCD ＝90°，∴∠2＋∠CDE ＝90°. ∵OD ⊥AB ，∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠3＝∠CDE .
∵∠3＝∠A ＋∠1＝2∠A ，∴∠CDE ＝2∠A . 14．解：(1)连接OD ，OC ，
∵C ，D 是半圆O 上的三等分点， ∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，
∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°， ∴∠CAB ＝30°.
∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°， ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知，∠AOD ＝60°. ∵OA ＝OD ，AB ＝4，
∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2.
∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，
∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60×π×22
360－12×2×3＝2
3π－ 3.
15．解：(1)证明：如图，连接AO ，BO ，
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝1
2∠APB ＝30°，
∴∠AOP ＝60°，
∴∠ACO ＝∠OAC ＝30°， ∴∠ACO ＝∠APO ，∴AC ＝AP . 同理BC ＝BP ，
∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ， ∴四边形ACBP 是菱形．
(2)如图，连接AB 交PC 于点D ， 易得AD ⊥PC .
∵OA ＝1，∠AOP ＝60°， ∴AD ＝
32OA ＝32，∴PD ＝32
， ∴PC ＝3，AB ＝3，
∴菱形ACBP 的面积＝12AB ·PC ＝3 3
2
.。