高中数学北师大版选修1-1课件：阶段复习课 第4章 导数应用
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第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【解析】(1)设奖励函数模型为y=f(x)，则公司对函数模型的
基本要求是：当x∈[10，1000]时，
①f(x)是增加的；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤ (2)①对于函数模型 y x 2 : 当x∈[10，1000]时，f(x)1是50增加的，
恒成立x. 5
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
第二步：求f'(x)，令f'(x)=0，得出所有实数解.
第三步：比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据 实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.
第四步：结合实际问题给出结论.
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例3】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例1】(2013·大庆高二检测)已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2e时，求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=f(x)+ 在2 [1，3]上是减少的，求实数a的
取值范围.
x
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
在x= 2与x=1时都取得极值. (1)求a，3 b的值与函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1，2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【解析】(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，f'(x)=3x2+2ax+b，
由 f '( 2) 12 4fa'(1b)=30+, 2a+b=0，
1
3
1
解得c≤-3或c≥12.
2
2
∴c的取值范围是(-∞，-3]∪[1，+∞).
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 三 导数在实际问题中的应用
利用导数求实际问题的最大(小)值的四个步骤 第一步：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大 值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出 函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定义域.
A.y=2-3x2
B.y=lnx
C.y= 1
D.y=sinx
【解析x】 选2 C.对于函数y= 1其，导数
x2
1
y'
(x
2)2
0,
且函数在区间(-1，1)上有意义，所以函数
y 1
在区间(-1，1)上是减少的，其余选项都不符合要求. x 2
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
2.函数y=sin(x+ )+π在区间[-π，π]上取极大值时x的值 2
②对于函数模型f(x)=4lgx-3：当x∈[10，1000]时，
f(x)是增加的，则f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9.
所以f(x)≤9恒成立.
设g(x)= 4lg x 3则 xg,'(x)=
5
4lg e 1 . x5
当x≥10时，g'(x)= 4lg e 1 2lg e 1 lg e2 1 0,
2x
a x
2 x2
.
又函数g(x)=x2+alnx+ 2在[1，3]上是减少的，
x
则g'(x)≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式
2x x2≤2 0在xa [1，3]上恒成立.
即a≤ -22x2在[1，3]上恒成立.
设φ(xx)= -22x2，又φ'(x)=- -4x2<0， ∴φ(x)= x-22x2在[1，3]上是减少的x2，
3 93 得a= 1，b=-2，
2 f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，
列表：
x
f'(x) f(x)
(-∞， 2)
3
+ ↗
2 3
0 极大值
( 2，1)
3
↘
1 (1，+∞)
0
+
极小值 ↗
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
所以函数f(x)的递增区间是(-∞， )，2(1，+∞)，
所以φ(x)的x最小值为φ(3)=
52 .
即a的取值范围为(-∞， ]5.2 3
3
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 二 利用导数研究函数的极值、最值 1.利用导数求函数f(x)在区间[a，b]上最值的步骤及注意事项 (1)求f(x)在区间[a，b]内的极值(极大值或极小值).
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为
当a=-2e时，f '(x) 2x 2e 2(x e)(x e)
x
x
列表：
x f'(x)
(0， e) -
e
( e，+∞)
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0， )，
e 递增区间是[ ，+∞).
e
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
(2)g(x)=x2+alnx+ 2得，g'(x)= x
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【互动探究】本例中若把不等式改为f(x)≥- c2恒成1立，
2
求c的取值范围.
【解析】f(x)=x3- x21-2x+c，x∈[-1，2]，
当x=1时，f(1)=- +c32；当x=-1时，f(-1)= +c， 1
∴最小值为- +3c. 2
2
要使f(x)≥- c2恒成立，则只需要- +c≥- c2即可，
最大值，最小的一个为最小值，若表达式中含有参数，则需
对参数分类讨论来确定最值.
2.利用导数研究函数的极值、最值的两类题型 (1)知道具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解.
(2)知道函数的极值或最值，求参数的值.
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例2】(2013·六盘水高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c
在(-a，a)上是减少的，在(a，+∞)上是增加的，
极大值为f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0，极小值为f(a)=a(1-2a2)<0，
由此解得a> 2 .
2 答案：( 2+，∞)
2
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
5.已知函数y=ax3+bx2，当x=1时函数有极大值3.
(3)f'(x)=0的根是否在定义域内.另外当f'(x)=0的最高次项系数含有 字母时，则要讨论系数是否为0.
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
2.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路 (1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f'(x)≥0(或≤0)恒 成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f'(x)=0的参数 是否符合题意. (2)构造关于参数的不等式求解，即令f'(x)>0(或<0)求得用参数 表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参 数的取值范围.
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十三页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十四页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十五页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
则f(x)max=f(1000)=
1000 2
所以f(x)≤9恒成立. 20 2 9.
因为函数
在[10，1510000]上是3减少的，
所以
f (x) 1 2 x 150 x
f (x)
1 11
即f(x)[≤x 不]m恒ax 成 1立50.故该5 函5数. 模型不符合公司要求.
x
5
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
∴x= 为l极n 2小值点.
1
ln 2
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
4.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，
则a的取值范围是
.
【解析】f'(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a)，由f'(x)<0，得-a<x<a，
∴f(x)在(-∞，-a)上是增加的，
为( )
A.
B.0
【解2 析】选B.
C.-π
D.π
y=sin(x+ )+π=cosx+π，y'=-sinx，令y'>0，则-π<x<0，
因此在区间2[-π，π]上，当x∈[-π，0]时，函数是增加
的，当x∈[0，π]时，函数是减少的，根据极值定义，当x=0
时函数在区间[-π，π]取得极大值.
第十九页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
3
递减区间是[ ，2 1].
3
(2)f(x)=x3- x12-2x+c，x∈[-1，2]，
2
当x= 时2 ，f(
)=
2+c为2极2 大值，
而f(2)=32+c，则f(23)=22+7c为最大值，
要使f(x)<c2，x∈[-1，2]恒成立，
则只需要c2>f(2)=2+c，得c<-1，或c>2.
∴c的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).
所以g(x)在[10，1000]上x 是减5少的，5
5
从而g(x)≤g(10)=-1<0，所以4lgx-3- <x0，即4lgx-3< x，
所以f(x)< 恒成立.故该函数模型符合公司5要求.
5
x
5
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【跟踪训练】
1.下列函数中在区间(-1，1)上减少的是 ( )
3.若函数y=f(x)=x·2x在x0处有极小值，则x0等【解析】选B.∵y=x·2x，
C.-ln2
D.ln2
∴y'=2x+x·2x·ln2=2x·(1+x·ln2).
令y'=0，可得： x
1
.
当x∈(-∞， )1时，yl'n<20；
当x∈( +1∞，)时ln ，2 y'>0.
(1)求a，b的值. (2)求函数y的极小值.
【解析】(1)y'=3ax2+2bx，当x=1时，y'=3a+2b=0，
又y=a+b=3，
即
解得
3a 2b 0,
a 6,
(2)ya=-b6x33+, 9x2，y'=-18bx2+91.8x，令y'=0，得x=0或x=1.
∴当x=0时，函数y取得极小值0.
阶段复习课 第四章
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【答案速填】①导数在实际问题中的应用 ②导数与函数的单调性 ③
实际问题中导数的意义
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 一 导数与函数的单调性
1.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面 (1)f'(x)=0有无根.
(2)f'(x)=0根的大小.
能获得10～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题
组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元) 的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收 益的20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对
奖励函数模型的基本要求.
(2)现有两个奖励函数模型：① ②y=4lgx-3，试分析这两个函数模型y是否15x符0 合2公; 司要求?
【解析】(1)设奖励函数模型为y=f(x)，则公司对函数模型的
基本要求是：当x∈[10，1000]时，
①f(x)是增加的；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤ (2)①对于函数模型 y x 2 : 当x∈[10，1000]时，f(x)1是50增加的，
恒成立x. 5
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
第二步：求f'(x)，令f'(x)=0，得出所有实数解.
第三步：比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据 实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.
第四步：结合实际问题给出结论.
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例3】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例1】(2013·大庆高二检测)已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2e时，求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=f(x)+ 在2 [1，3]上是减少的，求实数a的
取值范围.
x
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
在x= 2与x=1时都取得极值. (1)求a，3 b的值与函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1，2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【解析】(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，f'(x)=3x2+2ax+b，
由 f '( 2) 12 4fa'(1b)=30+, 2a+b=0，
1
3
1
解得c≤-3或c≥12.
2
2
∴c的取值范围是(-∞，-3]∪[1，+∞).
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 三 导数在实际问题中的应用
利用导数求实际问题的最大(小)值的四个步骤 第一步：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大 值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出 函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定义域.
A.y=2-3x2
B.y=lnx
C.y= 1
D.y=sinx
【解析x】 选2 C.对于函数y= 1其，导数
x2
1
y'
(x
2)2
0,
且函数在区间(-1，1)上有意义，所以函数
y 1
在区间(-1，1)上是减少的，其余选项都不符合要求. x 2
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
2.函数y=sin(x+ )+π在区间[-π，π]上取极大值时x的值 2
②对于函数模型f(x)=4lgx-3：当x∈[10，1000]时，
f(x)是增加的，则f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9.
所以f(x)≤9恒成立.
设g(x)= 4lg x 3则 xg,'(x)=
5
4lg e 1 . x5
当x≥10时，g'(x)= 4lg e 1 2lg e 1 lg e2 1 0,
2x
a x
2 x2
.
又函数g(x)=x2+alnx+ 2在[1，3]上是减少的，
x
则g'(x)≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式
2x x2≤2 0在xa [1，3]上恒成立.
即a≤ -22x2在[1，3]上恒成立.
设φ(xx)= -22x2，又φ'(x)=- -4x2<0， ∴φ(x)= x-22x2在[1，3]上是减少的x2，
3 93 得a= 1，b=-2，
2 f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，
列表：
x
f'(x) f(x)
(-∞， 2)
3
+ ↗
2 3
0 极大值
( 2，1)
3
↘
1 (1，+∞)
0
+
极小值 ↗
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
所以函数f(x)的递增区间是(-∞， )，2(1，+∞)，
所以φ(x)的x最小值为φ(3)=
52 .
即a的取值范围为(-∞， ]5.2 3
3
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 二 利用导数研究函数的极值、最值 1.利用导数求函数f(x)在区间[a，b]上最值的步骤及注意事项 (1)求f(x)在区间[a，b]内的极值(极大值或极小值).
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为
当a=-2e时，f '(x) 2x 2e 2(x e)(x e)
x
x
列表：
x f'(x)
(0， e) -
e
( e，+∞)
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0， )，
e 递增区间是[ ，+∞).
e
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
(2)g(x)=x2+alnx+ 2得，g'(x)= x
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【互动探究】本例中若把不等式改为f(x)≥- c2恒成1立，
2
求c的取值范围.
【解析】f(x)=x3- x21-2x+c，x∈[-1，2]，
当x=1时，f(1)=- +c32；当x=-1时，f(-1)= +c， 1
∴最小值为- +3c. 2
2
要使f(x)≥- c2恒成立，则只需要- +c≥- c2即可，
最大值，最小的一个为最小值，若表达式中含有参数，则需
对参数分类讨论来确定最值.
2.利用导数研究函数的极值、最值的两类题型 (1)知道具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解.
(2)知道函数的极值或最值，求参数的值.
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【典例2】(2013·六盘水高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c
在(-a，a)上是减少的，在(a，+∞)上是增加的，
极大值为f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0，极小值为f(a)=a(1-2a2)<0，
由此解得a> 2 .
2 答案：( 2+，∞)
2
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
5.已知函数y=ax3+bx2，当x=1时函数有极大值3.
(3)f'(x)=0的根是否在定义域内.另外当f'(x)=0的最高次项系数含有 字母时，则要讨论系数是否为0.
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
2.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路 (1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f'(x)≥0(或≤0)恒 成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f'(x)=0的参数 是否符合题意. (2)构造关于参数的不等式求解，即令f'(x)>0(或<0)求得用参数 表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参 数的取值范围.
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十三页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十四页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
第二十五页，编辑于星期日：二十三点 三十四 分。
则f(x)max=f(1000)=
1000 2
所以f(x)≤9恒成立. 20 2 9.
因为函数
在[10，1510000]上是3减少的，
所以
f (x) 1 2 x 150 x
f (x)
1 11
即f(x)[≤x 不]m恒ax 成 1立50.故该5 函5数. 模型不符合公司要求.
x
5
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
∴x= 为l极n 2小值点.
1
ln 2
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
4.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，
则a的取值范围是
.
【解析】f'(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a)，由f'(x)<0，得-a<x<a，
∴f(x)在(-∞，-a)上是增加的，
为( )
A.
B.0
【解2 析】选B.
C.-π
D.π
y=sin(x+ )+π=cosx+π，y'=-sinx，令y'>0，则-π<x<0，
因此在区间2[-π，π]上，当x∈[-π，0]时，函数是增加
的，当x∈[0，π]时，函数是减少的，根据极值定义，当x=0
时函数在区间[-π，π]取得极大值.
第十九页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
3
递减区间是[ ，2 1].
3
(2)f(x)=x3- x12-2x+c，x∈[-1，2]，
2
当x= 时2 ，f(
)=
2+c为2极2 大值，
而f(2)=32+c，则f(23)=22+7c为最大值，
要使f(x)<c2，x∈[-1，2]恒成立，
则只需要c2>f(2)=2+c，得c<-1，或c>2.
∴c的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).
所以g(x)在[10，1000]上x 是减5少的，5
5
从而g(x)≤g(10)=-1<0，所以4lgx-3- <x0，即4lgx-3< x，
所以f(x)< 恒成立.故该函数模型符合公司5要求.
5
x
5
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【跟踪训练】
1.下列函数中在区间(-1，1)上减少的是 ( )
3.若函数y=f(x)=x·2x在x0处有极小值，则x0等【解析】选B.∵y=x·2x，
C.-ln2
D.ln2
∴y'=2x+x·2x·ln2=2x·(1+x·ln2).
令y'=0，可得： x
1
.
当x∈(-∞， )1时，yl'n<20；
当x∈( +1∞，)时ln ，2 y'>0.
(1)求a，b的值. (2)求函数y的极小值.
【解析】(1)y'=3ax2+2bx，当x=1时，y'=3a+2b=0，
又y=a+b=3，
即
解得
3a 2b 0,
a 6,
(2)ya=-b6x33+, 9x2，y'=-18bx2+91.8x，令y'=0，得x=0或x=1.
∴当x=0时，函数y取得极小值0.
阶段复习课 第四章
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
【答案速填】①导数在实际问题中的应用 ②导数与函数的单调性 ③
实际问题中导数的意义
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十四分。
类型 一 导数与函数的单调性
1.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面 (1)f'(x)=0有无根.
(2)f'(x)=0根的大小.
能获得10～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题
组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元) 的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收 益的20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对
奖励函数模型的基本要求.
(2)现有两个奖励函数模型：① ②y=4lgx-3，试分析这两个函数模型y是否15x符0 合2公; 司要求?