黑龙江省哈尔滨三中2017届高考数学二模试卷(解析版)(理科)

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（）
A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣i
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4
3．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
5．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）
A．B．C．D．
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．10 B．20 C．40 D．60
8．已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）
A．B．C．D．
9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）
=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△
ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为
2c（c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分
别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则
展开式的常数项为．
14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．
15．已知f（x）=，则．
16．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：
①f（x）=x2②f（x）=xe x③④
其中函数f（x）为“期望函数”的是．（写出所有正确选项的序号）
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
=2S n+3（n∈N）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n
+1
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（10分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；
（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．
20．（10分）已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．
21．（10分）定义：设f（x）为（a，b）上的可导函数，若f′（x）为增函数，则称f（x）为（a，b）上的凸函数．
（1）判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；
（2）设f（x）为（a，b）上的凸函数，求证：若λ1+λ2+…+λn=1，λi＞0（i=1，2，…，n），则∀x i∈（a，b）（i=1，2，…，n）恒有λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）=f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）成立；
（3）设a，b，c＞0，n∈N*，n≥b，求证：a n+b n+c n≥a n﹣5b3c2+b n﹣5c3a2+c n﹣5a3b2．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=2．
（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐
标；
（2）直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．
23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；
（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（）
A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣i
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数==﹣1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．
【解答】解：∵集合A={0，2，4，6}，
B={n∈N|2n＜8}={0，1，2}，
∴集合A∩B={0，2}，
∴集合A∩B的子集个数为n=22=4．
故选：D．
【点评】本题考查交集的子集个数求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、子集定义的合理运用．
3．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m⊂α，n 与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α．分析后即可得到正确的答案．
【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，
又由m、n共面，那么m∥n，
故A正确；
B答案中：如果m⊂α，n与α相交，
那么m、n相交或m、n是异面直线，
故B答案错误；
C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，
则n与α可能平行，也可能相交，
故C答案错误；
D答案中：如果m⊥α，n⊥m，
那么n∥α或n⊂α
故D答案错误；
故选A
【点评】要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．
4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．
【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．
又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．
故选A．
【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．
5．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为1．
要使直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交，
则圆心到直线y=kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．
在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1
相交”
发生的概率为=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．10 B．20 C．40 D．60
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，
故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到
该几何体的形状．
8．已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）
A．B．C．D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sin（﹣α）=cos[﹣（﹣α）]=cos（+α）=，
∴sin（﹣2α）=cos[﹣（﹣2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）﹣1=2
×﹣1=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）
=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．
【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f （x））=1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；
④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），
三点恰好构成等边三角形．
【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0， ∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1，
即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；
③若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确； ④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=
，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，
∴A （，0），B （0，1），C （﹣
，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④
正确．
即真命题的个数是4个， 故选：A ．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
10．“关于x 的方程x 2﹣mx +n=0有两个正根”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】关于x 的方程x 2﹣mx +n=0有两个正根，则
．方程mx 2+ny 2=1
的曲线是椭圆，则．即可得出结论．
【解答】解：关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根，则．
方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则．
上述两个不等式组相互推不出．
∴关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查了方程与判别式的关系、椭圆的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为
2c（c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣=1，由此可得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣=1，
整理可得e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e=+1，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分
别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为（）
A．B．C．D．
【考点】4R：反函数．
【分析】根据反函数的性质，f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，
N关于直线y=x对称．可得，可得函数f（x）的范围．在根据定义域求解k即可．
【解答】解：由题意，函数，，若f（x），g （x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称
可得：，
解得：﹣2≤x≤2．
根据反函数的性质，可得﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤kx≤2，
∵0＜x≤e，
∴≤k≤，
解得：．
故选B．
【点评】本题考查了反函数的性质的运用，属于基础题．
二、填空题（2017•道里区校级二模）已知x，y满足，若目标函数z=x+2y
的最大值为n，则展开式的常数项为240．
【考点】7C：简单线性规划；DC：二项式定理的应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．
【解答】解：由约束条件x，y满足，作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为6．
则=．
=（﹣2）r•．
由T r
+1
令6﹣=0得r=4．
∴则展开式的常数项为=240．
故答案为：240．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．
14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围（2，4] ．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，再利用余
弦定理可得C．由正弦定理可得：==，解出a，b代入a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，
可得cosC==，C ∈（0，π），∴C=
．
由正弦定理可得： =
=，
∴a=sinA ，b=sinB ，B=﹣A ．
则a +b=sinA +sinB=
sinA +
sin （
﹣A ）
=4sin ，
A ∈
，∴
∈，∴sin ∈，
∴a +b ∈（2，4]． 故答案为：（2，4]．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．已知f （x ）=，则
+ ．
【考点】67：定积分．
【分析】由定积分的运算，
dx +
（x 2﹣1）dx ，根据
定积分的几何意义及定积分的运算，即可求得答案．
【解答】解：
dx +
（x 2﹣1）dx ，
由定积分的几何意义，可知dx 表示以原点为圆心，以1为半径的圆
的面积的一半，
则=×π=
，
则（x 2﹣1）dx=（x 3﹣x ）
=（﹣2）﹣（﹣1）=，
∴dx +
（x 2﹣1）dx=
+，
故答案为：
+． 【点评】本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于
基础题．
16．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：
①f（x）=x2②f（x）=xe x③④
其中函数f（x）为“期望函数”的是③④．（写出所有正确选项的序号）
【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，
②：同理①可判定；
对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，当
x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，k≥．存在
常数k＞0，使对所有实数都成立；
对于④，同理③可判定；
【解答】解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；
对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；
对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，∴k≥．∴
存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；
对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×，k≥2017，．∴存在常数k＞0，
使对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；
故答案为：③④．
【点评】本题考查了新定义函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（2016•广州二模）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n
+1
=2S n+3（n∈N）
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．
【解答】解：（I）∵a n
+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n
﹣1
+3，
∴a n
+1
﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．
∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a n=3n．
（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，
∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，
3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，
∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，
∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．
【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（10分）（2017•道里区校级二模）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的
指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．
（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，
3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．
【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为
30×=18
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，
基本事件总数n==15，
抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，
∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：
p=1﹣=．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，
∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），
，
P（ξ=1）=C31，
，
，
故ξ的分布列为：
∵，Eξ=3×=1.8．
【点评】本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（10分）（2017•道里区校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N 在线段BD上，且PM=DN．
（1）求证：直线MN∥平面PCD；
（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）延长AN，交CD于点G，由相似知，推出MN∥PG，然后证明直线MN∥平面PCD；
（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），求出相关点的坐标，
=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN 夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：延长AN，交CD于点G，由相似知，可得：MN ∥PG，
MN⊄平面PCD，PG⊂平面PCD，
则直线MN∥平面PCD；
（2）解：由于DA⊥DC⊥DP，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），，
则=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量为，
则向量与的夹角为θ，则cosθ=，
则PB与平面AMN夹角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．
20．（10分）（2017•道里区校级二模）已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；
（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（1）求得M的切线方程，求得C和D点坐标，联立求得P点坐标，即可求得曲线E的方程；
（2）设直线GH和KH方程，联立分别求得丨GH丨，丨HK丨，由丨GH丨=丨HK丨，分类讨论，即可求得k的值，求得两条直角边所在直线方程．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y=4，
则，，则P：，
则E：=1（y≠0），
曲线E的方程=1（y≠0）；
（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设l GH：y=kx+1，则l KH：y=﹣x+1，联立，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，由于△＞0恒成立，设两个根为x1，x2，
则丨GH丨=|，同理，丨HK丨=，
|
由丨GH丨=丨HK丨知：|k|（k2+4）=4k2+1，得：
①k＞0时，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0得：k=1或k=
②k＜0时，得（k+1）（k2+3k+1）=0得：k=﹣1或k=
综上，共分三种情况
两条直角边所在直线方程为：y=±x+1；
两条直角边所在直线方程为：y=x+1；
两条直角边所在直线方程为：y=x+1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，点轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．
21．（10分）（2017•道里区校级二模）定义：设f（x）为（a，b）上的可导函数，若f′（x）为增函数，则称f（x）为（a，b）上的凸函数．
（1）判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；
（2）设f（x）为（a，b）上的凸函数，求证：若λ1+λ2+…+λn=1，λi＞0（i=1，2，…，
n），则∀x i∈（a，b）（i=1，2，…，n）恒有λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）=f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）成立；
（3）设a，b，c＞0，n∈N*，n≥b，求证：a n+b n+c n≥a n﹣5b3c2+b n﹣5c3a2+c n﹣5a3b2．【考点】R6：不等式的证明；3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）利用定义，判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；
（2）n=2时，即证：λ1λ2＞0且λ1+λ2=1时，λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），再用数学归纳法进行证明即可；
（3）令a0=a n，b0=b n，c0=c n，即证：（a0，b0，c0＞0）
成立．
【解答】解：（1）y=x3，y′=3x2，y″=6x≥0不恒成立，故不是凸函数；
y=lg，y′=﹣，y″=＞0，是凸函数；
（2）n=2时，即证：λ1λ2＞0且λ1+λ2=1时，λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）不防设x1≥x2，x1，x2∈（a，b），令F（x）=λ1f（x1）+λ2f（x2）﹣f（λ1x1+λ2x2）F′（x）=λ1[f′（x）﹣f′（λ1x+λ2x2）]
因为x﹣（λ1x+λ2x2）=λ2（x1﹣x2）≥0
且f′（x）时递增函数，所以F′（x）≥0，即F（x）为单调递增函数，
所以F（x1）≥F（x2）=0，即λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）；
假设n=k（k≥2）时，结论成立，
即∀λi＞0，=1，x i∈（a，b），（i=1，2，3，…，k），有
成立，
则n=k+1时，∀λi＞0，=1，x i∈（a，b），（i=1，2，3，…，k，k+1），有
≤λ1f （x 1）+λ2f （x 2）+…+λk +1f （x k +1） 所以n=k +1时，结论也成立， 综合以上可得，原结论成立．
（3）令a 0=a n ，b 0=b n ，c 0=c n ，即证：（a 0，b 0，c 0＞0）
成立，
由（1）得f （x ）=lg 为凸函数，而=1，
有
而
，
同
理
有：
，
则
成立，得证．
【点评】本题考查新定义，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，难度大．
22．（10分）（2017•道里区校级二模）圆锥曲线C 的极坐标方程为：ρ2（1+sin 2θ）=2．
（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；
（2）直线l 的极坐标方程为θ=
（ρ∈R ），若曲线C 上的点M 到直线l 的距离
最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用互化公式可得直角坐标方程，进而得到焦点的直角坐标与极坐标．
（2）直线l 的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），可得直线l 的直角坐标方程为y=，
曲线C 的参数方程为
，（0≤θ＜2π），设M （
），
利用点到直线的距离公式可得：M 到直线的距离d ，再利用三角函数的单调性即
可得出．
【解答】解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=2，
∴曲线C的直角坐标方程：x2+y2+y2=2，化为，
焦点直角坐标：F1（﹣1，0），F2（1，0）
焦点极坐标：F1（1，π），F2（1，0）．
（2）∵直线l的极坐标方程为β=（ρ∈R），
∴直线l的直角坐标方程为y=，
曲线C的参数方程为，（0≤θ＜2π），
设M（），
则M到直线的距离d==，
∴sin（θ+α）=1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，
此时解得sinθ=，cosθ=﹣；sinθ=﹣，cosθ=．
或
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（10分）（2017•道里区校级二模）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；
（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）
【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义推出|3a+b|+|a﹣b|≥4|a|，转化所求解不等式为|x+1|+|x﹣1|≤4，推出结果即可．
（Ⅱ）利用作差法，结合已知条件推出结果即可．
【解答】（Ⅰ）解：|3a+b|+|a﹣b|≥|3a+b+a﹣b|=4|a|，当且仅当（3a+b）（a ﹣b）≥0时取等号，
只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x﹣1|≤4，表示数
轴上的点与﹣1，1的距离之和小于等于4，
所以：x的取值范围为：[﹣2，2]；
（Ⅱ）解得：M=（0，1），a∈M，b∈M知：
＞0，
即．
【点评】本题考查绝对值不等式的几何意义，不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．。