抽象函数备课笔记(教师版)——张店成新广

抽象函数
一、函数的概念：
设A 、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域。

特别提醒：1、函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合A , B 为非空的数集；其中定义域A ，就是指原象的集合，值域{}A x x f ∈|)(，就是象的集合。

2、函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，应理解为：（1）x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号()y f x =仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，)(x f 也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号)(x f 外，还常用(),(),()g x F x G x 等符号来表示。

3、判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1）x 的取值集合是否为空集；（2）根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。

二、函数的三要素：
我们通常把对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(称为函数的三要素。

由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。

如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。

三、抽象函数的定义和解法：
对于解析式不确定，但确定定义域的函数，我们习惯上称其为抽象函数。

抽象函数一般会告诉关于在对应法则f （y ）下的定义域，但并不会告诉函数具体的解析式，求解同一对应法则f （z ）下的函数的定义域，其中，括号内的y 和z 代表关于x 的不同的解析式。

求解这类问题时，遵循的原则就是括号内的范围相同。

1、明白函数的定义域求解方法。

2、掌握抽象函数的问题求解方法，并能熟练运用。

类型一：有解析式函数的定义域
例1：函数f（x）=+的定义域为（）
A．{x|x≠2} B．{x|x＜﹣3或x＞3} C．{x|﹣3≤x≤3} D．{x|﹣3≤x≤3且≠2}
解：由题意得：
，
解得：﹣3≤x≤3且x≠2，
故函数的定义域是{x|﹣3≤x≤3且≠2}，
故选：D．
练习1．函数的定义域是（）
A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
解：函数，
∴|x|﹣2＞0，
即|x|＞2，
解得x＜﹣2或x＞2，
∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故选：D．
类型二：“半抽象”函数的定义域
例2：设函数，则的定义域为（）
A． B．[2，4] C．[1，+∞）D．[，2]
解：∵函数的定义域为：[1，+∞）．
∴，
解得2≤x ≤4． ∴的定义域为：[2，4]．
故选：B ．
类型三：抽象函数
例3：若()f x 的定义域为[]1,4-，则()2f x 的定义域为（ ）
A.[]1,2-
B.[]2,2-
C.[]0,2
D.[]2,0-
答案：B.
例4．已知函数y=f （x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f （2x ﹣1）的定义域（
） A ． [﹣3，7]
B ． [﹣1，4]
C ． [﹣5，5]
D ．
答案：D.
基础训练
1、已知函数f （x ）=的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（
）
A ．a ＞
B ．﹣12＜a ≤0
C ．﹣12＜a ＜0
D ．a ≤
解：由a=0或
可得﹣12＜a ≤0，
故选B ．
2．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ）
A ．f （x ）=lnx
B ．
C ．f （x ）=|x|
D ．f （x ）=e x
解：函数的定义域是{x|x＞0}，
对于A：定义域是{x|x＞0}，
对于B：定义域是{x|x≠0}，
对于C：定义域是R，
对于A：定义域是R，
故选：A
3．已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2]
解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，
即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，
即函数f（x）的定义域为[0，4]，
令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．
则函数y=f （）的定义域为[0，16]．
故选B．
4．若函数
()
y f x
=的定义域是[0，2]，则函数
(2)
()
1
f x
g x
x
=
-的定义域是（）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）答案：B.
解析:要使
()
g x有意义，则
022
10
x
x
≤≤
⎧
⎨
-≠
⎩，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
巩固提升
1．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋4)的递增区间是( )
A．(2,7) B．(－2,3) C．(－6，－1) D．(0,5)
答案：C.
2．已知函数f（x）定义在区间（﹣1，1）内，对于任意的x，y∈（﹣1，1）有f（x）+f（y）=f（），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）若f（﹣）=1，求方程f（x）+=0的解．
答案：（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．
任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（）．
﹣1＜x1＜x2＜1，可得﹣1＜x1x2＜1，则＜0，则f（）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．则f（x）在区间（﹣1，1）内是减函数．
（2）f（x）为奇函数，则f（）=﹣1，
又2f（x）=f（x）+f（x）=f（），且f（x）+=0，
即2f（x）+1=0，2f（x）=﹣1．则f（）=f（）．
f（x）在区间（﹣1，1）内是单调函数，
可得=．
即x=2﹣或x=2+（舍）．
故方程的解为2﹣．
1．已知二次函数
()
f x满足(1)()21
f x f x x
+-=-+且(2)15
f=.
（1）求函数
()
f x的解析式；
（2）令
()(22)() g x m x f x
=--
①若函数
()
g x在[]
0,2
x∈
上是单调函数，求实数m的取值范围；
②求函数
()
g x在[]
0,2
x∈
的最小值．
答案：（1）由条件设二次函数
2
()(0)
f x ax bx c a
=++≠，
则
22
(1)()(1)()221
f x f x a x bx c ax bx c ax a b x
+-=+++-++=++=-+
22,1a a b ∴=-+=，2,1a b ∴=-=又(2)1515f c =∴=
∴函数的解析式为
2()215f x x x =-++． （2）①∵2()215f x x x =-++，∴
2()(22)()215g x m x f x x mx =--=--， 而()g x 在[0,2]x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在[0，2]的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥．
②
2()215,[0,2]g x x mx x =--∈，对称轴x m =， 当2m >时，
min ()(2)4415411g x g m m ==--=--， 当0m <时，min ()(0)15g x g ==-，
当02m ≤≤时，
222min ()()21515g x g m m m m ==--=--． 综上所述：
()()()min 24112g()1501502m m x m m m ⎧-->⎪-<⎨⎪--≤≤⎩. 2．若函数f （x ）=
，则函数f （x ）与函数g （x ）=的图象交点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：作函数y=f （x ）与的图象如下图所示：
有图可得，两函数图象有3个交点．
故选：D.
3．已知函数
2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()b x f =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.
答案：画出函数图象如下图所示：
由图所示，要
()
f x b
=
有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
22
24,30
m m m m m m m
>-⋅+->
，解得3
m>.
家长签字：
学科负责人签字：主管签字：。