力学习题——第一章运动学(习题课)(2)

第一章机械运动的描述（2）
1、 一质点沿X 轴运动，其加速度为a ＝4t(SI 制)，当t ＝0时，物
体静止于X ＝10m 处，则t 时刻质点的速度：V =2t 2, 位置：x =10+2t 3/3。

(310
2
1002032102;24t dt t vdt x t tdt adt v x
x t
t
+======⎰⎰⎰⎰) 2、一质点的运动方程为 (SI
制)，任意时刻t 的切向加速度为：2
9118t
t a +=
τ；法向加速度为：2
916t
a n +=。

解:t dt
dy v s m dt dx v y x 6 ;21==⋅==-;2
22364t v v v y
x +=+= 26 ;0-⋅====s m dt
dv a dt dv a y y x x ; 2
226-⋅=+=s m a a a y
x ; 29118t t dt dv a +==τ ; 22
2916t
a a a n +=-=τ 二、选择：
1、下列叙述哪一种正确（ B ）
在某一时刻物体的
(A)速度为零，加速度一定为零。

(B)当加速度和速度方向一致，但加速度量值减小时，速度的值一定增加。

(C)速度很大，加速度也一定很大。

2、以初速度V O 仰角θ抛出小球，当小球运动到轨道最高点时，其轨道曲率半径为（不计空气阻力）（ D ）
(A) V 20/g (B) V 20/(2g) (C) V 20sin 2θ/g (D) V 20cos 2θ/g
j t i t r 2
32+=
解：最高点 θcos 0v v = , g
v v g a n θρρ2202
cos ;=== 三、计算题：
1、一人站在山坡上，山坡与水平面成α角，他扔出一个初速度为V O 的小石子，V O 与水平面成θ角（向上）如图： (1)空气阻力不计，证明小石子落在斜坡上的距离为:
解：建立图示坐标系，则石子的运动方程为：
20
02
1s i n c o s gt t v y t
v x -⋅=⋅=θθ 落地点：ααs i n c o s
⋅=⋅=s y s x 解得：
(2)由此证明对于给定的V O 和α值，S 在 时有最大值
由[]0sin )sin(cos )(cos(cos 22
0=+-+=θαθθαθθ
θg v d ds
得：
0)2cos(=+αθ ∴ 2
4
α
π
θ-
= 代入得：
αα2220max
cos )sin 1(g v s +=
2、一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置θ（以弧度表示）可用下式表示：θ=2＋4t 3，式中t 以秒计，求：
(1)t ＝2秒时，它的法向加速度和切向加速度。

(2)当切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ的值是多少。

(3)在哪一时刻，切向加速度与法向加速度量值相等。

α
θ
αθ22cos cos )sin(2g V S O +=
24α
πθ-=α
α22max cos )
sin 1(g V S O
+=
α
θαθ22cos cos )sin(2g V S O +=
解：（1）2
12t dt
d ==
θω ；t dt d 24ωβ= ∴4
24.14t R a n ==ω ；t R a 42⋅==βτ
t=2s ，代入得：2
4230-⋅⋅=s m a n ；284-⋅⋅=s m a τ
（2）2
2
τa a a n
+= 由题意2)(1=+=τ
τa a a a n
即：2)42414(
12
4=⋅⋅+t
t 解得：t=0.66s ∴rad t 153423⋅=+=θ
τa a n = 即：t t 424144⋅=⋅
解得：t 1=0 ; t 2=0.55s。