2020-2021中考数学复习二次函数专项易错题附详细答案

2020-2021中考数学复习二次函数专项易错题附详细答案
一、二次函数
1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．
（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣1
2
时，△APC 的面积取最大值，最大值为
278
，此时点P 的坐标为（﹣12，15
4）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，
2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】
（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣
32x 2﹣3
2
x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】
（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：
10423b c b c -++=⎧⎨
--+=⎩，解得：2
3b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：
023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：1
1
m n =-⎧⎨
=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．
（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝1
2AQ•PF＝﹣
3
2
x2﹣
3
2
x+3＝﹣
3
2
（x+
1
2
）2+
27
8
．
∵﹣3
2
＜0，
∴当x＝﹣1
2时，△APC的面积取最大值，最大值为
27
8
，此时点P的坐标为（﹣
1
2
，
15
4
）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC
＝，AN，
∴C
△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为
+
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关
系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3的最值；（3）利用二次函
数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
3．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w ，
根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000 ＝﹣10（x ﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
4．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点
C .
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =
-;抛物线的对称轴为直线2
x =
;
（Ⅱ）P 点坐标为9
(0,)4
-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.
（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.
（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，
∴
23a -=⨯12a =，
∴
抛物线的解析式为2122
y x x =
-，
∵212222
b x a =-=-
=⨯， ∴
抛物线的对称轴为直线x =
（Ⅱ）∵点(0,0)O
，对称轴为2
x =
， ∴点O 关于对称轴的对称点B
点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B
，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，
把点3)A -
，点1(B -
代入得30b
b
⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，
解得9
4k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
∴944y x =--.
∴
直线9
4
y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4
=-， ∵P 点坐标为9(0,)4
-.
（Ⅲ）
∵3)A -，//AC x 轴，
∴AC =3OC =，
∴113222
AOC S OC AC ∆=
⋅=⋅=
， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=
，
∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q
点坐标为21(,
)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，
∵2
AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=
梯形，
∴
()
2113311
3333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.
如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93
2
AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=
梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
393(3)2m m --+-=，
化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
.
【点睛】
主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.
5．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）3009+93
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得3 所以S 四边形PEAD =
12×（3+3）993 ； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°， 在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t ＜3时， PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，AQ=3t ，∴S=
12×t×3t=32
t ； ②当3≤t ＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴BF=33-t ，S △ABD =93
， ∵∠FBK=∠FKB ，∴FB=FK=33-t ，KH=KF×sin600=9-3t
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK =23993,2t t -
+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=
9-333t +，∴S=233233633
-t t --++
． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
6．如图，已知抛物线
的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为
A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

（1）求直线BC 与抛物线的解析式；
（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，且S 1=6S 2，求点P 的坐标。

【答案】（1）
（2）
（3）P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。

（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。

∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则
BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。

∴直线BC 沿y 轴方向平移6个单位得PQ 的解析式：
或。

当时，与联立，得 ，解得
或。

此时，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当时，与
联立，得 ，解得
或。

此时，点P 的坐标为（2，－3）或（3，－
4）。

综上所述，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

7．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
(1)求m
n 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线
AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.
(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形
与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）2
65y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时
3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
. 【解析】
分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；
（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出
Q 坐标即可．
详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．
∵y =﹣x 2
+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：6
5b c =⎧⎨=-⎩
，则二次函数解
析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；
（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =22m ，PN =22
（4﹣m ），∴S △MPN =
12PM •PN =12×22m ×2
2
（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；
（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论： ①当△ABD ∽△DAQ 时，
AB DA =BD AQ ，即32=4AQ ，解得：AQ =82
，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣8
3
）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BD
AQ
=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．
综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（
73，﹣8
3
）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
8．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(
10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得
PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
23y x x =++-；（2）存在，点(1
2)P ，；（3）存在，点M 坐标为(1
4)， 【解析】 【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）
，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．
（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，
PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把
1x ＝代入即求得点P 纵坐标．
（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）
∴可设交点式13y a x x +＝（
）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝
1a ∴＝﹣
21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣
∴抛物线解析式为223y x x ++＝-
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC
∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称
PA PB ∴＝
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝
∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小
103003A B C Q （﹣，）、（，）、（，）
AC BC ∴===
PAC C AC CB ∆∴+＝
设直线BC 解析式为3y kx +＝
把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣
∴直线BC ：3y x +＝﹣
132P y ∴+＝﹣＝
∴点12P （，）使PAC ∆的周长最小，最小值为
103
2+． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝． ∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC ∴当以PA 为底时，两三角形等高 ∴点C 和点M 到直线PA 距离相等 ∵M 在x 轴上方
//CM PA ∴
1012A P Q （﹣，），（，）
，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩
∴直线1AP y x +：＝
∴直线CM 解析式为：3y x +＝
2
323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩
Q 解得：1103x y =⎧⎨
=⎩（即点C ），221
4
x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
9．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3 2
2
a b
b
a
+-
⎧
⎪
⎨
-⎪
⎩
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,
∴PF AF AE BE =，即244213x x x
--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5
∴点P 的坐标为（-1，-5），
又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1
4
，0） ∴S △PAB=115
531524
⨯⨯+= 【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
10．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？
（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；
②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12
x 2
+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】
（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；
（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】
（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，
∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，
AGE ECF AG EC
GAE CEF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；
(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =1
2
(BC-BE)·FN ， 即y=
1
2
x(4-x ）， ∴y=-
12
x 2
+2x （0＜x ＜4)， ②()
()2
22111y x 2x x 4x x 22222
=-
+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得
有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．
试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即
，∴DE=4﹣2t，
∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1
时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小
值1，此时OP=2，OE=1，∴E （0，1），P （2，0）； ②存在，∵抛物线
的对称轴方程为x=3，设F （3，m ），∴，
=
，
=
，
当△EFP 为直角三角形时， ①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2， ②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，
，即
，解得：m=7，
综上所述，F （3，2），（3，7）．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．
12．如图， 已知抛物线2
3
42
y ax x =+
+的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．
（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．
【答案】（1）213
442
y x x =-
++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】
（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标；
（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为
（x,213-
442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14
x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42
m +），进而可得出MN 2124
m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．
【详解】
（1）Q 抛物线2342
y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a
∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442
y x x =-++． 当0y =时，2134042
x x -++=， 解得：12x =-，28x =，
∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．
（2） 当0x =时，2134442
y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．
设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠．
将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，
804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142
y x =-+．
假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-
++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
， ()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭
． 10-<Q ，
∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．
08x <<Q ，
∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
． 又3MN =Q ，
21234
m m ∴-+=． 当08m <<时， 有212304
m m -+-=， 解得：12m =，26m =，
∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；
当0m <或8m >时， 有212304
m m -++=，
解得：34m =-44m =+
∴点M 的坐标为(4-1)或(4+1)．
综上所述：M 点的坐标为(4-1)、()2,6、()6,4或(4+
1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．
13．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-
++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】 试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．
试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，
∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），
∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53
x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-
t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53
t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，
当∠PBE ＝∠OCD 时，
则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC
=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；
当∠PBE ＝∠CDO 时，
则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD
=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，
∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，
∴∠OCQ ＝∠AQB ，
∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB
=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，
∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，
①当m ＝2时，CQ
BQ
∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC
＝5， ∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝
25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5（10﹣t ）， ∴25t ＝5（10﹣t ），解得t ＝103
， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203
， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为
103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
14．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；
（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；
（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、
②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c
=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1
{23
a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．
（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1
，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -
=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：
2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；
①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；
③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．
考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．
15．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D ．
①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．。